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【二轮复习】高考物理专题21 计算题归类总结（题型专练）.zip
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这是一份【二轮复习】高考物理专题21 计算题归类总结（题型专练）.zip，文件包含二轮复习高考物理专题21计算题归类总结题型专练原卷版docx、二轮复习高考物理专题21计算题归类总结题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共166页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15577" 题型一 匀变速直线运动规律的应用 PAGEREF _Tc15577 \h 1
\l "_Tc31067" 题型二 牛顿运动定律的综合应用 PAGEREF _Tc31067 \h 6
\l "_Tc30426" 题型三 应用动能定理求解多过程问题 PAGEREF _Tc30426 \h 17
\l "_Tc16697" 题型四 机械能守恒定律的综合应用 PAGEREF _Tc16697 \h 26
\l "_Tc17846" 题型五 动量观点与能量观点的综合应用 PAGEREF _Tc17846 \h 30
\l "_Tc18663" 题型六 带电粒子(体)在电场中的运动 PAGEREF _Tc18663 \h 50
\l "_Tc6924" 题型七 带电粒子在磁场中的运动 PAGEREF _Tc6924 \h 69
\l "_Tc10337" 题型八 带电粒子在组合场中的运动 PAGEREF _Tc10337 \h 81
\l "_Tc28738" 题型九 带电粒子(体)在叠加场中的运动 PAGEREF _Tc28738 \h 93
\l "_Tc5998" 题型十 电磁感应综合问题 PAGEREF _Tc5998 \h 105
题型一 匀变速直线运动规律的应用
【典例分析1】（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考开学考试）某动车组列车总长，由静止出发后做加速度大小为的匀加速直线运动，达最大速度后做匀速运动。列车出发时，在车头前方8700m处有一信号灯（信号灯宽度可忽略）。当列车尾部通过信号灯时，司机接到通知：在信号灯前方处有一失去控制的工程车，其运动方向与列车相同，速度大小恒为。司机从接到通知到开始刹车历时，求：
（1）求列车由静止匀加速到最大速度所经历的时间和位移的大小？
（2）列车开始刹车时，与工程车的距离d？
（3）列车为避免与工程车相碰，刹车加速度大小至少为多少？
【典例分析2】．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）测试员带机器狗在山地中测试，看到一松鼠在树上，松鼠由于受到惊吓，从高为h=5m的树杈上掉下（可看成自由落体运动），同时机器狗由静止开始向松鼠跑去，该情境可简化为图甲所示的模型，机器狗运动的v-t图像如图乙所示，已知机器狗的最大速度为4m/s，松鼠和机器狗均可看做质点，重力加速度g取10m/s2。
（1）要使机器狗在松鼠落地的同时达到落地点P，求机器狗的初始位置与落地点P之间的距离；
（2）如果开始时机器狗与落地点P之间的距离为12m，由于松鼠落地后摔伤，松鼠将从静止开始以a2=2m/s2的加速度与机器狗以相同方向沿同一直线逃跑（松鼠逃跑的最大速度为6m/s），通过计算说明机器狗能否追上松鼠？
【方法提炼】
(1)求解匀变速直线运动问题的一般思路
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程．
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量．
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程．
(2)追及、相遇或避免碰撞等问题的解题思路
画出运动过程示意图；找出时间关系、速度关系、位移关系并列出方程.
【变式演练】
1．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）已知A、B 两物体，，A 物体从处自由下落，且同时B物体从地面竖直上抛，经过 相遇碰撞后，两物体立刻粘在一起运动，已知重力加速度，求：
（1）碰撞时离地高度x；
（2）碰前A、B速度。
2．（2023上·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）如图所示，在离地面高处以的速度竖直向上抛出一个小球，地面上有一长的小车，其前端距离抛出点的正下方，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做的匀加速直线运动。已知小球落地前最后内下落的高度为，忽略空气阻力及小车的高度，求：
（1）小球抛出点离地面的高度；
（2）小车末端到达小球抛出点正下方时，小球的位移；
（3）当小车末端到达抛出点正下方时，便立即做加速度大小恒为、方向与此时速度方向相反的匀变速直线运动，为了让小车接住小球，试确定加速度的范围。
题型二 牛顿运动定律的综合应用
【典例分析1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图所示，质量的薄木板静置于足够大的水平地面上，其左端有一可视为质点、质量的物块，现对物块施加一水平向右的恒定拉力，木板先在水平地面上加速，物块离开木板后木板在摩擦力的作用下开始减速，运动的总距离。已知物块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数，取重力加速度大小。求：
（1）木板的加速距离d；
（2）木板的长度l。
【典例分析2】．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，足够长的水平地面上有材质不同的甲、乙两个物块，它们与水平面间的动摩擦因数分别为，甲的质量为，乙的质量为。在的水平推力作用下，一起由静止开始向左做匀加速运动，取。求：
（1）物块甲、乙一起做匀加速运动的加速度大小；
（2）物块甲对物块乙的作用力大小；
（3）某时刻甲、乙的速度为，此时撤去推力，则撤去推力后物块乙滑行的距离。
【典例分析3】如图所示，一旅客用F=6.5N的力拉着质量为m=1kg的行李箱沿水平地面运动.已知拉力F与水平方向的夹角θ=30°，从静止开始经t=2.0s时行李箱移动距离，这时旅客松开手，行李箱又滑行了一段距离后停下。若行李箱可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）行李箱与地面间的动摩擦因数；
（2）旅客松开手行李箱还能运动多远；
（3）行李箱要在水平地面上运动，拉力F与水平地面夹角多大时最省力。
【方法提炼】
1.动力学基本问题的解题步骤
(1)明确研究对象：根据问题的需要和解题的方便，选择某个物体或某系统作为研究对象。
(2)受力分析：画好受力示意图，选择适当的处理方法求出合力或合力的表达式。
①合成法：合成法适用于受力个数较少(2个)的情况。
②正交分解法：正交分解法适用于各种情况，尤其是物体的受力个数较多(3个或3个以上)时。
(3)运动情况分析：画出运动示意图，明确物体的运动性质和运动过程，求出或设出物体的加速度。
(4)根据牛顿第二定律和运动学规律列式求解。
2．处理多过程动力学问题的“二分析一关键”
(1)“二分析”
①分析研究对象在每个过程的受力情况，并画出受力分析图；
②分析研究对象在每个阶段的运动特点。
(2)“一关键”
前一个过程的结束时刻和状态就是后一个过程的开始时刻和状态，明确两个过程的交接点速度不变往往是解题的关键。
3.分析“板—块”模型的四点注意
(1)从速度、位移、时间等角度，寻找滑块与滑板之间的联系．
(2)滑块与滑板共速是摩擦力发生突变的临界条件．
(3)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件
①运动学条件：若两物体速度不等，则会发生相对滑动．
②力学条件：一般情况下，假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出滑块“所需要”的摩擦力Ff，比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动．
(4)滑块不从滑板上掉下来的临界条件是滑块到达滑板末端时，两者共速．
4.传送带的摩擦力分析
(1)关注两个时刻
①初始时刻：物体相对于传送带的速度或滑动方向决定了该时刻的摩擦力方向。
②物体与传送带速度相等的时刻：摩擦力的大小、方向或性质(滑动摩擦力或静摩擦力)可能会发生突变。
(2)注意过程分解
①摩擦力突变点是加速度突变点，也是物体运动规律的突变点，列方程时要注意不同过程中物理量莫混淆。
②摩擦力突变点对应的状态是前一过程的末状态，也是后一过程的初状态，这是两个过程的连接点。
(3)物体在倾斜传送上运动，物体与传送带速度相同后需比较tanθ与μ的大小关系：μ>tanθ，速度相等后一起匀速；μ【变式演练】
1.（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）如图所示，水平面与倾角θ=37°足够长的传送带在A点平滑相连，传送带以速度v0=3m/s逆时针匀速转动，小物块（视为质点）在A点右侧x=3.6m处的O点以初速度v1=10m/s向左运动，后从传送带的底端A点滑上传送带，小物块与OA段水平面和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小物块从O点运动到A点时速度大小；
（2）小物块沿传送带向上运动的加速度大小；
（3）小物块沿传送带向上运动的时间和向上滑行的最远距离。
2．（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图所示，在光滑水平地面上静置一质量、长度的薄木板，木板右端放有一质量的小滑块（可视为质点）。某时刻在木板右端施加一水平向右的恒力，作用后撤去。已知滑块与木板间的动摩擦因数，滑块离开木板前、后的速度不变，取重力加速度大小，求：
（1）滑块离开木板时的速度大小；
（2）撤去恒力时滑块到木板左端的距离。
3．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）如图甲所示为月饼排盘器，月饼可以通过排盘器整齐地摆盘，再进入烘焙设备。将排盘过程简化为如图乙所示的模型，开始时排盘器静止在盘子上方，排盘器上表面距离盘子的高度，排盘器右端与盘子右端相距，月饼向右运动，当月饼与排盘器右端相距时，月饼的速度，排盘器立刻以的加速度向左做匀加速运动。已知月饼与排盘器间的动摩擦因数，重力加速度为，求：
（1）从排盘器运动开始计时，经过多长时间月饼将离开排盘器？
（2）月饼落入盘子时距离盘子右端的距离x。
4．（2024·四川自贡·统考一模）如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为θ，BC段水平。一个质量为m1=2kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1s后质量为m2=48kg的滑雪者从顶端以初速度v0=1.5m/s、加速度a=3m/s2做匀加速追赶，恰好在坡底B处追上背包。背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力。求：
（1）滑道AB段的长度；
（2）背包和滑雪者到达B处时，分别的速度大小。
5．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）如图甲所示，一定长度、质量为M=2kg的长木板放在水平面上，质量为m=1kg且可视为质点的物块放在长木板的最右端，现在长木板上施加一水平向右的外力（大小未知），使长木板和物块均由静止开始运动，将此刻记为t=0时刻，0～2s内长木板和物块的速度随时间的变化规律如图乙所示，t=2s时将外力大小改为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与水平面间的动摩擦因数为。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程中物块始终未离开长木板，重力加速度。求：
（1）以及的大小：
（2）长木板最终的速度大小。
题型三 应用动能定理求解多过程问题
【典例分析1】（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025年全运会，2023年11月25日—26日，粤港澳大湾区滑板公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落于水平地面的D点。已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6.求：
（1）运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（）
【典例分析2】．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，一滑雪运动员质量，经过一段加速滑行后从A点以的初速度水平飞出，恰能落到点。在点速度方向（速度大小不变）发生改变后进入半径的竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。已知在最低点时运动员对轨道的压力为。A与B、B与的高度差分别为、。不计空气阻力，，求：
（1）A、B间的水平距离；
（2）运动员在O点的速度；
（3）运动员在段克服阻力做的功。
【方法提炼】
运用动能定理需注意的问题
(1)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初末的动能．
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式.
