【数学】河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估(理) 试卷
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参考答案
一、选择题
1---6 BACBCC 7------12 DDABDA
二、填空题
- 2 14. -6
15. 16. (364也对)
三、解答题
17证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.-------------------------5分
(2)因为a+b+c=1,
所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
因为2ab≤a2+b2, 2bc≤b2+c2, 2ac≤a2+c2,
所以2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
所以1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥.--------------------10分
18.解 (1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=,-------------2分
由得 0<x<e;
由得x>e.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
所以,--------------------------------5分
(2)①当即0<m≤时,函数f(x)在区间[m,2m]上单调递增,
所以f(x)max=f(2m)=-1;------------------------------------7分
②当m<e<2m,即<m<e时,函数f(x)在区间(m,e)上单调递增,在(e,2m)上单调递减,
所以f(x)max=f(e)=-1=-1;--------------------------------9分
③当m≥e时,函数f(x)在区间[m,2m]上单调递减,
所以f(x)max=f(m)=-1. --------------------------------11分
综上所述,当0<m≤时,f(x)max=-1;
当<m<e时,f(x)max=-1;
当m≥e时,f(x)max=-1.-------------------------------12分
19.证明:(1)
所以,时,等式成立。-----------------------------------------3分
(2)假设当时,等式成立,即。----------------------5分
那么,当时,---------------7分
所以:当等式也成立。 ---------------------------------------------10分
综上可知,要证明的等式,当时成立。------12分
20.解:(1)设交于点,过作,垂足为,
在中,,,……………………………2分
在中,,………………………………4分
所以
, ……………………5分
(2)要使侧面积最大,由(1)得:
设 ……………………6分
则,由得:
当时,,当时,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,…………8分
所以在时取得极大值,也是最大值;
所以当时,侧面积取得最大值, …………………………10分
此时等腰三角形的腰长
答:侧面积取得最大值时,等腰三角形的腰的长度为.…………12
21.解:(1),.
因此曲线在点处的切线方程是.--------------------4分
(2)方法一:当时,.
令,则.-------------------------8分
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
所以.因此.--------------------------------------12分
方法二:由(1)知:=
因为,所以,所以。令--------------6分
所以在上单调递减,在上单调递增。
当时,,所以
当时,在上单调递减,在上单调递增。
所以。------------------------------------------------------8分
要证-----------------------------------------9分
令,所以-------------10分
所以在上单调递增。
所以
故综上所述,当----------------------------------------12分
22.解:(1).当时,,当时,
所以--------------------------------4分
(2)根据题意
令,解得,或因为,所以,且
所以当时,
当时,
所以在上单调递增,在上单调递减-----------7分
因为,所以在上有且只有1个零点---------------------8分
又在上单调递减,所以 -----------------9分
当时,,所以,
又函数在上单调递增
所以 ----------------------------------11分
故当时,函数有2个零点--------------------------12分