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    2020届二轮复习简单的线性规划问题课时作业(全国通用)
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    2020届二轮复习简单的线性规划问题课时作业(全国通用)

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    简单的线性规划问题

    1.(2018·北京卷)已知A(2,5),B(4,1).若点P(xy)在线段AB上,则2xy的最大值为(C)

    A.-1  B.3

    C.7  D.8

      作出线段AB,如图所示.

    作直线2xy=0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时,2xy取最大值,为2×4-1=7.

    2.(2018·全国卷)设xy满足约束条件z=2xy 的最小值是(A)

    A.-15  B.-9

    C.1  D.9

      不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

    将目标函数z=2xy化为y=-2xz,作出直线y=-2x并平移,当直线y=-2xz经过点A(-6,-3)时,z取最小值,且zmin=2×(-6)-3=-15.

    3.(2018·广州一模)若xy满足约束条件  zx2+2xy2的最小值为(D)

    A.   B.

    C.-   D.-

      画出可行域,如图:

    (方法一)因为zx2+2xy2=(x+1)2y2-1,

    所以z表示可行域内的点与点(-1,0)的距离的平方减去1.

    所以zmin=()2-1=-.

    (方法二)zx2+2xy2变形为(x+1)2y2=1+z.

    故目标函数可看作是以点(-1,0)为圆心,为半径的圆.

    当圆与区域的边界相切时,取最小值.

    所以d,所以1+z,从而z≥-.

    所以zmin=-.

    4.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)

    A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱

    B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱

    C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱

    D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱

      设甲车间加工x箱原料,乙车间加工y箱原料,甲、乙两车间每天总获利为z元.

    依题意,得z=7×40x+4×50y=280x+200y,画出可行域如图阴影部分,

    联立解得

    zA点处取得最大值,故选B.

    5.(2018·全国卷)若xy满足约束条件zxy的最大值为 9 .

      由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).

    目标函数zxy取得最大值斜率为-1的平行直线xyz(z看作常数)的截距最大,

    由图可得直线xyz过点Cz取得最大值.

    得点C(5,4),所以zmax=5+4=9.

    6.若实数xy满足

    (1)的取值范围为 [2,+∞) ;

    (2)x2y2的取值范围为 (1,5] .

      作出可行域,其可行域是顶点分别为A(0,1),B(1,2),C(0,2)的三角形及其内部(但不包括AC边).

    (1)因为表示可行域内的点(xy)与(0,0)连线的斜率,可知其取值范围为[2,+∞).

    (2)因为x2y2表示可行域内的点(xy)到(0,0)的距离的平方,可知其取值范围为(1,5].

    7.给定区域D令点集T={(x0y0)D|x0y0Z,(x0y0)是zxyD上取得最大值或最小值的点},问T中的点共确定多少条不同的直线?

      画出不等式组所表示的平面区域(如下图所示).

    z=0,得直线lxy=0,平移直线l,由图象可知当直线经过整点A(0,1)时,z取最小值,当直线经过整点B(0,4),C(1,3),D(2,2),E(3,1),F(4,0)时,z取最大值.

    所以T={(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},

    所以T中的点可确定的直线有ABACADAEAFBF共6条不同的直线.

    8.(2018·浙江卷)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)

    A.  B.

    C.  D.

      根据约束条件作出可行域如图阴影部分,

    当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,

    联立方程组求得A(1,2),

    联立方程组求得B(2,1),

    可求得分别过AB点且斜率为1的两条直线方程为xy+1=0和xy-1=0,

    由两平行线间的距离公式得距离为,故选B.

    9.(2018·深圳二模)已知a<0,实数xy满足zx+2y的最大值为5,则a= -2 .

      画出可行域(如图).

    zx+2y,得y=-.

    平移y=-经过A(-1,1-a)时,z取最大值,

    所以zmax=-1+2-2a=5,所以a=-2.

    10.(2018·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

     

    连续剧播放时长(分钟)

    广告播放时长(分钟)

    收视人次(万)

    70

    5

    60

    60

    5

    25

    已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用xy表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

    (1)用xy列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

    (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?

      (1)由已知,xy满足的数学关系式为

    该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点.

     

    (2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.

    考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x,这是斜率为-,随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值就最大.

    又因为xy满足约束条件,所以由图可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.

    解方程组则点M的坐标为(6,3).

    所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时,才能使总收视人次最多.

     

     

     

     

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