【变式演练】
1.（2023上·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图示，水平面BC与 圆弧AB、斜面CD平滑连接，各处均无摩擦。小物块P、Q质量为m1、m2。小物块P从圆弧最高点A静止释放，与静止在水平面上小物块Q发生弹性正碰。已知圆弧半径R=0.2m，m1=4kg、m2=1kg，θ=37°， ，g=10m/s2。求：
（1）小物块P运动到圆弧形轨道最低点时的速度大小；
（2）小物块P、Q弹性正碰后P、Q的速度大小；
（3）若小物块Q从斜面返回到C点恰好与小物块P相碰，小物块Q最初静止的位置与C点的距离。
2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图所示，水平地面左侧固定半径R=0.5m的竖直半圆弧光滑轨道ABC，A点为圆弧最高点，B点与圆心O等高，C点与水平地面相切。用三根材料相同、质量分布均匀的长方木条制成直角三角形框架DEF，斜木条DE的上表面光滑，倾角为。在F点右侧相距较远处有一P点，P点左侧的水平地面光滑，P点右侧的水平地面与框架底面木条DF之间的动摩擦因数为μ=0.1.一可视为质点的小滑块从框架的最高点E由静止开始释放，滑块恰好能通过半圆弧轨道的最高点A水平飞出，落到地面后停止运动。已知滑块质量m=1.0kg，框架质量滑块从框架进入水平地面时，速度由沿斜面方向变为水平方向，而速度的大小保持不变，不计其余一切阻力，重力加速度
（1）求滑块经过B点时对轨道的压力FN；
（2）求框架竖直边EF的高度h；
（3）求框架停止运动时F点与P点的距离s。
3．（2023上·广东潮州·高三统考期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与圆弧轨道DCB相切于B点，DC段粗糙，CB段光滑，圆心角，D点与圆心O等高，圆弧轨道半径，一个质量为，可视为质点的小物体，从D点的正上方距离为的E点处自由下落，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数，取，，。忽略空气阻力对物体运动的影响，则：
（1）小物体经多长时间到达D点；
（2）当小物体到达圆弧轨道底端C时对轨道的压力为13N，求小物体在圆弧DC段克服摩擦力所做的功；
（3）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L至少要多长？
4.（2023上·湖北孝感·高三安陆第一高中校联考阶段练习）如图所示，e字形轨道竖直放置在水平面上，该导轨由左右两光滑半圆轨道和粗糙水平直轨道BE组成，B处有一弹性挡板，右半圆的半径r，左半圆半径为，水平导轨BE长度为，圆弧上的D点与小圆圆心等高。一质量为m的小滑块经A点向左进入轨道，恰好能通过C，并且经B反弹一次后停在E处，已知滑块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g。求：
（1）滑块在D点时所受的弹力大小；
（2）滑块与水平导轨的动摩擦因数；
（3）改变小滑块的初速度，使小滑块运动过程中不脱离轨道且能回到A，求小滑块初次经过A点的速度范围。
题型四 机械能守恒定律的综合应用
【典例分析1】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图所示，光滑轨道ABCD固定在竖直平面内，BC段是圆心为、半径为的四分之一圆弧，点在点的正上方。一质量为的小球由A点静止下滑，最后从点水平飞出，落在水平地面上的点。已知O，D之间的距离为2R，小球可视为质点，重力加速度大小取，空气阻力忽略不计。
（1）求A、B两点间的高度差；
（2）若小球从轨道AB上某点由静止释放后，沿着轨道运动至点时脱离轨道，已知。求小球释放点与点之间的高度差。（，）
【典例分析2】 如图所示，水平面AB段光滑、BC段粗糙，右侧竖直平面内有一呈抛物线形状的坡面OD，以坡面底部的O点为原点、OC方向为y轴建立直角坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝eq \f(1,5)x2.一水平轻质弹簧左端固定在A点，弹簧处于自然伸长状态时右端处在B点．一个质量m＝0.2 kg的小物块压缩弹簧后由静止释放，从C点飞出落到坡面上．已知坡底O点离C点的高度H＝5 m，BC间距离L＝2 m，小物块与BC段的动摩擦因数为0.1，小物块可视为质点，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若小物块到达C点的速度为eq \r(5) m/s，求释放小物块时弹簧具有的弹性势能；
(2)在(1)问的情况下，求小物块落到坡面上的位置坐标；
(3)改变弹簧的压缩量，弹簧具有多大的弹性势能时，小物块落在坡面上的动能最小？并求出动能的最小值．
【方法提炼】
一 机械能守恒定律的三种表达形式及注意问题
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能．
二 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)选取研究对象eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(单个物体,多个物体组成的系统))
(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律列出方程．
(5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
【变式演练】
1.如图为单板滑雪U型池的简化模型示意图，一质量M为45 kg的运动员从轨道a处由静止滑下，若运动员在下行过程中做功，上行过程中运动员不做功，运动员在b点竖直向上滑出轨道上升的最高点离b点高度H为10 m，U型轨道简化为半圆轨道，其半径R为20 m，滑板的质量m为5 kg，不计轨道和空气的阻力，g取10 m/s2，求：
(1)在轨道的最低点运动员对滑板的压力大小；
(2)运动员在下行过程中所做的功。
2.（2024·云南红河·统考一模）如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，A点的切线水平，距水平地面的高度也为R。质量的小球（可视为质点）从P点由静止沿圆弧轨道滑下，然后从A点飞出，落在水平地面上的B点。已知A，B两点的水平距离，空气阻力忽略不计、重力加速度。求：
（1）圆弧轨道的轨道半径R；
（2）小球对轨道上A点的压力大小。
题型五 动量观点与能量观点的综合应用
【典例分析1】（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图所示，在足够长的光滑水平地面MN上固定一光滑的竖直半圆形轨道NP，NP的半径为，N点处切线水平且与地面平滑连接。质量的物块A与轻弹簧一端连接，以速度沿水平地面向右运动，物块B静止，在物块A运动的前方。与物块A连接的轻弹簧从接触B到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B运动的距离为0.15m，经历的时间为。在此后的运动中，B与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿NP运动时恰能经过最高点P。物块A、B均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为。求：
（1）物块B在N点的速度大小；
（2）物块B的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
【典例分析2】．（2023·天津和平·统考二模）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以某一初速度开始向上滑动，滑动过程中受到滑杆的摩擦力f为1N，滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞（作用时间极短），带动滑杆一起离开桌面竖直向上运动，之后上升了h＝0.2m时速度减为0。已知滑块的质量m＝0.2kg，滑杆的质量M＝0.6kg，A、B间的距离L＝1.2m，重力加速度g取，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小和；
（2）滑块与滑杆碰撞前瞬间的速度大小；
（3）滑杆从A处开始向上运动的初速度。
【典例分析3】．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，一半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道与光滑水平轨道cd在d处平滑连接，且与足够长的粗糙水平轨道ab在同一竖直平面内。在ab的最右端放置一个质量M=4kg的木板，其上表面与cd等高，木板与轨道ab间的动摩擦因数μ1=0.1，质量mQ=2kg的滑块Q置于cd轨道上且与c点距离为6m。现在圆弧轨道的最高点处由静止释放一质量mP=6kg的滑块P，一段时间后滑块P与Q发生弹性正碰，碰撞时间极短。从P与Q碰撞结束开始计时，3s末Q从木板左端飞出（飞出后立即被取走，对其他物体的运动不造成影响）。已知P、Q与木板间的动摩擦因数均为μ2=0.2，滑块P、Q均可视为质点，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取10m/s2，求：
（1）碰撞后P、Q速度的大小和方向；
（2）木板的长度L；
（3）P滑块能否从木板左端滑离木板？若能，求P从木板左端滑离时的速度；若不能，求P停在木板上的位置距木板右端的距离；
（4）P、Q碰撞后滑块、木板及ab轨道之间的摩擦生热之和Q。
【方法提炼】
1．动量守恒定律
表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；或p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)；或Δp＝0(系统总动量的增量为零)；或Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)．
2．力学规律的选用原则
多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题时，应选用动量守恒定律，然后再根据能量关系分析解决．
3.动量和能量综合问题的主要情境模型为：碰撞、滑块在滑板上滑动和爆炸．
(1)碰撞过程满足动量守恒并遵循碰撞后系统动能不增加、碰撞前后的运动情况要合理的原则．
(2)滑块放置在光滑水平地面的滑板上滑动时，滑块和滑板组成的系统满足动量守恒，滑块和滑板之间因摩擦生热，故系统机械能减少，一般利用功能关系(即摩擦产生的热量等于系统动能的减少量)列方程求解.
【变式演练】
1.（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如图所示，轨道ABCD由半径的光滑圆弧轨道AB、长度LBC=0.6m的粗糙水平轨道BC以及足够长的光滑水平轨道CD组成。质量的物块P和质量的物块Q压缩着一轻质弹簧并锁定（物块与弹簧不连接），三者静置于CD段中间，物块P、Q可视为质点。紧靠D的右侧水平地面上停放着质量的小车，其上表面EF段粗糙，与CD等高，长度FG段为半径的光滑圆弧轨道；小车与地面间的阻力忽略不计。P、Q与BC、EF间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度，现解除弹簧锁定，物块P、Q由静止被弹出（P、Q脱离弹簧后立即撤走弹簧），其中物块P进入CBA轨道，而物块Q滑上小车。不计物块经过各连接点时的机械能损失。
（1）若物块P经过CB后恰好能到达A点，求物块P通过B点时，物块P对圆弧轨道的弹力的大小；
（2）若物块P经过CB后恰好能到达A点，求物块Q冲出小车后离开G点的最大高度；
（3）若弹簧解除锁定后，物块Q向右滑上小车后能通过F点，并且后续运动过程始终不滑离小车，求被锁定弹簧的弹性势能取值范围。
2．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在光滑水平面上质量均为2kg的相同小物块A和B拴接在轻绳的两端，物块A靠墙放置。用力使A、B间压紧一根轻质弹簧保持静止，弹簧储存的弹性势能为4J，弹簧与A、B均不拴接，弹簧原长小于绳长。放手后，弹簧将物块弹开，最终物块A、B一起向右匀速运动。求：
（1）从放手到物块A、B一起匀速运动的过程中，墙对A的冲量。
（2）整个过程中A、B和弹簧组成的系统机械能的损失量。
3．（2023·浙江·校联考一模）如图所示，在光滑平台上可通过弹簧将小滑块水平弹射，右侧在竖直平面内有两个光滑圆弧轨道和水平粗糙轨道，下端水平相连。左边轨道对应的圆心角为，右侧为一段圆弧。小滑块静止在右边圆弧轨道的最低点。现将小滑块从平台弹出后，恰好从点沿圆弧进入轨道。随后与发生弹性碰撞。已知平台与等高，，，左边圆弧轨道的半径为，右边圆弧轨道的半径为，水平轨道长为，和与水平轨道之间的动摩擦因数均为，取重力加速度，。
（1）求进入轨道点时滑块的速率；
（2）求碰撞后瞬间对轨道的压力；
（3）求第一次碰撞后经过多长时间两滑块再次相遇。
4．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，光滑的半径为的圆弧最低点与竖直墙壁AB相连，质量的小球1与长度为轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为的小滑块相连，小滑块套在光滑的水平杆上。初始轻杆紧靠墙壁竖直放置，小球1刚好处在圆弧的末端。现将质量为的小球2从圆弧上的C点由静止释放，CO连线与竖直方向的夹角为53°，小球2运动至圆弧的最低点与小球1发生弹性正碰，碰后立刻撤掉小球2。已知重力加速度的大小不计空气阻力。求
（1）小球2运动至轨道最低点与小球1碰撞前瞬间对轨道的压力大小；
（2）两球碰撞后的瞬间，小球1的速度大小；
（3）轻杆上作用力为零时，小球1的速度大小及此时轻杆与竖直方向夹角的余弦值；
（4）小球1落到水平杆上前一瞬间的速度大小。
5．（2023·河南新乡·统考一模）如图所示，足够大的光滑水平地面上静置一质量、带光滑圆弧轨道的滑块B，圆弧轨道的底端与地面相切，半径；质量的小球A从滑块B顶端正上方高处由静止落下，无碰撞地进入圆弧轨道，小球A可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求：
（1）小球A进入圆弧轨道时的动能；
（2）滑块B对小球A做的功W。
6．（2024·贵州·统考一模）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，物块A处于平板B上的O'点，O'点左侧粗糙、右侧光滑，光滑部分的长度d=3.75m。用不可伸长的长度为L=7.2m的轻绳将质量为m=0.1kg的小球悬挂在O'点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点时轻绳拉断、小球与小物块A碰撞后瞬间结合成一个物体C，之后C沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。已知A的质量mA=0.1kg，B的质量mB=0.6kg，C与B的动摩擦因数μ1=0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，整个过程中C始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）轻绳被拉断前瞬间绳对小球的拉力大小；
（2）C与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vC与vB；
（3）C与B都停止运动时C与B右端的距离。
7．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为3kg、长为的长木板B静止在水平面上，质量为1kg的物块A放在平台上，平台的上表面与长木板的上表面在同一水平面上，木板B的左端紧靠平台的右端，质量为的小球用长为的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳向左拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A沿水平方向发生弹性碰撞，物块A与小球均可视为质点，不计空气阻力，物块A与平台、木板B之间的动摩擦因数均为，长木板与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度g取．求：
（1）小球与A碰撞前瞬间，细线拉力大小；
（2）小球与物块A碰撞过程中，物块对小球的冲量大小；
（3）要使物块不滑离木板B，开始时物块A离平台右端的距离最小为多少．
8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，竖直光滑半圆弧轨道的下端B点固定在高的竖直墙壁上端，O为半圆的圆心，BC为竖直直径，一质量的小球b静置在B点。现将一质量的小球a从水平地面上的A点以初速度斜向上抛出，抛射角。小球a刚好能沿水平方向击中小球b，两小球碰撞过程时间极短且没有能量损失，碰撞结束后小球b在半圆弧轨道上运动的过程不脱离轨道（小球b从圆弧轨道最高点C和最低点B离开不算脱离轨道）。已知，，重力加速度，空气阻力不计，求：
（1）小球a从A点抛出时的初速度；
（2）碰撞结束瞬间小球b的速度；
（3）半圆弧轨道的半径R的取值范围。
题型六 带电粒子(体)在电场中的运动
【典例分析1】（2023·四川德阳·统考一模）如图（a）所示，A、B两足够大平行金属板水平放置，A板中心有一小孔，AB两板间的距离为d=1.2m，两板间的电压变化如图（b）所示，B板接地。一质量为m=0.1kg、电荷量为q=+0.1C的小球，在t=0时刻从A板中心处的小孔静止释放。不计一切阻力，重力加速度大小为10m/s2，求：
（1）在0~0.2s内小球运动的位移大小；
（2）在0~0.2s内和0.2s~0.4s内电场力对小球所做功之比。
【典例分析2】．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图所示，质量均为m的带电小球A和B分别固定在长为2L的绝缘轻质细杆的两端并静止在光滑绝缘的水平面上。现以细杆中垂面为左边界加一平行细杆向右的场强大小为E的匀强电场，此时两球的加速度大小为，方向向右。已知B球所带的电荷量为、电场左右边界的间距为4L，求：
（1）A球所带的电荷量；
（2）A、B向右运动的最大速度；
（3）从加上电场经时间后两球的速度大小。
【典例分析3】．（2023上·河南安阳·高三林州一中校考阶段练习）如图所示，一静止的电子经过电压为U的电场加速后，立即从A点射入匀强电场中，射入方向与匀强电场的方向垂直，最终电子从B点离开电场．已知匀强电场的电场强度大小为E，宽度为L，方向竖直向上，电子的电荷量为e，质量为m，重力及空气阻力忽略不计。
（1）求电子在匀强电场中的偏转距离；
（2）若仅将加速电场的电压提高为原来的2倍，使电子仍经过B点，求匀强电场的电场强度大小。
【典例分析4】．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，半径为R的圆处在匀强电场中，电场线与圆面平行，在圆周上A点以大小为v的速度将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子射入电场，结果粒子经过圆上B点时，速度大小为2v，若以大小为2v的速度从A点射入电场，粒子经过圆上C点时，速度大小为，B点是AC弧的中点，AC是圆的直径。不计粒子的重力，求：
（1）A、B间的电势差；
（2）匀强电场的电场强度大小。
【典例分析5】（2024·四川成都·石室中学校考一模）如图所示，光滑绝缘圆轨道竖直放置，半径为，电场与水平方向成斜向右上，质量为，电荷量为的带电小球恰好能静止于与圆心等高的点处，现将该小球带上等量的负电从点静止释放，求：
（1）带负电的小球在水平方向和竖直方向的加速度分别是多大；
（2）从释放到小球第一次与圆轨道撞击时的速度和电势能的改变量。
【方法提炼】
1．带电粒子(体)在电场中的加速
(1)匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式．
(2)非匀强电场中，只能用功能关系求解．
2．带电粒子(体)在匀强电场中的偏转(v0垂直于E的方向)，如图所示
处理方法：应用运动的合成与分解．
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，离开电场时，运动时间t＝eq \f(L,v0).
