2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：核心母题一

核心母题一　函　数

【核心母题】

1．直线l的表达式为y＝－2x＋2，分别交x轴、y轴于点A，B.

(1)写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；

(2)将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C，作出l1的图象，则l1的表达式是________；

(3)将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D，作出l2的图象，则tan∠CAD＝__________．

【知识链接】 一次函数的图象与性质．

【母题分析】(1)令x＝0求得y，令y＝0求得x，即可得出A，B的坐标，从而画出直线l的图象；

(2)将直线l向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其表达式；

(3)由旋转得出其函数图象，由图象可知，tan∠CAD＝tan∠OBA＝可得答案．

【母题解答】

2．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，(0，)．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

【知识链接】 二次函数的图象与性质．

【母题分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线表达式求出b与c的值即可；

(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的表达式即可．

【母题解答】

3.如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－2.

 (1)求一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积．

【知识链接】 反比例函数的图象与性质．

【母题分析】(1)由点A，B的横、纵坐标结合反比例函数表达式即可得出点A，B的坐标，再由点A，B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的表达式；

(2)先求出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A，B点的横坐标即可得出结论．

【母题解答】

角度一 一次函数与二次函数结合

子题1：已知一次函数y＝x＋c的图象如图，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

【子题分析】 本题可根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜0，c＞0，由此即可得出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

【子题解答】

角度二 一次函数与反比例函数结合

子题2：如图为一次函数y＝ax－2a与反比例函数y＝－(a≠0)在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是(　　)

【子题分析】 本题可根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断．

【子题解答】

角度三 二次函数与反比例函数结合

子题3：在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是(　　)

【子题分析】 本题可直接利用二次函数图象的开口方向和对称轴位置得出a，b的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．

【子题解答】

角度四 一次函数、二次函数、反比例函数结合

子题4：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)

【子题分析】 本题可直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．

【子题解答】

角度五 一次函数变换背景

子题5：晓琳和爸爸到某公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)，y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3 000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1 800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．其中正确结论的个数是(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

【子题分析】 ①两人同行过程中的速度就是20分钟前进4 000米的速度；

②爸爸有事返回的时间比晓琳原路返回的时间20分钟少5分钟，n的值用速度乘以时间即可；

③晓琳开始返回时与爸爸的距离是他们的速度和乘以时间5分钟；

④两人相距900米是y1－y2＝900.

【子题解答】

角度六 二次函数结论选择型

子题6：如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1)．其中正确的结论有(　　)

A．①②③          B．②③⑤

C．②③④          D．③④⑤

【子题分析】 由二次函数图象可以得出很多结论，此类题目通常设置多个正确或错误结论，从中进行选择．本题可由抛物线对称轴的位置判断a，b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【子题解答】

角度七 二次函数与圆、四边形等综合

子题7：如图，抛物线y＝(x＋2)(x－8)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是(　　)

A．1        B．2      C．3      D．4

【子题分析】 ①根据抛物线的表达式得出抛物线与x轴的交点A，B坐标，由抛物线的对称性即可判定；

②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；

③若存在点E使四边形ACED为平行四边形，则CE∥AD，CE＝AD，根据计算即可判定；

④求得直线CM、直线CD的表达式，通过它们的斜率进行判定．

【子题解答】

角度八 反比例函数与几何图形结合

子题8：如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为(　　)

A．2       B．4       C．6      D．8

【子题分析】 反比例函数通常与三角形、四边形、圆等相结合构造复杂题目．解答本题可根据正比例函数y＝kx与反比例函数y＝－的图象交点关于原点对称，可得出A，B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A，C两点坐标的关系，设A点坐标为(x，－)，表示出B，C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．

【子题解答】

模型一 一次函数模型

子题9：在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k和b的取值范围是(     )

A．k＞0，b＞0       B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0       D．k＜0，b＜0

子题10：若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是(     )

模型二 反比例函数模型

(1)反比例函数k的几何意义

S△AOP＝|k|　　　S△OBP＝|k|

S矩形OAPB＝|k|   S△APP′＝2|k|

S△ABC＝|k|       S▱ABCD＝|k|

(2)反比例函数与一次函数结合

⇒

⇒

⇒

子题11：如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(     )

A．1　　      　　　　　B．2

C.             D.

类型三 二次函数模型

(1)函数图象与系数的关系

(2)平移中的面积计算

子题12：如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)，平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是(     )

A．y＝(x－2)2－2 

B．y＝(x－2)2＋7

C．y＝(x－2)2－5 

D．y＝(x－2)2＋4

子题13：如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 ________.

