浙江省绍兴市上虞区2023学年第二学期高三期末教学质量调测数学试卷与答案

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数据3,4,5,6,7,8,9,10的中位数为（ ）
A．6B．C．7D．
2．函数在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（ ）
A.B.C.D.
6．已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物
线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （ ）
A．B．
C． D．
7．汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？
记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.为等差数列
C.为等比数列 D.
8．三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．已知，，，则（ ）
A．且B．C．D．
10．已知复数，其中为虚数单位，若满足，则下列说法中正确的是（ ）
A.的最大值为 B.的最大值为
C.存在两个，使得成立 D.存在两个，使得成立
11．已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（ ）
A. B. C. D
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式的第四项为_________.
13．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为_____________.
14．已知定义在上的增函数满足:对任意的都有
且，函数满足，. 当时,
，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为____________.
1,3,5
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本题满分13分）在三棱台中，面面，，，，，为中点.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（本题满分15分）盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.
（Ⅰ）取两次，求恰好一红一白的概率；
（Ⅱ）取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值；
（Ⅲ）在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．
17. （本题满分15分）在三角形中，内角对应边分别为且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.
18.（本题满分17分）在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.
（i）求的值；
（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.（本题满分17分）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：
，且满足：，，…
.
已知在处的阶帕德近似为.
注：，，，，…
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）当时，试比较与的大小，并证明；
（Ⅲ）定义数列：，，求证：.