(2)沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md).
(3)离开电场时的偏移量y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUL2,2mdv\\al(2,0)).
(4)速度偏向角
tan φ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUx,mdv\\al(2,0)) eq \(――→,\s\up7(x＝L))tan φ＝eq \f(qUL,mdv\\al(2,0))；
位移偏向角
tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(qUx,2mdv\\al(2,0)) eq \(――→,\s\up7(x＝L))tan θ＝eq \f(qUL,2mdv\\al(2,0)).
3.带电粒子(体)在电场中运动问题的分析思路
(1)首先分析带电粒子(体)的运动规律，确定带电粒子(体)在电场中做直线运动还是曲线运动．
(2)当带电粒子(体)从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子(体)的运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口.
【变式演练】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）如图所示，在水平地面上固定一个倾角为的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。
2．（2023上·河南濮阳·高三统考期中）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径（圆管的内径忽略不计）。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大的、电场强度大小的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为的带电小球（可视为质点），P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。求：
（1）虚线AB上方匀强电场的电场强度大小；
（2）小球到达管口A处的速度大小；
（3）小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点（图中未标出），求小球在圆管中运动的时间与运动的总时间之比。
3．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）如图，足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定光滑绝缘半径为R的四分之一圆弧轨道BC，B为圆弧的最低点，A点在圆弧左侧，且AB间距为2R。整个空间处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为的带正电小球从A点静止释放，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到B点时的速度大小；
（2）小球在圆弧BC上运动过程中的最大动能；
（3）小球离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率及该过程机械能的增量。
4．（2023·陕西·校联考一模）有一水平方向的匀强电场，场强，一带正电的微粒以竖直向上的初速度从A点射入电场，一段时间后从B点离开电场，A、B两点在同一条水平直线上。已知带电微粒质量，所带的电荷量，重力加速度，微粒向上运动过程中未冲出电场。求
（1）带电微粒在竖直方向上的最大位移；
（2）A、B两点的电势差；
（3）带电微粒在电场中运动速度的最小值。
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示， 用长为l的绝缘细线把一个质量为m， 电荷量为q的带正电小球悬挂在O点，现加一电场强度最小的匀强电场， 使小球静止在 A 点， 此时细线与竖直方向夹角重力加速度为g，求：
（1）电场强度大小及方向；
（2）要使小球能绕O点做完整的圆周运动， 在 A 点沿切线方向给小球的初速度的最小值。
6．（2024·福建·一模）在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成θ = 37°角，如图所示。现给小球一个方向与细线垂直的初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做顺时针的圆周运动，，重力加速度大小为g。
（1）求小球受到电场力的大小F并指出小球带何种电荷；
（2）求小球运动的最大速度；
（3）若小球运动到最低点时细线立即被烧断，求小球经过O点正下方时与O点的高度差h。
7．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直坐标平面xOy内存在有水平方向的匀强电场（方向未画出）。以原点O为圆心，半径为r的圆与y轴交于A点，P为圆周上一点，OP与x轴正方向成角。在A点将质量为m，带电量为q的带正电小球由静止释放，小球将从P点离开圆形区域，若从A点沿不同方向以相同的速率抛出小球，发现小球从Q点（图中未画出）离开圆形区域时动能最大。重力加速度为g，求：
（1）电场强度的方向和大小；
（2）A、P两点的电势差；
（3）小球从Q点离开圆形区域时的动能。
题型七 带电粒子在磁场中的运动
【典例分析】（2023·江西鹰潭·校联考模拟预测）如图所示，以为圆心、半径为的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。在圆周上的点安装一个粒子源，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射比荷为的粒子。若粒子以的速率沿方向射入磁场，恰能在圆内运动时间（未知）后从圆周上的点（图中未画出）离开磁场。若向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射速率为（未知）的粒子，这些粒子均能从劣弧范围内离开磁场（点有粒子经过）。不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子的速率。
【方法提炼】
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据
一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法．在具体问题中，要依据题目条件和情景而定．解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m eq \f(v2,r)，求半径r＝eq \f(mv,qB)及运动周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB).
2．圆心的确定方法
法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙．
3．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)T，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)．
5．常见运动轨迹的确定
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图丙所示)．
(2)平行边界(存在临界条件，如图丁所示)．
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图戊所示)．
6．常用解题知识
(1)几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系．根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度．
(2)半径公式、周期公式：R＝eq \f(mv,qB)、T＝eq \f(2πm,qB).根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等．
(3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝eq \f(θ,2π)T.
【变式演练】
1.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）托卡马克（Tkamak）装置是一种利用磁约束来实现可控核聚变的环形容器，又称环流器或“人造太阳”。如图是环流器局部截面的磁场简化示意图，环形磁场区域内边界半径为R、外边界半径为2R，内有磁感应强度大小为B的匀强磁场。以区域圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，在点处放置一个粒子源S，粒子源S可以沿xOy平面向外发射比荷为k的带正电的粒子，以此测试该装置的磁约束效果。忽略带电粒子间的相互作用，不计重力。
（1）若粒子源S以的速率朝x轴正方向发射一个粒子，该粒子恰好不离开磁场外边界，求；
（2）若粒子源S以的速率平行于y轴向上发射一个粒子，该粒子恰好不离开磁场外边界，求及该粒子回到粒子源位置所经历的时间t（只考虑一次回到粒子源的时间）；
（3）若粒子源S均匀地朝xOy平面内各个方向发射速率均为的粒子，求被束缚在磁场内的粒子数占总粒子数的比例。进一步分析，如果通过调整磁场的磁感应强度来实现上述粒子的全部约束，求调整后磁场磁感应强度的最小值。
2．（2023·陕西商洛·统考一模）图甲是太极图。图乙是内部存在方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场的太极图，大圆的圆心为O，内部两个半圆的圆心O'、O''在同一直径MN上，半圆直径均为圆O的半径。曲线MON左侧的磁场方向垂直纸面向外。一质量为m、带电荷量为q的质子，以速度v0从N点沿纸面射入右侧磁场，恰好通过O点进入左侧磁场并从M点射出，质子在磁场中运动的时间为t。不计质子受到的重力，求：
（1）质子射入磁场时与NM的夹角θ；
（2）圆O的半径R。
3．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为L，MN左侧区域有范围足够大的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地发出大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子受到的重力，不考虑离子之间的相互作用力。求：
（1）离子从发出到打中荧光屏的最短时间和最长时间；
（2）离子打中荧光屏的宽度；
（3）打到荧光屏上的离子数与发射的离子数的比值。
4（2023上·山东威海·高三山东省荣成市第一中学校考期中）如图，圆心为O、半径为r的圆形区域内没有磁场，圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，P是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。不计重力，。求：
（1）若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足怎样的条件？
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间；
（3）粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界所用的时间。（已知）
题型八 带电粒子在组合场中的运动
【典例分析】．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，空间中存在平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象限内有一条分界线ON与x轴正方向的夹角为： 在 轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究员将一带正电的粒子从y轴上的距原点O距离d 的P点，以速度v0垂直y轴打入电场，经电场偏转后经 轴进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为，不计粒子重力。求：
（1）粒子从 轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求粒子第三次进入磁场时距离 O点的距离。
【方法提炼】
1．组合场中的两种典型偏转
2.常见模型
(1)从电场进入磁场
(2)从磁场进入电场
【变式演练】
1.（2023上·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图所示，在xOy平面直角坐标系第一象限内存在+y方向的匀强电场，第四象限范围内存在垂直xOy平面向里，大小为的匀强磁场。一带电量为-q质量为m的粒子，以初速度从P(0，2L)点沿+x方向垂直射入电场，粒子做匀变速曲线运动至Q(4L，0)点进入第四象限，粒子运动过程中不计重力。求：
（1）第一象限内匀强电场电场强度大小；
（2）粒子在第一象限运动过程中与PQ连线的最大距离；
（3）粒子进入第四象限后与x轴的最大距离。
2．（2023上·甘肃白银·高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电荷量为，质量为的带负电粒子以一定的速度从点垂直射入电场，从点进入磁场后，恰好垂直轴从点离开磁场。已知点坐标为（0，L），点坐标为（L，0），不计粒子受到的重力，求：
（1）粒子射入磁场时的速度大小；
（2）点的纵坐标；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小。
3．（2024·贵州·统考一模）如图所示，在xOy平面第一象限有沿y轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A点有一带电粒子以某一初速度沿+x方向抛出，从坐标为（L，0）的C点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x轴时的位置与坐标原点的距离。
4．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系x轴上方有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴下方有与x轴正方向成角斜向右上方的匀强电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上点沿y轴负方向以一定初速度射出，粒子连续两次都经过x轴上Q点（未画出）进出电场，当粒子第二次经过Q点时，仅将磁场方向改成垂直坐标平面向里，则粒子第四次经过x轴时还是在Q点，粒子重力不计，求：
（1）粒子在P点射出的初速度的大小；
（2）匀强电场的电场强度E的大小；
（3）粒子从P点射出到第三次经过Q点运动的时间．
题型九 带电粒子(体)在叠加场中的运动
【典例分析】．（2023·全国·校联考一模）如图所示，竖直虚线的左侧存在竖直向上电场强度大小为E的匀强电场，右侧存在竖直向上电场强度大小为2E的匀强电场与垂直纸面向外磁感应强度大小为B的匀强磁场。光滑绝缘的四分之一圆弧轨道ab固定在虚线左侧的竖直平面内，a点的切线竖直，b点正好在虚线上，且切线水平，P点是圆弧ab的中点，带电量为q的带正电小球从a点由静止释放，离开b点在虚线的右侧正好做匀速圆周运动，经过一段时间到达虚线上的c点。已知b、c两点间的距离是圆弧轨道ab半径的2倍，重力加速度大小为g。
（1）求小球的质量以及小球在b点的速度大小；
（2）求圆弧轨道P点对小球的支持力大小；
（3）求小球从b到c动量的变化率以及a、c两点间的电势差。
【方法提炼】带电粒子在复合场中运动问题的处理方法
(1)明种类：明确复合场的种类及特征。
(2)析特点：正确分析带电粒子的受力特点及运动特点。
(3)画轨迹：画出运动过程示意图，明确圆心、半径及边角关系。
(4)用规律：灵活选择不同的运动规律。
①两场共存，电场与磁场中满足qE＝qvB或重力场与磁场中满足mg＝qvB且两力方向相反时，粒子做匀速直线运动，根据受力平衡列方程求解。
②两场共存，电场力与重力都恒定时，粒子平衡时根据平衡条件求解，做匀变速直线运动时用牛顿运动定律、运动学规律或动能定理求解，做匀变速曲线运动时用运动的合成与分解或动能定理求解。
③三场共存，合力为零时，受力平衡，粒子做匀速直线运动或静止。其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
④三场共存，粒子在复合场中做匀速圆周运动时，mg与qE相平衡，根据mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用洛伦兹力公式和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝ma。
⑤当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【变式演练】
1.（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）和平行于纸面的匀强电场，电场强度大小为，方向与水平方向成角斜向右上方（图中未画出）。现将一带电量为，质量为的绝缘小球（中轴为一小孔）从点由静止释放，小球运动至点时速度大小为，方向刚好竖直向上。此时对小球施加一竖直方向的外力并在点撤去，使小球在竖直方向的分速度保持不变。小球运动至点时刚好无碰撞地进入竖直固定光滑圆弧管道。小球从点（切线水平）滑出管道后刚好穿在足够长的粗糙水平细杆上。管道的半径为，重力加速度为，小球与水平杆之间的滑动摩擦因数为两点间的竖直距离为两点间水平距离的倍，小球可在管道中和水平杆上自由滑动。求：
（1）小球在细杆上最终稳定时速度的大小
（2）小球在管道中的动能最小时对管道的压力大小
（3）小球在水平杆上运动过程中合外力做的功。
2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图所示，在xOy竖直平面内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在的区域内有沿x轴正方向的匀强电场，在的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小相等且未知。一质量为5m、电荷量为的带电微粒从y轴上P点发出，沿直线运动到x轴上Q点，PQ与y轴夹角为。带电微粒进入第一象限后，将区域内的匀强电场E变为沿y轴正方向。带电微粒第一次从右往左穿过y轴时，分裂成速度方向均垂直于y轴向左的带正电的微粒甲和乙，质量分别为m、4m，且甲、乙微粒的比荷相同，分裂后二者总动能是分裂前微粒动能的2倍。不考虑分裂后两微粒间库仑力的影响，已知重力加速度为g。
（1）求电场强度E的大小；
（2）求分裂后乙微粒做圆周运动的半径；
