高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切精品第2课时2课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切精品第2课时2课时学案设计，共9页。







1.两角和的正切公式


Tα＋β：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) .


2.两角差的正切公式


Tα－β：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) .


思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？


[提示](1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．


(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).


(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)．


(4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).





1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )


A．－2－eq \r(3)B．－2＋eq \r(3)


C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)


D [tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).故选D．]


2.若cs θ＝－eq \f(4,5)，且θ为第三象限角，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))的值等于( )


A．eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)


C．－7 D．7


D [若cs θ＝－eq \f(4,5)，且θ为第三象限角，则sin θ＝－eq \r(,1－cs2θ)＝－eq \f(3,5)，


∴tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(3,4)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，故选D．]


3.设tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________．


eq \f(π,4) [∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，


又∵α，β均为锐角，即α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴0<α＋β<π，则α＋β＝eq \f(π,4).]





【例1】 求下列各式的值：


(1)tan 15°；(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)；


(3)tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.


[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．


[解](1)tan 15°＝tan(45°－30°)


＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°)＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq \f(3－\r(3),3＋\r(3))＝2－eq \r(3).


(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)


＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.


(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)＝eq \r(3)，


∴tan 23°＋tan 37°＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)，


∴原式＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).





1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．


2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．








1.求下列各式的值：


(1)eq \f(cs 75°－sin 75°,cs 75°＋sin 75°)；


(2)tan 36°＋tan 84°－eq \r(3)tan 36°tan 84°.


[解](1)原式＝eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)


＝eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan75°)


＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3).


(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－eq \r(3)tan 36°tan 84°


＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－eq \r(3)tan 36°tan 84°


＝tan 120°＝－eq \r(3).


【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).


(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．


[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cs α，cs β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．


[解] 由条件得


cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5)，


∵α，β为锐角，


∴sin α＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \f(\r(5),5)，


∴tan α＝7，tan β＝eq \f(1,2).


(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.


(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]


＝eq \f(tanα＋β＋tan β,1－tanα＋β·tan β)＝eq \f(－3＋\f(1,2),1－－3×\f(1,2))＝－1，


∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，∴α＋2β＝eq \f(3π,4).





1.通过先求角的某个三角函数值来求角．


2.选取函数时，应遵照以下原则：


(1)已知正切函数值，选正切函数；


(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．


3.给值求角的一般步骤：


(1)求角的某一三角函数值；


(2)确定角的范围；


(3)根据角的范围写出所求的角．








2.(1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；


(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．





[解](1)因为sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(4,5)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4)，


故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×1)＝eq \f(1,7).


(2)由题图可知tan α＝eq \f(1,3)，tan β＝eq \f(1,2)，且α，β均为锐角，


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.


因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(π,4).


[探究问题]


1.判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？


[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．


2.在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？


[提示] 根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，


∴A＋B＝π－C，


∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．


【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．


[思路探究] eq \x(化简条件)→eq \x(求出tan A，tan C)→


eq \x(求出角A，C)→eq \x(判断形状).


[解] 由tan A＝tan[π－(B＋C)]


＝－tan(B＋C)


＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,tan Btan C－1)＝－eq \r(3).


而0°＜A＜180°，


∴A＝120°.


由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)


＝eq \f(tan A＋tan B,\r(3)tan A＋\r(3)tan B)＝eq \f(\r(3),3)，


而0°＜C＜180°，


∴C＝30°，


∴B＝30°.


∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．





(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－eq \r(3)tan Btan C＝－eq \r(3)，且eq \f(\r(3),3)tan A＋eq \f(\r(3),3)tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？


[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]


＝－tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)


＝eq \f(\r(3)tan Btan C－\r(3),tan Btan C－1)＝eq \r(3).


又0°

由tan C＝tan [π－(A＋B)]


＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)＝eq \f(tan A＋tan B,\f(\r(3),3)tan A＋\f(\r(3),3)tan B)＝eq \r(3).


又0°

所以C＝60°，所以B＝60°.


所以△ABC是等边三角形．





公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略


(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用


1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，


如eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))；


eq \f(\r(3)tan α＋\r(3),1－tan α)＝eq \r(3)tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).


(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．








1.公式T(α±β)的适用范围和结构特征


(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．


2.两角和与差的正切公式的变形


变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；


tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；


tan α tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)等.





1.设角θ的终边过点(2,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝( )


A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)


C．5 D．－5


A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝eq \f(3,2)，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)＝eq \f(\f(3,2)－1,1＋\f(3,2))＝eq \f(1,5)，选A．]


2.tan 10°tan 20°＋eq \r(3)(tan 10°＋tan 20°)等于( )


A．eq \f(\r(3),3)B．1


C．eq \r(3) D．eq \r(6)


B [原式＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]


3.计算eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝________.


1 [eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝eq \f(tan 60°－tan 15°,1＋tan 60°tan 15°)


＝tan 45°＝1.]


4．已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))＝eq \f(1,4)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))的值．


[解] ∵α＋eq \f(π,5)＝(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))，


∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))))


＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5))))＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq \f(3,22).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)


2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)
1.通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．


2.借助两角和与差的正切的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
利用公式化简求值
条件求值(角)问题
公式的变形应用