2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算，再计算得到答案.

【详解】

，，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.

【详解】

由，所以其共轭复数.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.

3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(    )

A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B．这五年，2015年出口额最少

C．这五年，2019年进口增速最快

D．这五年，出口增速前四年逐年下降

【答案】D

【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

4．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（    ）

A．64 B．32 C．2 D．4

【答案】A

【解析】根据题意依次计算得到答案.

【详解】

根据题意知：，，故，，.

故选：.

【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.

5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（    ）

A． B． C．10 D．

【答案】D

【解析】直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

根据几何概型：，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

6．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为(    )

A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③

【答案】C

【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；

若，，平面可能相交，故②错误；

若，，则可能平行，故③错误；

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

7．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得到，化简得到，得到答案.

【详解】

根据题意知：焦点到渐近线的距离为，

故，故渐近线为.

故选：.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数值恒大于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.

【详解】

因为,所以不正确;

函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;

当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.

故选:B

【点睛】

本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.

9．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（    ）

A．－2 B．－4 C．3 D．－3

【答案】D

【解析】设，，设：，联立方程得到，计算

得到答案.

【详解】

设，，故.

易知直线斜率不为，设：，联立方程，

得到，故，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 .

10．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.

【详解】

如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，

，故，，

设球半径为，则，解得，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

11．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为

B．函数一个递增区间为

C．函数的图像关于直线对称

D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像

【答案】B

【解析】化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.

【详解】

，

故函数的定义域为，故错误；

当时，，函数单调递增，故正确；

当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.

平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.

故选：.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

12．已知函数的一条切线为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.

【详解】

，则，取，，故，.

故，故，.

设，，取，解得.

故函数在上单调递减，在上单调递增，故.

故选：.

【点睛】

本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

二、填空题

13．若向量与向量垂直，则______.

【答案】0

【解析】直接根据向量垂直计算得到答案.

【详解】

向量与向量垂直，则，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.

14．展开式中，含项的系数为______.

【答案】2

【解析】变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.

【详解】

，的展开式的通项为：.

含项的系数为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量与时间的函数关系为（如图所示），实验表明，当药物释放量对人体无害. （1）______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.

【答案】2    40   

【解析】（1）由时，，即可得出的值；

（2）解不等式组，即可得出答案.

【详解】

（1）由图可知，当时，，即

（2）由题意可得，解得

则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

故答案为：（1）2；（2）40

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.

16．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______.

【答案】

【解析】化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.

【详解】

，即，，故.

根据余弦定理：，即.

当时等号成立，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

三、解答题

17．等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.

（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.

【详解】

（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，

即，，解得，.

∴，.

（Ⅱ），∴，

∴，即.

【点睛】

本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

18．为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.

附：

【答案】（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，

【解析】（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.

（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】

（Ⅰ）根据茎叶图可得：

，

故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.

（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，

，，，

.

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.

19．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.

（Ⅰ）证明：平面平面垂直；

（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时为的中点.

【解析】（Ⅰ）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.

（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，平面，过作于，连接，则，过作于，连接，是二面角的平面角，设，，计算得到答案.

【详解】

（Ⅰ）∵，，，∴平面.

又平面，∴平面平面，

而平面，，∴平面平面，

由，知，可知平面，

又平面，∴平面平面.

（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，由知，

易证平面，所以平面，

过作于，连接，则（三垂线定理），

即是二面角的平面角，

不妨设，则，

在中，设（），由得，

即，得，∴，

依题意知，即，解得，

此时为的中点.

综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点.

【点睛】

本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.

20．椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.

【详解】

（1）依题意得，解得

即椭圆：；

（2）设点，，

其中，

由，得，

即，

注意到，

于是，

因此，满足

由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

21．已知函数（，），.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.

（Ⅱ）变换得到，设，求，令，故在单调递增，存在使得，，计算得到答案.

【详解】

（Ⅰ）（），

当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

（Ⅱ）（），即，（）.

令（），

则，

令，，故在单调递增，

注意到，，

于是存在使得，

可知在单调递增，在单调递减.

∴.

综上知，.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.

22．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.

【答案】（1）；（2）16.

【解析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；

（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.

【详解】

（1）曲线：，即

化为直角坐标方程为：；

（2），即

同理

∴

当且仅当，即（）时取等号

即的面积最小值为16

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.

23．已知关于的不等式解集为（）.

（1）求正数的值；

（2）设，且，求证：.

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；

（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.

【详解】

（1）解：不等式，即不等式

∴，而，于是

依题意得

（2）证明：由（1）知，原不等式可化为

∵，

∴，同理，

三式相加得，当且仅当时取等号

综上.

【点睛】

本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.