（3）分裂后甲微粒速度方向偏转时，撤去磁场，经过一段时间后，再加上与原区域相同的磁场，此后两微粒的轨迹不相交，求撤去磁场的时间需满足的条件。
3．（2023·广西·校联考模拟预测）如图所示，在竖直面内的直角坐标系中，y轴竖直，A、B两点的坐标分别为与。的区域内有沿x轴负方向的匀强电场；第二象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出）；第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直方向的匀强电场（图中均未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从A点以大小（g为重力加速度大小）的速度沿做直线运动，通过O点（第一次通过x轴）后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过B点（第二次通过x轴）。求：
（1）第二象限内磁场的磁感应强度大小；
（2）小球从O点到第四次通过x轴的时间t；
（3）小球第五次通过x轴时的位置坐标以及第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到x轴的最大距离。
4．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy（x轴水平，y轴竖直）中，第一象限内存在正交的匀强电、磁场，电场强度竖直向上，大小磁场方向垂直纸面向里；第四象限内存在一方向向左的匀强电场，场强。一质量为的带正电的小球，从M（3.6m，3.2m）点，以的水平速度开始运动。已知球在第一象限内做匀速圆周运动，从P（2.0m，0）点进入第四象限后经过y轴上的N点（图中未标出）。求：（g取，，）
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）小球由P点运动至N点的时间；
（3）y轴上的N点坐标。
题型十 电磁感应综合问题
【典例分析】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两间距为L=1m的光滑水平金属轨道固定在绝缘水平地面上，左端连接阻值为R=0.5Ω的定值电阻，一质量为m=2kg、电阻为R=0.5Ω、长度为L=1m的导体棒垂直放置在导轨上，垂直于轨道的虚线1、2间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），虚线3、4间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现将导体棒放在虚线1位置，并在导体棒上施加一水平向右的恒力F=4N，导体棒由1运动到4的过程中，导体棒中产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，其中5s时图线的切线与横轴平行，已知导体棒在虚线4位置时的速度大小为，导轨的电阻忽略不计。求：
（1）的大小及5s时导体棒的速度大小；
（2）虚线1、2的间距；
（3）导体棒在虚线3、4间运动的过程中产生的焦耳热Q。
【方法提炼】
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
1．力学对象和电学对象的相互关系
2．动态分析的基本思路
3.电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
4．能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
5．解决电磁感应能量问题的策略是“先源后路、先电后力，再是运动、能量”，即
6.电磁感应中力、能量和动量综合问题的分析方法
(1)分析“受力”：分析研究对象的受力情况，特别关注安培力的方向。
(2)分析“能量”：搞清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了变化，根据动能定理或能量守恒定律等列方程求解。
(3)分析“动量”：在电磁感应中可用动量定理求变力的作用时间、速度、位移和电荷量(一般应用于单杆切割磁感线运动)。
①求速度或电荷量：－Beq \x\t(I)lΔt＝mv2－mv1，q＝eq \x\t(I)Δt。
②求时间：FΔt＋IA＝mv2－mv1，IA＝－Beq \x\t(I)lΔt＝－Bleq \f(ΔΦ,R总)。
③求位移：－Beq \x\t(I)lΔt＝－eq \f(B2l2\x\t(v)Δt,R总)＝mv2－mv1，即－eq \f(B2l2,R总)x＝m(v2－v1)。
【变式演练】
1.（2024·广东中山·中山市华侨中学校考模拟预测）如图，足够长的两光滑平行金属导轨MN、PQ所构成的斜面与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，两导轨顶端接一阻值为R的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。一根质量为m的导体棒垂直放置于导轨底端，其在两导轨之间部分的电阻为R。现给导体棒一沿斜面向上的速度大小为v，导体棒上滑过程通过导体截面的电荷量为q；在运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，两光滑平行金属导轨电阻忽略不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒刚进入磁场时的加速度大小；
（2）导体棒向上滑的最大位移x；
（3）上滑过程中，导体棒上产生的热量Q。
2.（2023·浙江·慈溪中学校联考模拟预测）如图1所示，间距为d，相互平行的金属导轨EG、FH与PG、QH，在GH处用一小段绝缘圆弧相连，其中PG、QH水平，EG、FH是倾角为的斜轨。EF之间接一个阻值为R的电阻，PQ之间接有阻值不计，自感系数为L的自感线圈。MNGH和CDPQ区域存在大小为B，方向如图所示垂直于轨道平面的匀强磁场。质量为m，电阻r的金属棒a从AB处由静止开始沿导轨下滑，其在斜轨上运动过程中的v-t图像如图2所示，金属棒滑过GH后与另一根放在CD右侧位置相同质量，电阻不计的的金属棒b相碰，碰后两棒粘在一起运动。不计导轨的电阻及GH处的机械能损失，金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，轨道足够长。已知，，，，，。取，，。
（1）求金属棒a刚进磁场时A、B两点间的电势差UAB；
（2）求金属棒a与导轨间的动摩擦因数以及金属棒在磁场中能够达到的最大速率；
（3）已知金属棒a从进入磁场到速度达到4m/s时所用时间为2.1s，求此过程中电阻R产生的焦耳热；
（4）求a、b棒碰撞后，向左运动的最大距离xm（提示：自感电动势的大小为）。
2．（2023下·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考开学考试）如图，两根半径r为1m的圆弧轨道间距L也为1m，其顶端a、b与圆心处等高，轨道光滑且电阻不计，在其上端连有一阻值为R的电阻，整个装置处于辐向磁场中，圆弧轨道所在处的磁感应强度大小均为B，且B=0.5T，将一根长度稍大于L、质量m为0.2kg、电阻为R0的金属棒从轨道顶端ab处由静止释放，已知当金属棒到达如图所示的cd位置时，金属棒与轨道圆心连线和水平面夹角θ为60°，金属棒的速度达到最大；当金属棒到达轨道底端ef时，对轨道的压力为3N，（g=10m/s2）求：
（1）当金属棒的速度最大时，流经电阻R的电流大小和方向；
（2）金属棒滑到轨道底端的整个过程中，流经电阻R的电量为0.1πC，整个回路中的总电阻为多少？
（3）金属棒滑到轨道底端的整个过程中，电阻R上产生的热量为1.2J，则金属棒的电阻R0多大？
3．（2023·浙江台州·统考模拟预测）如图所示的两装置水平放置，均处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R。光滑平行导轨足够长，图1导轨间距为d，图2导轨间距分别为d与2d。长度为2d的相同导体棒a、b、c均垂直静置于导轨上，导体棒质量为m、电阻为R。求：
（1）图1中闭合开关，导体棒a最终速度的大小与方向；
（2）将图1中的电源换成电容为C、电压为的电容器，闭合开关，导体棒a最终速度的大小；
（3）图2中闭合开关，导体棒b的最终速度的大小及从静止开始到达到过程中导体棒b产生的焦耳热。
（4）图2中闭合开关，导体棒b速度为最终速度的一半时导体棒b两端的电势差大小。
4．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）如图所示，倾角为、足够长的光滑绝缘斜面固定不动，斜面上有一系列间距均为的水平虚线（图中仅画出部分），虚线1、2间存在垂直斜面向下的匀强磁场，从虚线2向下每间隔在两虚线间存在垂直斜面向下的与虚线1、2间相同的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电阻值为、边长为的正方形线框从虚线1上方某位置由静止释放，边始终与虚线平行，当线框的边刚好到达虚线1时，线框的加速度大小为，方向沿斜面向下，重力加速度取。整个过程中线框始终没有发生转动。求：
（1）线框释放瞬间，边到虚线1的间距；
（2）线框的最大速度；
（3）若从释放到线框的速度达到最大，所用的时间为，则此过程中线框中产生的焦耳热为多少?
5.（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）如图所示，电阻不计的两条平行足够长光滑金属导轨固定在同一水平面上，其间距为1m。甲、乙两根完全相同的金属棒垂直导轨放置，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为0.5T，方向竖直向下的匀强磁场中。某时刻给金属棒甲施加一个大小为F=2N、水平向右的拉力，拉力F作用4s时，金属棒甲、乙的加速度相等，此时撤去拉力F。已知金属棒甲、乙的质量均为1kg，接入电路中的电阻均为0.5Ω。求：
（1）金属棒甲、乙的加速度相等时甲、乙的速度大小；
（2）从撤去拉力F到经过一段时间金属棒甲、乙之间的距离不再变化这一过程，电路中产生的热量以及金属棒甲、乙之间距离的增加量。
6．（2023·天津和平·统考二模）如图甲所示，质量为0.5kg，足够长的“”形光滑金属框放在光滑绝缘水平面上，金属框两平行边间距为1m，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为1T，金属棒ab垂直放在金属框两平行边上，用绝缘细线将棒ab与固定的力传感器相连，开始时细线水平伸直且无张力，给金属框施加一个水平向右的拉力F，在拉力F的作用过程中，力传感器示数随时间变化的规律如图乙所示，不计金属框的电阻，棒ab始终与金属框两平行边垂直且接触良好，金属棒接入电路的电阻为2Ω，求：
（1）时，金属框运动的速度大小；
（2）时，拉力F的瞬时功率；
（3）若过程中，金属棒上产生的焦耳热为5.4J，此过程中拉力F做的功。
7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
8．（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）如图所示，两平行光滑导轨、的左端接有阻值为的定值电阻，间距为，其中、固定于同一水平面图中未画出上且与竖直面内的光滑圆弧形导轨、相切于、两点。正方形区域内存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。导体棒的质量为、电阻为、长度为，棒在功率恒定、方向水平向右的推力作用下由静止开始沿导轨运动，经时间后撤去推力，然后棒与另一根相同的导体棒发生碰撞并粘在一起，以速率进入磁场，两导体棒穿过磁场区域后，恰好能到达处。重力加速度大小为，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻。求：
（1）该推力的功率；
（2）两导体棒通过磁场右边界时的速度大小；
（3）圆弧形导轨的半径以及两导体棒穿过磁场的过程中定值电阻产生的焦耳热。
9．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）两根足够长水平金属直轨道平行放置，右侧平滑连接半径为r=0.5m的 光滑圆轨道，圆弧轨道处于竖直平面内，轨道间距为L=0.5m，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。现将质量均为m=0.5kg，长为L，电阻为R=0.5Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与直轨道间动摩擦因数为μ=0.4，导轨电阻不计，g=10m/s2。
（1）外力使棒b保持静止，对棒a施加水平恒力F=6N，求棒a运动的最大速度vm及此时棒a两端的电势差U的大小；
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，撤去固定棒b的外力，此时作为零时刻，t1=3s时棒b的速度 时，求从撤去固定棒b的外力到t1时刻通过棒b的电荷量q，经过一段时间后， a、b运动保持稳定状态，此时棒b的加速度ab的大小；
（3）棒a到达圆弧轨道的底端时 ，重新固定棒b，改变F使棒a匀速通过 光滑圆轨道，求此过程F做的功。（结果保留π）
10.（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。质量分别为2kg和1kg的金属棒b和c静止放在水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直。图中de虚线右侧有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场B=2T。两平行导轨宽度L1:L2=2:1。质量为2kg的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h=1.8m（重力加速度大小g取10m/s2，不计摩擦和空气阻力）。求：
（1）绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后刚分离时两棒的速度大小v1和v2；
（2）最终两导体棒b、c的速度大小v3和v4。
垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力
情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动
轨迹
求解
方法
利用类似平抛运动的规律求解：
vx＝v0，x＝v0t
vy＝eq \f(qE,m)t，y＝eq \f(qE,2m)t2
偏转角φ：
tan φ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(qEt,mv0)
半径：r＝eq \f(mv,qB)
周期：T＝eq \f(2πm,qB)
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系，利用圆周运动规律讨论求解
运动
时间
t＝eq \f(x,v0)
t＝eq \f(φ,2π)T＝eq \f(φm,qB)
动能
变化
不变
电场中：加速直线运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动
电场中：类平抛运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动
磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：匀变速直线运动
(v与E同向或反向)
磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：类平抛运动
(v与E垂直)
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15577" 题型一 匀变速直线运动规律的应用 PAGEREF _Tc15577 \h 1
\l "_Tc31067" 题型二 牛顿运动定律的综合应用 PAGEREF _Tc31067 \h 6
\l "_Tc30426" 题型三 应用动能定理求解多过程问题 PAGEREF _Tc30426 \h 17
\l "_Tc16697" 题型四 机械能守恒定律的综合应用 PAGEREF _Tc16697 \h 26
\l "_Tc17846" 题型五 动量观点与能量观点的综合应用 PAGEREF _Tc17846 \h 30
\l "_Tc18663" 题型六 带电粒子(体)在电场中的运动 PAGEREF _Tc18663 \h 50
\l "_Tc6924" 题型七 带电粒子在磁场中的运动 PAGEREF _Tc6924 \h 69
\l "_Tc10337" 题型八 带电粒子在组合场中的运动 PAGEREF _Tc10337 \h 81
\l "_Tc28738" 题型九 带电粒子(体)在叠加场中的运动 PAGEREF _Tc28738 \h 93
\l "_Tc5998" 题型十 电磁感应综合问题 PAGEREF _Tc5998 \h 105
题型一 匀变速直线运动规律的应用
【典例分析1】（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考开学考试）某动车组列车总长，由静止出发后做加速度大小为的匀加速直线运动，达最大速度后做匀速运动。列车出发时，在车头前方8700m处有一信号灯（信号灯宽度可忽略）。当列车尾部通过信号灯时，司机接到通知：在信号灯前方处有一失去控制的工程车，其运动方向与列车相同，速度大小恒为。司机从接到通知到开始刹车历时，求：
（1）求列车由静止匀加速到最大速度所经历的时间和位移的大小？
（2）列车开始刹车时，与工程车的距离d？
（3）列车为避免与工程车相碰，刹车加速度大小至少为多少？
【典例分析2】．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）测试员带机器狗在山地中测试，看到一松鼠在树上，松鼠由于受到惊吓，从高为h=5m的树杈上掉下（可看成自由落体运动），同时机器狗由静止开始向松鼠跑去，该情境可简化为图甲所示的模型，机器狗运动的v-t图像如图乙所示，已知机器狗的最大速度为4m/s，松鼠和机器狗均可看做质点，重力加速度g取10m/s2。
（1）要使机器狗在松鼠落地的同时达到落地点P，求机器狗的初始位置与落地点P之间的距离；
（2）如果开始时机器狗与落地点P之间的距离为12m，由于松鼠落地后摔伤，松鼠将从静止开始以a2=2m/s2的加速度与机器狗以相同方向沿同一直线逃跑（松鼠逃跑的最大速度为6m/s），通过计算说明机器狗能否追上松鼠？
【方法提炼】
(1)求解匀变速直线运动问题的一般思路
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程．
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量．
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程．
(2)追及、相遇或避免碰撞等问题的解题思路
画出运动过程示意图；找出时间关系、速度关系、位移关系并列出方程.
