数学选择性必修 第一册3.1 椭圆导学案及答案

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椭圆的标准方程


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )


A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)=1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)=1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)=1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)=1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )


A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2\r(2),3)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )


A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)=1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))=1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1 D．eq \f(x2,4)＋y2=1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知圆(x＋2)2＋y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )


A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线





LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知方程(k2－1)x2＋3y2=1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|=12，则|AB|=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(4y2,75)=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：


(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；


(2)以椭圆9x2＋5y2=45的焦点为焦点，且经过M(2，eq \r(6)).























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，设点P是圆x2＋y2=25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD=eq \f(4,5)PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：椭圆长轴长为6，即2a=6，得a=3，∵两焦点恰好将长轴三等分，


∴2c=eq \f(1,3)·2a=2，得c=1，因此，b2=a2－c2=9－1=8，


∴此椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)=1．故选B．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：根据题意，可知c=2，因为b2=4，所以a2=b2＋c2=8，即a=2eq \r(2)，


所以椭圆C的离心率为e=eq \f(2,2\r(2))=eq \f(\r(2),2)．故选C．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c=1，e=eq \f(c,a)⇒a=2，b2=a2－c2=3，因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1，故选C．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径，


所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(3,20)))


解析：椭圆的标准方程为eq \f(x2,\f(1,25))＋eq \f(y2,\f(1,16))=1，故焦点在y轴上，其中a2=eq \f(1,16)，b2=eq \f(1,25)，


所以c2=a2－b2=eq \f(1,16)－eq \f(1,25)=eq \f(9,400)，故c=eq \f(3,20).所以该椭圆的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(3,20))).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－∞，－2)∪(2，＋∞)


解析：方程(k2－1)x2＋3y2=1可化为eq \f(x2,\f(1,k2－1))＋eq \f(y2,\f(1,3))=1.


由椭圆焦点在y轴上，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2－1>0，,\f(1,k2－1)<\f(1,3).))解之得k>2或k<－2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：8


解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)=|AB|＋|AF2|＋|BF2|=2a＋2a，


又由a=5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)=20，即|AB|=8.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(25 \r(3),4)


解析：在△F1PF2中，F1Feq \\al(2,2)=PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2cs 60°，即25=PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－PF1·PF2.①


由椭圆的定义，得10=PF1＋PF2.②


由①②，得PF1·PF2=25，∴S△F1PF2=eq \f(1,2)PF1·PF2sin 60°=eq \f(25 \r(3),4).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)∵椭圆的焦点在y轴上，


∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a>b>0).


∵2a=26,2c=10，∴a=13，c=5.


∴b2=a2－c2=144.


∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)=1.


(2)法一：由9x2＋5y2=45，得eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)=1，c2=9－5=4，


所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2).


设所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a＞b＞0).


由点M(2，eq \r(6))在椭圆上，所以MF1＋MF2=2a，


即2a=eq \r(2－02＋\r(6)－22)＋eq \r(2－02＋\r(6)＋22)=4eq \r(3)，所以a=2eq \r(3)，


又c=2，所以b2=a2－c2=8，


所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,8)=1.


法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2=45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，


则设所求椭圆方程为eq \f(y2,λ＋4)＋eq \f(x2,λ)=1(λ＞0)，


将M(2，eq \r(6))代入，得eq \f(6,λ＋4)＋eq \f(4,λ)=1(λ＞0)，解得λ=8或λ=－2(舍去).


所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,8)=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，


由已知易得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y.))


∵P在圆上，∴x2＋(eq \f(5,4)y)2=25.


即轨迹C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.