参考答案

【核心母题突破】

【核心母题】

1．(1)当y＝0时，－2x＋2＝0，

解得x＝1，即点A(1，0)．

当x＝0时，y＝2，即点B(0，2)．

如图，直线AB即为所求．

(2)作出l1的图象如图所示．y＝－2x＋6

(3)作出l2的图象如图所示.

2．(1)把(1，0)，(0，)代入抛物线表达式得

解得

则抛物线表达式为y＝－x2－x＋.

(2)抛物线表达式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，

将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位可以使顶点恰好落在原点，此时抛物线表达式变为y＝－x2.

3．(1)在反比例函数y＝中，当x＝2时，y＝4，

∴点A的坐标为(2，4)．

当y＝－2时，x＝－4，

∴点B的坐标为(－4，－2)．

∵一次函数过A，B两点，

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝x＋2.

(2)令y＝x＋2中x＝0，则y＝2，

∴点C的坐标为(0，2)，

∴S△AOB＝OC·(xA－xB)＝×2×[2－(－4)]＝6.

【母题衍生角度】

角度一

子题1: 观察一次函数图象可知，＜0，c＞0，

∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选A.

角度二

子题2: 由ax－2a＝－，

则x－2＝－，整理得x2－2x＋1＝0，

∵Δ＝0，∴一次函数y＝ax－2a与反比例函数y＝－只有一个公共点．故选B.

角度三

子题3: A．抛物线y＝ax2＋bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即b＜0，所以反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，故本选项错误；

B．抛物线y＝ax2＋bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即b＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

C．抛物线y＝ax2＋bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即b＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

D．抛物线y＝ax2＋bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即b＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项正确．故选D.

角度四

子题4: ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，∴a＞0.

∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，

∴a，b异号，即b＜0.

∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，

∴一次函数y＝bx＋a的图象经过第一、二、四象限，

反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，故选B.

角度五

子题5: ①4 000÷20＝200(米/分)，

∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确；

②m＝20－5＝15，n＝200×15＝3 000，②正确；

③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走了5分钟，所以他们的距离为(200＋100)×5＝1 500(米)，③不正确；

④设爸爸返回的表达式为y2＝kx＋b.

把(15，3 000)，(45，0)代入得

解得

∴y2＝－100x＋4 500，

∴当0≤x<20时，y1＝200x，y1－y2＝900，

∴200x－(－100x＋4 500)＝900，∴x＝18.

当20≤x≤45时，y1＝ax＋b，

将(20，4 000)，(45，0)代入得

∴∴y1＝－160x＋7 200.

∵y1－y2＝900，∴(－160x＋7 200)－(－100x＋4 500)＝900，

解得x＝30，∴④正确．故选C.

角度六

子题6: ①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，

由图象可知，c＞0，∴abc＜0，故①不正确；

②当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴b－a＞c，故②正确；

③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故③正确；

④∵x＝－＝1，∴b＝－2a，

∵a－b＋c＜0，∴a＋2a＋c＜0，3a＜－c，故④不正确；

⑤当x＝1时，y的值最大，此时y＝a＋b＋c，

当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，

∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c(m≠1)，

故a＋b＞am2＋bm，即a＋b＞m(am＋b)，故⑤正确．

故②③⑤正确．故选B.

角度七

子题7: ∵在y＝(x＋2)(x－8)中，当y＝0时，x＝－2或x＝8，∴点A(－2，0)，B(8，0)，

∴抛物线的对称轴为x＝＝3，故①正确；

∵⊙D的直径为8－(－2)＝10，即半径为5，

∴⊙D的面积为25π，故②错误；

在y＝(x＋2)(x－8)＝x2－x－4中，

当x＝0时，y＝－4，

∴点C(0，－4)．

当y＝－4时，x2－x－4＝－4，

解得x1＝0，x2＝6，∴E(6，－4)，

则CE＝6.

∵AD＝3－(－2)＝5，∴AD≠CE，

∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；

∵y＝x2－x－4＝(x－3)2－，

∴M(3，－)．

设直线CM表达式为y＝kx＋b.

将点C(0，－4)，M(3，－)代入得

解得

∴直线CM表达式为y＝－x－4.

设直线CD表达式为y＝mx＋n.

将点C(0，－4)，D(3，0)代入得

解得

∴直线CD表达式为y＝x－4.

由－×＝－1知，CM⊥CD于点C，

∴直线CM与⊙D相切，故④正确．故选B.

角度八

子题8: ∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝－ 的图象交点关于原点对称，

∴设A点坐标为(x，－)，则B点坐标为(－x，)，C(－2x，－)，

∴S△ABC＝(－2x－x)·(－－)＝(－3x)·(－)＝6.故选C.

【母题衍生模型】

模型一

子题9: C

子题10: C

模型二

子题11: A

模型三

子题12: D

子题13: 12