【变式演练】
1．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）已知A、B 两物体，，A 物体从处自由下落，且同时B物体从地面竖直上抛，经过 相遇碰撞后，两物体立刻粘在一起运动，已知重力加速度，求：
（1）碰撞时离地高度x；
（2）碰前A、B速度。
2．（2023上·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）如图所示，在离地面高处以的速度竖直向上抛出一个小球，地面上有一长的小车，其前端距离抛出点的正下方，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做的匀加速直线运动。已知小球落地前最后内下落的高度为，忽略空气阻力及小车的高度，求：
（1）小球抛出点离地面的高度；
（2）小车末端到达小球抛出点正下方时，小球的位移；
（3）当小车末端到达抛出点正下方时，便立即做加速度大小恒为、方向与此时速度方向相反的匀变速直线运动，为了让小车接住小球，试确定加速度的范围。
题型二 牛顿运动定律的综合应用
【典例分析1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图所示，质量的薄木板静置于足够大的水平地面上，其左端有一可视为质点、质量的物块，现对物块施加一水平向右的恒定拉力，木板先在水平地面上加速，物块离开木板后木板在摩擦力的作用下开始减速，运动的总距离。已知物块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数，取重力加速度大小。求：
（1）木板的加速距离d；
（2）木板的长度l。
【典例分析2】．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，足够长的水平地面上有材质不同的甲、乙两个物块，它们与水平面间的动摩擦因数分别为，甲的质量为，乙的质量为。在的水平推力作用下，一起由静止开始向左做匀加速运动，取。求：
（1）物块甲、乙一起做匀加速运动的加速度大小；
（2）物块甲对物块乙的作用力大小；
（3）某时刻甲、乙的速度为，此时撤去推力，则撤去推力后物块乙滑行的距离。
【典例分析3】如图所示，一旅客用F=6.5N的力拉着质量为m=1kg的行李箱沿水平地面运动.已知拉力F与水平方向的夹角θ=30°，从静止开始经t=2.0s时行李箱移动距离，这时旅客松开手，行李箱又滑行了一段距离后停下。若行李箱可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）行李箱与地面间的动摩擦因数；
（2）旅客松开手行李箱还能运动多远；
（3）行李箱要在水平地面上运动，拉力F与水平地面夹角多大时最省力。
【方法提炼】
1.动力学基本问题的解题步骤
(1)明确研究对象：根据问题的需要和解题的方便，选择某个物体或某系统作为研究对象。
(2)受力分析：画好受力示意图，选择适当的处理方法求出合力或合力的表达式。
①合成法：合成法适用于受力个数较少(2个)的情况。
②正交分解法：正交分解法适用于各种情况，尤其是物体的受力个数较多(3个或3个以上)时。
(3)运动情况分析：画出运动示意图，明确物体的运动性质和运动过程，求出或设出物体的加速度。
(4)根据牛顿第二定律和运动学规律列式求解。
2．处理多过程动力学问题的“二分析一关键”
(1)“二分析”
①分析研究对象在每个过程的受力情况，并画出受力分析图；
②分析研究对象在每个阶段的运动特点。
(2)“一关键”
前一个过程的结束时刻和状态就是后一个过程的开始时刻和状态，明确两个过程的交接点速度不变往往是解题的关键。
3.分析“板—块”模型的四点注意
(1)从速度、位移、时间等角度，寻找滑块与滑板之间的联系．
(2)滑块与滑板共速是摩擦力发生突变的临界条件．
(3)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件
①运动学条件：若两物体速度不等，则会发生相对滑动．
②力学条件：一般情况下，假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出滑块“所需要”的摩擦力Ff，比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动．
(4)滑块不从滑板上掉下来的临界条件是滑块到达滑板末端时，两者共速．
4.传送带的摩擦力分析
(1)关注两个时刻
①初始时刻：物体相对于传送带的速度或滑动方向决定了该时刻的摩擦力方向。
②物体与传送带速度相等的时刻：摩擦力的大小、方向或性质(滑动摩擦力或静摩擦力)可能会发生突变。
(2)注意过程分解
①摩擦力突变点是加速度突变点，也是物体运动规律的突变点，列方程时要注意不同过程中物理量莫混淆。
②摩擦力突变点对应的状态是前一过程的末状态，也是后一过程的初状态，这是两个过程的连接点。
(3)物体在倾斜传送上运动，物体与传送带速度相同后需比较tanθ与μ的大小关系：μ>tanθ，速度相等后一起匀速；μ
1.（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）如图所示，水平面与倾角θ=37°足够长的传送带在A点平滑相连，传送带以速度v0=3m/s逆时针匀速转动，小物块（视为质点）在A点右侧x=3.6m处的O点以初速度v1=10m/s向左运动，后从传送带的底端A点滑上传送带，小物块与OA段水平面和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小物块从O点运动到A点时速度大小；
（2）小物块沿传送带向上运动的加速度大小；
（3）小物块沿传送带向上运动的时间和向上滑行的最远距离。
2．（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图所示，在光滑水平地面上静置一质量、长度的薄木板，木板右端放有一质量的小滑块（可视为质点）。某时刻在木板右端施加一水平向右的恒力，作用后撤去。已知滑块与木板间的动摩擦因数，滑块离开木板前、后的速度不变，取重力加速度大小，求：
（1）滑块离开木板时的速度大小；
（2）撤去恒力时滑块到木板左端的距离。
3．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）如图甲所示为月饼排盘器，月饼可以通过排盘器整齐地摆盘，再进入烘焙设备。将排盘过程简化为如图乙所示的模型，开始时排盘器静止在盘子上方，排盘器上表面距离盘子的高度，排盘器右端与盘子右端相距，月饼向右运动，当月饼与排盘器右端相距时，月饼的速度，排盘器立刻以的加速度向左做匀加速运动。已知月饼与排盘器间的动摩擦因数，重力加速度为，求：
（1）从排盘器运动开始计时，经过多长时间月饼将离开排盘器？
（2）月饼落入盘子时距离盘子右端的距离x。
4．（2024·四川自贡·统考一模）如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为θ，BC段水平。一个质量为m1=2kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1s后质量为m2=48kg的滑雪者从顶端以初速度v0=1.5m/s、加速度a=3m/s2做匀加速追赶，恰好在坡底B处追上背包。背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力。求：
（1）滑道AB段的长度；
（2）背包和滑雪者到达B处时，分别的速度大小。
5．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）如图甲所示，一定长度、质量为M=2kg的长木板放在水平面上，质量为m=1kg且可视为质点的物块放在长木板的最右端，现在长木板上施加一水平向右的外力（大小未知），使长木板和物块均由静止开始运动，将此刻记为t=0时刻，0～2s内长木板和物块的速度随时间的变化规律如图乙所示，t=2s时将外力大小改为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与水平面间的动摩擦因数为。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程中物块始终未离开长木板，重力加速度。求：
（1）以及的大小：
（2）长木板最终的速度大小。
题型三 应用动能定理求解多过程问题
【典例分析1】（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025年全运会，2023年11月25日—26日，粤港澳大湾区滑板公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落于水平地面的D点。已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6.求：
（1）运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（）
【典例分析2】．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，一滑雪运动员质量，经过一段加速滑行后从A点以的初速度水平飞出，恰能落到点。在点速度方向（速度大小不变）发生改变后进入半径的竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。已知在最低点时运动员对轨道的压力为。A与B、B与的高度差分别为、。不计空气阻力，，求：
（1）A、B间的水平距离；
（2）运动员在O点的速度；
（3）运动员在段克服阻力做的功。
【方法提炼】
运用动能定理需注意的问题
(1)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初末的动能．
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式.
【变式演练】
1.（2023上·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图示，水平面BC与 圆弧AB、斜面CD平滑连接，各处均无摩擦。小物块P、Q质量为m1、m2。小物块P从圆弧最高点A静止释放，与静止在水平面上小物块Q发生弹性正碰。已知圆弧半径R=0.2m，m1=4kg、m2=1kg，θ=37°， ，g=10m/s2。求：
（1）小物块P运动到圆弧形轨道最低点时的速度大小；
（2）小物块P、Q弹性正碰后P、Q的速度大小；
（3）若小物块Q从斜面返回到C点恰好与小物块P相碰，小物块Q最初静止的位置与C点的距离。
2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图所示，水平地面左侧固定半径R=0.5m的竖直半圆弧光滑轨道ABC，A点为圆弧最高点，B点与圆心O等高，C点与水平地面相切。用三根材料相同、质量分布均匀的长方木条制成直角三角形框架DEF，斜木条DE的上表面光滑，倾角为。在F点右侧相距较远处有一P点，P点左侧的水平地面光滑，P点右侧的水平地面与框架底面木条DF之间的动摩擦因数为μ=0.1.一可视为质点的小滑块从框架的最高点E由静止开始释放，滑块恰好能通过半圆弧轨道的最高点A水平飞出，落到地面后停止运动。已知滑块质量m=1.0kg，框架质量滑块从框架进入水平地面时，速度由沿斜面方向变为水平方向，而速度的大小保持不变，不计其余一切阻力，重力加速度
（1）求滑块经过B点时对轨道的压力FN；
（2）求框架竖直边EF的高度h；
（3）求框架停止运动时F点与P点的距离s。
3．（2023上·广东潮州·高三统考期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与圆弧轨道DCB相切于B点，DC段粗糙，CB段光滑，圆心角，D点与圆心O等高，圆弧轨道半径，一个质量为，可视为质点的小物体，从D点的正上方距离为的E点处自由下落，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数，取，，。忽略空气阻力对物体运动的影响，则：
（1）小物体经多长时间到达D点；
（2）当小物体到达圆弧轨道底端C时对轨道的压力为13N，求小物体在圆弧DC段克服摩擦力所做的功；
（3）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L至少要多长？
4.（2023上·湖北孝感·高三安陆第一高中校联考阶段练习）如图所示，e字形轨道竖直放置在水平面上，该导轨由左右两光滑半圆轨道和粗糙水平直轨道BE组成，B处有一弹性挡板，右半圆的半径r，左半圆半径为，水平导轨BE长度为，圆弧上的D点与小圆圆心等高。一质量为m的小滑块经A点向左进入轨道，恰好能通过C，并且经B反弹一次后停在E处，已知滑块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g。求：
（1）滑块在D点时所受的弹力大小；
（2）滑块与水平导轨的动摩擦因数；
（3）改变小滑块的初速度，使小滑块运动过程中不脱离轨道且能回到A，求小滑块初次经过A点的速度范围。
题型四 机械能守恒定律的综合应用
【典例分析1】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图所示，光滑轨道ABCD固定在竖直平面内，BC段是圆心为、半径为的四分之一圆弧，点在点的正上方。一质量为的小球由A点静止下滑，最后从点水平飞出，落在水平地面上的点。已知O，D之间的距离为2R，小球可视为质点，重力加速度大小取，空气阻力忽略不计。
（1）求A、B两点间的高度差；
（2）若小球从轨道AB上某点由静止释放后，沿着轨道运动至点时脱离轨道，已知。求小球释放点与点之间的高度差。（，）
【典例分析2】 如图所示，水平面AB段光滑、BC段粗糙，右侧竖直平面内有一呈抛物线形状的坡面OD，以坡面底部的O点为原点、OC方向为y轴建立直角坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝eq \f(1,5)x2.一水平轻质弹簧左端固定在A点，弹簧处于自然伸长状态时右端处在B点．一个质量m＝0.2 kg的小物块压缩弹簧后由静止释放，从C点飞出落到坡面上．已知坡底O点离C点的高度H＝5 m，BC间距离L＝2 m，小物块与BC段的动摩擦因数为0.1，小物块可视为质点，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若小物块到达C点的速度为eq \r(5) m/s，求释放小物块时弹簧具有的弹性势能；
(2)在(1)问的情况下，求小物块落到坡面上的位置坐标；
(3)改变弹簧的压缩量，弹簧具有多大的弹性势能时，小物块落在坡面上的动能最小？并求出动能的最小值．
【方法提炼】
一 机械能守恒定律的三种表达形式及注意问题
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能．
二 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)选取研究对象eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(单个物体,多个物体组成的系统))
(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律列出方程．
(5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
【变式演练】
1.如图为单板滑雪U型池的简化模型示意图，一质量M为45 kg的运动员从轨道a处由静止滑下，若运动员在下行过程中做功，上行过程中运动员不做功，运动员在b点竖直向上滑出轨道上升的最高点离b点高度H为10 m，U型轨道简化为半圆轨道，其半径R为20 m，滑板的质量m为5 kg，不计轨道和空气的阻力，g取10 m/s2，求：
(1)在轨道的最低点运动员对滑板的压力大小；
(2)运动员在下行过程中所做的功。
2.（2024·云南红河·统考一模）如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，A点的切线水平，距水平地面的高度也为R。质量的小球（可视为质点）从P点由静止沿圆弧轨道滑下，然后从A点飞出，落在水平地面上的B点。已知A，B两点的水平距离，空气阻力忽略不计、重力加速度。求：
（1）圆弧轨道的轨道半径R；
（2）小球对轨道上A点的压力大小。
题型五 动量观点与能量观点的综合应用
【典例分析1】（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图所示，在足够长的光滑水平地面MN上固定一光滑的竖直半圆形轨道NP，NP的半径为，N点处切线水平且与地面平滑连接。质量的物块A与轻弹簧一端连接，以速度沿水平地面向右运动，物块B静止，在物块A运动的前方。与物块A连接的轻弹簧从接触B到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B运动的距离为0.15m，经历的时间为。在此后的运动中，B与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿NP运动时恰能经过最高点P。物块A、B均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为。求：
（1）物块B在N点的速度大小；
（2）物块B的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
【典例分析2】．（2023·天津和平·统考二模）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以某一初速度开始向上滑动，滑动过程中受到滑杆的摩擦力f为1N，滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞（作用时间极短），带动滑杆一起离开桌面竖直向上运动，之后上升了h＝0.2m时速度减为0。已知滑块的质量m＝0.2kg，滑杆的质量M＝0.6kg，A、B间的距离L＝1.2m，重力加速度g取，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小和；
（2）滑块与滑杆碰撞前瞬间的速度大小；
（3）滑杆从A处开始向上运动的初速度。
【典例分析3】．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，一半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道与光滑水平轨道cd在d处平滑连接，且与足够长的粗糙水平轨道ab在同一竖直平面内。在ab的最右端放置一个质量M=4kg的木板，其上表面与cd等高，木板与轨道ab间的动摩擦因数μ1=0.1，质量mQ=2kg的滑块Q置于cd轨道上且与c点距离为6m。现在圆弧轨道的最高点处由静止释放一质量mP=6kg的滑块P，一段时间后滑块P与Q发生弹性正碰，碰撞时间极短。从P与Q碰撞结束开始计时，3s末Q从木板左端飞出（飞出后立即被取走，对其他物体的运动不造成影响）。已知P、Q与木板间的动摩擦因数均为μ2=0.2，滑块P、Q均可视为质点，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取10m/s2，求：
（1）碰撞后P、Q速度的大小和方向；
（2）木板的长度L；
（3）P滑块能否从木板左端滑离木板？若能，求P从木板左端滑离时的速度；若不能，求P停在木板上的位置距木板右端的距离；
（4）P、Q碰撞后滑块、木板及ab轨道之间的摩擦生热之和Q。
【方法提炼】
1．动量守恒定律
表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；或p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)；或Δp＝0(系统总动量的增量为零)；或Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)．
2．力学规律的选用原则
多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题时，应选用动量守恒定律，然后再根据能量关系分析解决．
3.动量和能量综合问题的主要情境模型为：碰撞、滑块在滑板上滑动和爆炸．
(1)碰撞过程满足动量守恒并遵循碰撞后系统动能不增加、碰撞前后的运动情况要合理的原则．
(2)滑块放置在光滑水平地面的滑板上滑动时，滑块和滑板组成的系统满足动量守恒，滑块和滑板之间因摩擦生热，故系统机械能减少，一般利用功能关系(即摩擦产生的热量等于系统动能的减少量)列方程求解.
【变式演练】
1.（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如图所示，轨道ABCD由半径的光滑圆弧轨道AB、长度LBC=0.6m的粗糙水平轨道BC以及足够长的光滑水平轨道CD组成。质量的物块P和质量的物块Q压缩着一轻质弹簧并锁定（物块与弹簧不连接），三者静置于CD段中间，物块P、Q可视为质点。紧靠D的右侧水平地面上停放着质量的小车，其上表面EF段粗糙，与CD等高，长度FG段为半径的光滑圆弧轨道；小车与地面间的阻力忽略不计。P、Q与BC、EF间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度，现解除弹簧锁定，物块P、Q由静止被弹出（P、Q脱离弹簧后立即撤走弹簧），其中物块P进入CBA轨道，而物块Q滑上小车。不计物块经过各连接点时的机械能损失。
（1）若物块P经过CB后恰好能到达A点，求物块P通过B点时，物块P对圆弧轨道的弹力的大小；
（2）若物块P经过CB后恰好能到达A点，求物块Q冲出小车后离开G点的最大高度；
（3）若弹簧解除锁定后，物块Q向右滑上小车后能通过F点，并且后续运动过程始终不滑离小车，求被锁定弹簧的弹性势能取值范围。
2．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在光滑水平面上质量均为2kg的相同小物块A和B拴接在轻绳的两端，物块A靠墙放置。用力使A、B间压紧一根轻质弹簧保持静止，弹簧储存的弹性势能为4J，弹簧与A、B均不拴接，弹簧原长小于绳长。放手后，弹簧将物块弹开，最终物块A、B一起向右匀速运动。求：
（1）从放手到物块A、B一起匀速运动的过程中，墙对A的冲量。
（2）整个过程中A、B和弹簧组成的系统机械能的损失量。
3．（2023·浙江·校联考一模）如图所示，在光滑平台上可通过弹簧将小滑块水平弹射，右侧在竖直平面内有两个光滑圆弧轨道和水平粗糙轨道，下端水平相连。左边轨道对应的圆心角为，右侧为一段圆弧。小滑块静止在右边圆弧轨道的最低点。现将小滑块从平台弹出后，恰好从点沿圆弧进入轨道。随后与发生弹性碰撞。已知平台与等高，，，左边圆弧轨道的半径为，右边圆弧轨道的半径为，水平轨道长为，和与水平轨道之间的动摩擦因数均为，取重力加速度，。
（1）求进入轨道点时滑块的速率；
（2）求碰撞后瞬间对轨道的压力；
（3）求第一次碰撞后经过多长时间两滑块再次相遇。
4．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，光滑的半径为的圆弧最低点与竖直墙壁AB相连，质量的小球1与长度为轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为的小滑块相连，小滑块套在光滑的水平杆上。初始轻杆紧靠墙壁竖直放置，小球1刚好处在圆弧的末端。现将质量为的小球2从圆弧上的C点由静止释放，CO连线与竖直方向的夹角为53°，小球2运动至圆弧的最低点与小球1发生弹性正碰，碰后立刻撤掉小球2。已知重力加速度的大小不计空气阻力。求
（1）小球2运动至轨道最低点与小球1碰撞前瞬间对轨道的压力大小；
（2）两球碰撞后的瞬间，小球1的速度大小；
（3）轻杆上作用力为零时，小球1的速度大小及此时轻杆与竖直方向夹角的余弦值；
（4）小球1落到水平杆上前一瞬间的速度大小。
5．（2023·河南新乡·统考一模）如图所示，足够大的光滑水平地面上静置一质量、带光滑圆弧轨道的滑块B，圆弧轨道的底端与地面相切，半径；质量的小球A从滑块B顶端正上方高处由静止落下，无碰撞地进入圆弧轨道，小球A可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度大小。求：
（1）小球A进入圆弧轨道时的动能；
（2）滑块B对小球A做的功W。
6．（2024·贵州·统考一模）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，物块A处于平板B上的O'点，O'点左侧粗糙、右侧光滑，光滑部分的长度d=3.75m。用不可伸长的长度为L=7.2m的轻绳将质量为m=0.1kg的小球悬挂在O'点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点时轻绳拉断、小球与小物块A碰撞后瞬间结合成一个物体C，之后C沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。已知A的质量mA=0.1kg，B的质量mB=0.6kg，C与B的动摩擦因数μ1=0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，整个过程中C始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）轻绳被拉断前瞬间绳对小球的拉力大小；
（2）C与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vC与vB；
（3）C与B都停止运动时C与B右端的距离。
7．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为3kg、长为的长木板B静止在水平面上，质量为1kg的物块A放在平台上，平台的上表面与长木板的上表面在同一水平面上，木板B的左端紧靠平台的右端，质量为的小球用长为的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳向左拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A沿水平方向发生弹性碰撞，物块A与小球均可视为质点，不计空气阻力，物块A与平台、木板B之间的动摩擦因数均为，长木板与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度g取．求：
（1）小球与A碰撞前瞬间，细线拉力大小；
（2）小球与物块A碰撞过程中，物块对小球的冲量大小；
（3）要使物块不滑离木板B，开始时物块A离平台右端的距离最小为多少．
8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，竖直光滑半圆弧轨道的下端B点固定在高的竖直墙壁上端，O为半圆的圆心，BC为竖直直径，一质量的小球b静置在B点。现将一质量的小球a从水平地面上的A点以初速度斜向上抛出，抛射角。小球a刚好能沿水平方向击中小球b，两小球碰撞过程时间极短且没有能量损失，碰撞结束后小球b在半圆弧轨道上运动的过程不脱离轨道（小球b从圆弧轨道最高点C和最低点B离开不算脱离轨道）。已知，，重力加速度，空气阻力不计，求：
（1）小球a从A点抛出时的初速度；
（2）碰撞结束瞬间小球b的速度；
（3）半圆弧轨道的半径R的取值范围。
题型六 带电粒子(体)在电场中的运动
【典例分析1】（2023·四川德阳·统考一模）如图（a）所示，A、B两足够大平行金属板水平放置，A板中心有一小孔，AB两板间的距离为d=1.2m，两板间的电压变化如图（b）所示，B板接地。一质量为m=0.1kg、电荷量为q=+0.1C的小球，在t=0时刻从A板中心处的小孔静止释放。不计一切阻力，重力加速度大小为10m/s2，求：
（1）在0~0.2s内小球运动的位移大小；
（2）在0~0.2s内和0.2s~0.4s内电场力对小球所做功之比。
【典例分析2】．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图所示，质量均为m的带电小球A和B分别固定在长为2L的绝缘轻质细杆的两端并静止在光滑绝缘的水平面上。现以细杆中垂面为左边界加一平行细杆向右的场强大小为E的匀强电场，此时两球的加速度大小为，方向向右。已知B球所带的电荷量为、电场左右边界的间距为4L，求：
（1）A球所带的电荷量；
（2）A、B向右运动的最大速度；
（3）从加上电场经时间后两球的速度大小。
【典例分析3】．（2023上·河南安阳·高三林州一中校考阶段练习）如图所示，一静止的电子经过电压为U的电场加速后，立即从A点射入匀强电场中，射入方向与匀强电场的方向垂直，最终电子从B点离开电场．已知匀强电场的电场强度大小为E，宽度为L，方向竖直向上，电子的电荷量为e，质量为m，重力及空气阻力忽略不计。
（1）求电子在匀强电场中的偏转距离；
（2）若仅将加速电场的电压提高为原来的2倍，使电子仍经过B点，求匀强电场的电场强度大小。
【典例分析4】．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，半径为R的圆处在匀强电场中，电场线与圆面平行，在圆周上A点以大小为v的速度将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子射入电场，结果粒子经过圆上B点时，速度大小为2v，若以大小为2v的速度从A点射入电场，粒子经过圆上C点时，速度大小为，B点是AC弧的中点，AC是圆的直径。不计粒子的重力，求：
（1）A、B间的电势差；
（2）匀强电场的电场强度大小。
【典例分析5】（2024·四川成都·石室中学校考一模）如图所示，光滑绝缘圆轨道竖直放置，半径为，电场与水平方向成斜向右上，质量为，电荷量为的带电小球恰好能静止于与圆心等高的点处，现将该小球带上等量的负电从点静止释放，求：
（1）带负电的小球在水平方向和竖直方向的加速度分别是多大；
（2）从释放到小球第一次与圆轨道撞击时的速度和电势能的改变量。
【方法提炼】
1．带电粒子(体)在电场中的加速
(1)匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式．
(2)非匀强电场中，只能用功能关系求解．
2．带电粒子(体)在匀强电场中的偏转(v0垂直于E的方向)，如图所示
处理方法：应用运动的合成与分解．
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，离开电场时，运动时间t＝eq \f(L,v0).
(2)沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md).
(3)离开电场时的偏移量y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUL2,2mdv\\al(2,0)).
(4)速度偏向角
tan φ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUx,mdv\\al(2,0)) eq \(――→,\s\up7(x＝L))tan φ＝eq \f(qUL,mdv\\al(2,0))；
位移偏向角
tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(qUx,2mdv\\al(2,0)) eq \(――→,\s\up7(x＝L))tan θ＝eq \f(qUL,2mdv\\al(2,0)).
3.带电粒子(体)在电场中运动问题的分析思路
(1)首先分析带电粒子(体)的运动规律，确定带电粒子(体)在电场中做直线运动还是曲线运动．
(2)当带电粒子(体)从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子(体)的运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口.
【变式演练】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）如图所示，在水平地面上固定一个倾角为的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。
2．（2023上·河南濮阳·高三统考期中）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径（圆管的内径忽略不计）。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大的、电场强度大小的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为的带电小球（可视为质点），P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。求：
（1）虚线AB上方匀强电场的电场强度大小；
（2）小球到达管口A处的速度大小；
（3）小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点（图中未标出），求小球在圆管中运动的时间与运动的总时间之比。
3．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）如图，足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定光滑绝缘半径为R的四分之一圆弧轨道BC，B为圆弧的最低点，A点在圆弧左侧，且AB间距为2R。整个空间处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为的带正电小球从A点静止释放，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到B点时的速度大小；
（2）小球在圆弧BC上运动过程中的最大动能；
（3）小球离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率及该过程机械能的增量。
4．（2023·陕西·校联考一模）有一水平方向的匀强电场，场强，一带正电的微粒以竖直向上的初速度从A点射入电场，一段时间后从B点离开电场，A、B两点在同一条水平直线上。已知带电微粒质量，所带的电荷量，重力加速度，微粒向上运动过程中未冲出电场。求
（1）带电微粒在竖直方向上的最大位移；
（2）A、B两点的电势差；
（3）带电微粒在电场中运动速度的最小值。
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示， 用长为l的绝缘细线把一个质量为m， 电荷量为q的带正电小球悬挂在O点，现加一电场强度最小的匀强电场， 使小球静止在 A 点， 此时细线与竖直方向夹角重力加速度为g，求：
（1）电场强度大小及方向；
（2）要使小球能绕O点做完整的圆周运动， 在 A 点沿切线方向给小球的初速度的最小值。
6．（2024·福建·一模）在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成θ = 37°角，如图所示。现给小球一个方向与细线垂直的初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做顺时针的圆周运动，，重力加速度大小为g。
（1）求小球受到电场力的大小F并指出小球带何种电荷；
（2）求小球运动的最大速度；
（3）若小球运动到最低点时细线立即被烧断，求小球经过O点正下方时与O点的高度差h。
7．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直坐标平面xOy内存在有水平方向的匀强电场（方向未画出）。以原点O为圆心，半径为r的圆与y轴交于A点，P为圆周上一点，OP与x轴正方向成角。在A点将质量为m，带电量为q的带正电小球由静止释放，小球将从P点离开圆形区域，若从A点沿不同方向以相同的速率抛出小球，发现小球从Q点（图中未画出）离开圆形区域时动能最大。重力加速度为g，求：
（1）电场强度的方向和大小；
（2）A、P两点的电势差；
（3）小球从Q点离开圆形区域时的动能。
题型七 带电粒子在磁场中的运动
【典例分析】（2023·江西鹰潭·校联考模拟预测）如图所示，以为圆心、半径为的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。在圆周上的点安装一个粒子源，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射比荷为的粒子。若粒子以的速率沿方向射入磁场，恰能在圆内运动时间（未知）后从圆周上的点（图中未画出）离开磁场。若向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射速率为（未知）的粒子，这些粒子均能从劣弧范围内离开磁场（点有粒子经过）。不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子的速率。
【方法提炼】
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据
一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法．在具体问题中，要依据题目条件和情景而定．解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m eq \f(v2,r)，求半径r＝eq \f(mv,qB)及运动周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB).
2．圆心的确定方法
法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙．
3．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)T，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)．
5．常见运动轨迹的确定
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图丙所示)．
(2)平行边界(存在临界条件，如图丁所示)．
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图戊所示)．
6．常用解题知识
(1)几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系．根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度．
(2)半径公式、周期公式：R＝eq \f(mv,qB)、T＝eq \f(2πm,qB).根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等．
(3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝eq \f(θ,2π)T.
【变式演练】
1.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）托卡马克（Tkamak）装置是一种利用磁约束来实现可控核聚变的环形容器，又称环流器或“人造太阳”。如图是环流器局部截面的磁场简化示意图，环形磁场区域内边界半径为R、外边界半径为2R，内有磁感应强度大小为B的匀强磁场。以区域圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，在点处放置一个粒子源S，粒子源S可以沿xOy平面向外发射比荷为k的带正电的粒子，以此测试该装置的磁约束效果。忽略带电粒子间的相互作用，不计重力。
（1）若粒子源S以的速率朝x轴正方向发射一个粒子，该粒子恰好不离开磁场外边界，求；
（2）若粒子源S以的速率平行于y轴向上发射一个粒子，该粒子恰好不离开磁场外边界，求及该粒子回到粒子源位置所经历的时间t（只考虑一次回到粒子源的时间）；
（3）若粒子源S均匀地朝xOy平面内各个方向发射速率均为的粒子，求被束缚在磁场内的粒子数占总粒子数的比例。进一步分析，如果通过调整磁场的磁感应强度来实现上述粒子的全部约束，求调整后磁场磁感应强度的最小值。
2．（2023·陕西商洛·统考一模）图甲是太极图。图乙是内部存在方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场的太极图，大圆的圆心为O，内部两个半圆的圆心O'、O''在同一直径MN上，半圆直径均为圆O的半径。曲线MON左侧的磁场方向垂直纸面向外。一质量为m、带电荷量为q的质子，以速度v0从N点沿纸面射入右侧磁场，恰好通过O点进入左侧磁场并从M点射出，质子在磁场中运动的时间为t。不计质子受到的重力，求：
（1）质子射入磁场时与NM的夹角θ；
（2）圆O的半径R。
3．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为L，MN左侧区域有范围足够大的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地发出大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子受到的重力，不考虑离子之间的相互作用力。求：
（1）离子从发出到打中荧光屏的最短时间和最长时间；
（2）离子打中荧光屏的宽度；
（3）打到荧光屏上的离子数与发射的离子数的比值。
4（2023上·山东威海·高三山东省荣成市第一中学校考期中）如图，圆心为O、半径为r的圆形区域内没有磁场，圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，P是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。不计重力，。求：
（1）若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足怎样的条件？
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间；
（3）粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界所用的时间。（已知）
题型八 带电粒子在组合场中的运动
【典例分析】．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，空间中存在平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象限内有一条分界线ON与x轴正方向的夹角为： 在 轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究员将一带正电的粒子从y轴上的距原点O距离d 的P点，以速度v0垂直y轴打入电场，经电场偏转后经 轴进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为，不计粒子重力。求：
（1）粒子从 轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求粒子第三次进入磁场时距离 O点的距离。
【方法提炼】
1．组合场中的两种典型偏转
2.常见模型
(1)从电场进入磁场
(2)从磁场进入电场
【变式演练】
1.（2023上·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图所示，在xOy平面直角坐标系第一象限内存在+y方向的匀强电场，第四象限范围内存在垂直xOy平面向里，大小为的匀强磁场。一带电量为-q质量为m的粒子，以初速度从P(0，2L)点沿+x方向垂直射入电场，粒子做匀变速曲线运动至Q(4L，0)点进入第四象限，粒子运动过程中不计重力。求：
（1）第一象限内匀强电场电场强度大小；
（2）粒子在第一象限运动过程中与PQ连线的最大距离；
（3）粒子进入第四象限后与x轴的最大距离。
2．（2023上·甘肃白银·高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电荷量为，质量为的带负电粒子以一定的速度从点垂直射入电场，从点进入磁场后，恰好垂直轴从点离开磁场。已知点坐标为（0，L），点坐标为（L，0），不计粒子受到的重力，求：
（1）粒子射入磁场时的速度大小；
（2）点的纵坐标；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小。
3．（2024·贵州·统考一模）如图所示，在xOy平面第一象限有沿y轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A点有一带电粒子以某一初速度沿+x方向抛出，从坐标为（L，0）的C点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x轴时的位置与坐标原点的距离。
4．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系x轴上方有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴下方有与x轴正方向成角斜向右上方的匀强电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上点沿y轴负方向以一定初速度射出，粒子连续两次都经过x轴上Q点（未画出）进出电场，当粒子第二次经过Q点时，仅将磁场方向改成垂直坐标平面向里，则粒子第四次经过x轴时还是在Q点，粒子重力不计，求：
（1）粒子在P点射出的初速度的大小；
（2）匀强电场的电场强度E的大小；
（3）粒子从P点射出到第三次经过Q点运动的时间．
题型九 带电粒子(体)在叠加场中的运动
【典例分析】．（2023·全国·校联考一模）如图所示，竖直虚线的左侧存在竖直向上电场强度大小为E的匀强电场，右侧存在竖直向上电场强度大小为2E的匀强电场与垂直纸面向外磁感应强度大小为B的匀强磁场。光滑绝缘的四分之一圆弧轨道ab固定在虚线左侧的竖直平面内，a点的切线竖直，b点正好在虚线上，且切线水平，P点是圆弧ab的中点，带电量为q的带正电小球从a点由静止释放，离开b点在虚线的右侧正好做匀速圆周运动，经过一段时间到达虚线上的c点。已知b、c两点间的距离是圆弧轨道ab半径的2倍，重力加速度大小为g。
（1）求小球的质量以及小球在b点的速度大小；
（2）求圆弧轨道P点对小球的支持力大小；
（3）求小球从b到c动量的变化率以及a、c两点间的电势差。
【方法提炼】带电粒子在复合场中运动问题的处理方法
(1)明种类：明确复合场的种类及特征。
(2)析特点：正确分析带电粒子的受力特点及运动特点。
(3)画轨迹：画出运动过程示意图，明确圆心、半径及边角关系。
(4)用规律：灵活选择不同的运动规律。
①两场共存，电场与磁场中满足qE＝qvB或重力场与磁场中满足mg＝qvB且两力方向相反时，粒子做匀速直线运动，根据受力平衡列方程求解。
②两场共存，电场力与重力都恒定时，粒子平衡时根据平衡条件求解，做匀变速直线运动时用牛顿运动定律、运动学规律或动能定理求解，做匀变速曲线运动时用运动的合成与分解或动能定理求解。
③三场共存，合力为零时，受力平衡，粒子做匀速直线运动或静止。其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
④三场共存，粒子在复合场中做匀速圆周运动时，mg与qE相平衡，根据mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用洛伦兹力公式和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝ma。
⑤当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【变式演练】
1.（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）和平行于纸面的匀强电场，电场强度大小为，方向与水平方向成角斜向右上方（图中未画出）。现将一带电量为，质量为的绝缘小球（中轴为一小孔）从点由静止释放，小球运动至点时速度大小为，方向刚好竖直向上。此时对小球施加一竖直方向的外力并在点撤去，使小球在竖直方向的分速度保持不变。小球运动至点时刚好无碰撞地进入竖直固定光滑圆弧管道。小球从点（切线水平）滑出管道后刚好穿在足够长的粗糙水平细杆上。管道的半径为，重力加速度为，小球与水平杆之间的滑动摩擦因数为两点间的竖直距离为两点间水平距离的倍，小球可在管道中和水平杆上自由滑动。求：
（1）小球在细杆上最终稳定时速度的大小
（2）小球在管道中的动能最小时对管道的压力大小
（3）小球在水平杆上运动过程中合外力做的功。
2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图所示，在xOy竖直平面内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在的区域内有沿x轴正方向的匀强电场，在的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小相等且未知。一质量为5m、电荷量为的带电微粒从y轴上P点发出，沿直线运动到x轴上Q点，PQ与y轴夹角为。带电微粒进入第一象限后，将区域内的匀强电场E变为沿y轴正方向。带电微粒第一次从右往左穿过y轴时，分裂成速度方向均垂直于y轴向左的带正电的微粒甲和乙，质量分别为m、4m，且甲、乙微粒的比荷相同，分裂后二者总动能是分裂前微粒动能的2倍。不考虑分裂后两微粒间库仑力的影响，已知重力加速度为g。
（1）求电场强度E的大小；
（2）求分裂后乙微粒做圆周运动的半径；
（3）分裂后甲微粒速度方向偏转时，撤去磁场，经过一段时间后，再加上与原区域相同的磁场，此后两微粒的轨迹不相交，求撤去磁场的时间需满足的条件。
3．（2023·广西·校联考模拟预测）如图所示，在竖直面内的直角坐标系中，y轴竖直，A、B两点的坐标分别为与。的区域内有沿x轴负方向的匀强电场；第二象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出）；第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直方向的匀强电场（图中均未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从A点以大小（g为重力加速度大小）的速度沿做直线运动，通过O点（第一次通过x轴）后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过B点（第二次通过x轴）。求：
（1）第二象限内磁场的磁感应强度大小；
（2）小球从O点到第四次通过x轴的时间t；
（3）小球第五次通过x轴时的位置坐标以及第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到x轴的最大距离。
4．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy（x轴水平，y轴竖直）中，第一象限内存在正交的匀强电、磁场，电场强度竖直向上，大小磁场方向垂直纸面向里；第四象限内存在一方向向左的匀强电场，场强。一质量为的带正电的小球，从M（3.6m，3.2m）点，以的水平速度开始运动。已知球在第一象限内做匀速圆周运动，从P（2.0m，0）点进入第四象限后经过y轴上的N点（图中未标出）。求：（g取，，）
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）小球由P点运动至N点的时间；
（3）y轴上的N点坐标。
题型十 电磁感应综合问题
【典例分析】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两间距为L=1m的光滑水平金属轨道固定在绝缘水平地面上，左端连接阻值为R=0.5Ω的定值电阻，一质量为m=2kg、电阻为R=0.5Ω、长度为L=1m的导体棒垂直放置在导轨上，垂直于轨道的虚线1、2间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），虚线3、4间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现将导体棒放在虚线1位置，并在导体棒上施加一水平向右的恒力F=4N，导体棒由1运动到4的过程中，导体棒中产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，其中5s时图线的切线与横轴平行，已知导体棒在虚线4位置时的速度大小为，导轨的电阻忽略不计。求：
（1）的大小及5s时导体棒的速度大小；
（2）虚线1、2的间距；
（3）导体棒在虚线3、4间运动的过程中产生的焦耳热Q。
【方法提炼】
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
1．力学对象和电学对象的相互关系
2．动态分析的基本思路
3.电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
4．能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
5．解决电磁感应能量问题的策略是“先源后路、先电后力，再是运动、能量”，即
6.电磁感应中力、能量和动量综合问题的分析方法
(1)分析“受力”：分析研究对象的受力情况，特别关注安培力的方向。
(2)分析“能量”：搞清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了变化，根据动能定理或能量守恒定律等列方程求解。
(3)分析“动量”：在电磁感应中可用动量定理求变力的作用时间、速度、位移和电荷量(一般应用于单杆切割磁感线运动)。
①求速度或电荷量：－Beq \x\t(I)lΔt＝mv2－mv1，q＝eq \x\t(I)Δt。
②求时间：FΔt＋IA＝mv2－mv1，IA＝－Beq \x\t(I)lΔt＝－Bleq \f(ΔΦ,R总)。
③求位移：－Beq \x\t(I)lΔt＝－eq \f(B2l2\x\t(v)Δt,R总)＝mv2－mv1，即－eq \f(B2l2,R总)x＝m(v2－v1)。
【变式演练】
1.（2024·广东中山·中山市华侨中学校考模拟预测）如图，足够长的两光滑平行金属导轨MN、PQ所构成的斜面与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，两导轨顶端接一阻值为R的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。一根质量为m的导体棒垂直放置于导轨底端，其在两导轨之间部分的电阻为R。现给导体棒一沿斜面向上的速度大小为v，导体棒上滑过程通过导体截面的电荷量为q；在运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，两光滑平行金属导轨电阻忽略不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒刚进入磁场时的加速度大小；
（2）导体棒向上滑的最大位移x；
（3）上滑过程中，导体棒上产生的热量Q。
2.（2023·浙江·慈溪中学校联考模拟预测）如图1所示，间距为d，相互平行的金属导轨EG、FH与PG、QH，在GH处用一小段绝缘圆弧相连，其中PG、QH水平，EG、FH是倾角为的斜轨。EF之间接一个阻值为R的电阻，PQ之间接有阻值不计，自感系数为L的自感线圈。MNGH和CDPQ区域存在大小为B，方向如图所示垂直于轨道平面的匀强磁场。质量为m，电阻r的金属棒a从AB处由静止开始沿导轨下滑，其在斜轨上运动过程中的v-t图像如图2所示，金属棒滑过GH后与另一根放在CD右侧位置相同质量，电阻不计的的金属棒b相碰，碰后两棒粘在一起运动。不计导轨的电阻及GH处的机械能损失，金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，轨道足够长。已知，，，，，。取，，。
（1）求金属棒a刚进磁场时A、B两点间的电势差UAB；
（2）求金属棒a与导轨间的动摩擦因数以及金属棒在磁场中能够达到的最大速率；
（3）已知金属棒a从进入磁场到速度达到4m/s时所用时间为2.1s，求此过程中电阻R产生的焦耳热；
（4）求a、b棒碰撞后，向左运动的最大距离xm（提示：自感电动势的大小为）。
2．（2023下·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考开学考试）如图，两根半径r为1m的圆弧轨道间距L也为1m，其顶端a、b与圆心处等高，轨道光滑且电阻不计，在其上端连有一阻值为R的电阻，整个装置处于辐向磁场中，圆弧轨道所在处的磁感应强度大小均为B，且B=0.5T，将一根长度稍大于L、质量m为0.2kg、电阻为R0的金属棒从轨道顶端ab处由静止释放，已知当金属棒到达如图所示的cd位置时，金属棒与轨道圆心连线和水平面夹角θ为60°，金属棒的速度达到最大；当金属棒到达轨道底端ef时，对轨道的压力为3N，（g=10m/s2）求：
（1）当金属棒的速度最大时，流经电阻R的电流大小和方向；
（2）金属棒滑到轨道底端的整个过程中，流经电阻R的电量为0.1πC，整个回路中的总电阻为多少？
（3）金属棒滑到轨道底端的整个过程中，电阻R上产生的热量为1.2J，则金属棒的电阻R0多大？
3．（2023·浙江台州·统考模拟预测）如图所示的两装置水平放置，均处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R。光滑平行导轨足够长，图1导轨间距为d，图2导轨间距分别为d与2d。长度为2d的相同导体棒a、b、c均垂直静置于导轨上，导体棒质量为m、电阻为R。求：
（1）图1中闭合开关，导体棒a最终速度的大小与方向；
（2）将图1中的电源换成电容为C、电压为的电容器，闭合开关，导体棒a最终速度的大小；
（3）图2中闭合开关，导体棒b的最终速度的大小及从静止开始到达到过程中导体棒b产生的焦耳热。
（4）图2中闭合开关，导体棒b速度为最终速度的一半时导体棒b两端的电势差大小。
4．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）如图所示，倾角为、足够长的光滑绝缘斜面固定不动，斜面上有一系列间距均为的水平虚线（图中仅画出部分），虚线1、2间存在垂直斜面向下的匀强磁场，从虚线2向下每间隔在两虚线间存在垂直斜面向下的与虚线1、2间相同的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电阻值为、边长为的正方形线框从虚线1上方某位置由静止释放，边始终与虚线平行，当线框的边刚好到达虚线1时，线框的加速度大小为，方向沿斜面向下，重力加速度取。整个过程中线框始终没有发生转动。求：
（1）线框释放瞬间，边到虚线1的间距；
（2）线框的最大速度；
（3）若从释放到线框的速度达到最大，所用的时间为，则此过程中线框中产生的焦耳热为多少?
5.（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）如图所示，电阻不计的两条平行足够长光滑金属导轨固定在同一水平面上，其间距为1m。甲、乙两根完全相同的金属棒垂直导轨放置，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为0.5T，方向竖直向下的匀强磁场中。某时刻给金属棒甲施加一个大小为F=2N、水平向右的拉力，拉力F作用4s时，金属棒甲、乙的加速度相等，此时撤去拉力F。已知金属棒甲、乙的质量均为1kg，接入电路中的电阻均为0.5Ω。求：
（1）金属棒甲、乙的加速度相等时甲、乙的速度大小；
（2）从撤去拉力F到经过一段时间金属棒甲、乙之间的距离不再变化这一过程，电路中产生的热量以及金属棒甲、乙之间距离的增加量。
6．（2023·天津和平·统考二模）如图甲所示，质量为0.5kg，足够长的“”形光滑金属框放在光滑绝缘水平面上，金属框两平行边间距为1m，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为1T，金属棒ab垂直放在金属框两平行边上，用绝缘细线将棒ab与固定的力传感器相连，开始时细线水平伸直且无张力，给金属框施加一个水平向右的拉力F，在拉力F的作用过程中，力传感器示数随时间变化的规律如图乙所示，不计金属框的电阻，棒ab始终与金属框两平行边垂直且接触良好，金属棒接入电路的电阻为2Ω，求：
（1）时，金属框运动的速度大小；
（2）时，拉力F的瞬时功率；
（3）若过程中，金属棒上产生的焦耳热为5.4J，此过程中拉力F做的功。
7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
8．（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）如图所示，两平行光滑导轨、的左端接有阻值为的定值电阻，间距为，其中、固定于同一水平面图中未画出上且与竖直面内的光滑圆弧形导轨、相切于、两点。正方形区域内存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。导体棒的质量为、电阻为、长度为，棒在功率恒定、方向水平向右的推力作用下由静止开始沿导轨运动，经时间后撤去推力，然后棒与另一根相同的导体棒发生碰撞并粘在一起，以速率进入磁场，两导体棒穿过磁场区域后，恰好能到达处。重力加速度大小为，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻。求：
（1）该推力的功率；
（2）两导体棒通过磁场右边界时的速度大小；
（3）圆弧形导轨的半径以及两导体棒穿过磁场的过程中定值电阻产生的焦耳热。
9．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）两根足够长水平金属直轨道平行放置，右侧平滑连接半径为r=0.5m的 光滑圆轨道，圆弧轨道处于竖直平面内，轨道间距为L=0.5m，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。现将质量均为m=0.5kg，长为L，电阻为R=0.5Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与直轨道间动摩擦因数为μ=0.4，导轨电阻不计，g=10m/s2。
（1）外力使棒b保持静止，对棒a施加水平恒力F=6N，求棒a运动的最大速度vm及此时棒a两端的电势差U的大小；
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，撤去固定棒b的外力，此时作为零时刻，t1=3s时棒b的速度 时，求从撤去固定棒b的外力到t1时刻通过棒b的电荷量q，经过一段时间后， a、b运动保持稳定状态，此时棒b的加速度ab的大小；
（3）棒a到达圆弧轨道的底端时 ，重新固定棒b，改变F使棒a匀速通过 光滑圆轨道，求此过程F做的功。（结果保留π）
10.（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。质量分别为2kg和1kg的金属棒b和c静止放在水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直。图中de虚线右侧有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场B=2T。两平行导轨宽度L1:L2=2:1。质量为2kg的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h=1.8m（重力加速度大小g取10m/s2，不计摩擦和空气阻力）。求：
（1）绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后刚分离时两棒的速度大小v1和v2；
（2）最终两导体棒b、c的速度大小v3和v4。
垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力
情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动
轨迹
求解
方法
利用类似平抛运动的规律求解：
vx＝v0，x＝v0t
vy＝eq \f(qE,m)t，y＝eq \f(qE,2m)t2
偏转角φ：
tan φ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(qEt,mv0)
半径：r＝eq \f(mv,qB)
周期：T＝eq \f(2πm,qB)
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系，利用圆周运动规律讨论求解
运动
时间
t＝eq \f(x,v0)
t＝eq \f(φ,2π)T＝eq \f(φm,qB)
动能
变化
不变
电场中：加速直线运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动
电场中：类平抛运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动
磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：匀变速直线运动
(v与E同向或反向)
磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：类平抛运动
(v与E垂直)
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