2024年九年级数学中考复习《几何最值问题》选择题专题突破训练（解析版）

这是一份2024年九年级数学中考复习《几何最值问题》选择题专题突破训练（解析版），共20页。

1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为50km，A、C间的路程为30km，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（ ）

A．点C处B．线段BC之间C．线段AB的中点D．线段AB之间
3．如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为（ ）
A．40°B．80°C．90°D．100°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，连接PE，PB，则PE＋PB的最小值是等于下列哪条线段的长（ ）
A．ADB．ABC．ACD．CE
5．如图，在锐角△ABC中，AB=62,∠BAC=30°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）

A．62B．6C．32D．3
6．如图，点D在半圆上，直径AB=10，AD=4，点C在弧BD上移动，连结AC，作DH⊥AC于H．连结BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）

A．221B．221−2C．222D．222−2
7．如图，AC是矩形ABCD的对角线，点M，N是AC上两点且MN=14AC，已知AD=4，∠ACD=30°，则DM+BN的最小值为（ ）

A．6B．5C．213D．4
8．如图，矩形ABCD中，BC=4,∠BAC=30°,E点为CD的中点．点P为对角线AC上的一动点．则PD+PE的最小值等于（）

A．43B．6C．63D．8
9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=14cm，AC=CD=BD，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是（ ）
A．7cmB．8cmC．12cmD．14cm
10．如图，等腰△ABC中，AC=BC=4, AB=43, ∠ACB=120°,AE=CF，当AF+BE的值最小时，△ABF的面积（ ）

A．3B．33C．23D．123
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),B(4,0),C(m+2,2),D(m,2)，当四边形ABCD的周长最小时，m的值是( )
A．13B．23C．1D．43
12．如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高BC=12πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9πcmB．10πcmC．11πcmD．12πcm
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
14．如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标分别为92,1和0,72，点C是x轴上一个动点，当△ABC的周长最小时点C的坐标为（ ）
A．103,0B．72,0C．113,0D．92,0
15．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）
A．1B．2C．2D．无法计算
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°,BC=4,CD=33．点M是AD边的中点，点N是AB边上的一个动点．将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．43D．53
17．如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β−α=30°B．β+α=210°C．β−2α=30°D．β+α=200°
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，P是BC下方的一动点，记△ABC，△PBC的面积分别记为S1，S2．若S1=2S2，则线段AP长的最小值是（ ）
A．3B．2+22C．32D．2+1
19．如图，在边长为52的正方形ABCD中，点M为线段CD上一点，且CM=23DM，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AD于点E， PF⊥CD于点F，则PM+EF的最小值为（ ）
A．58B．217C．22+26D．10
20．如图，在正方形ABCD中，BD是正方形ABCD的一条对角线，BE是∠ABD的平分线，交AD于点E，F是AD上一点，DF=AE，连接CF交BD于点G，连接AG交BE于点H，已知AB=4．在下列结论中：①BE=CF；②△ADG≌△CDG；③∠AHB=90°；④若点P是对角线BD上一动点，当DP=42−4时，AP+PF的值最小；其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④
参考答案：
1．解：作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线l于M，
根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短．
故选：B．
2．解：∵AB=50km，AC=30km，
∴BC=AB−AC=50−30=20km，
设P、C间的路程为xkm，
如图1，当点P在点C的左侧，

车站到三个村庄的路程之和为：30−x+x+20+x=x+50km；
如图2，当点P在点C的右侧，

车站到三个村庄的路程之和为：30+x+x+20−x=x+50km；
综上所述：车站到三个村庄的路程之和为x+50km；
∴当x=0时，路程之和最小为50，
∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故选： A．
3．解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，
则CM=EM，CN=FN，
∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，
∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，
∴∠BCD=360°−∠A−∠B−∠D=360°−40°−90°−90°=140°，
∴∠E+∠F=180°−∠BCD=180°−140°=40°，
∵CM=EM，
∴∠E=∠MCB，
∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，
∵CN=FN，
∴∠F=∠NCD，
∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，
∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，
∴∠MCN=180°−(∠CMN+∠CNM)=180°−80°=100°，
故选：D．
4．解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：D．
5．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在AC上截取AN=AN′，连接MN′，作BE⊥AC，交AC于E，
∵∠BAC=30°，AB=62，
∴BE=12AB=32，

∵AM=AM，
∴△AMN≌△AMN′SAS，
∴MN=MN′，
∴BM+MN=BM+MN′，
∴当点B，点M，点N′三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小，
即：BM+MN=BM+MN′≥BE=32，
∴BM+MN的最小值为32．
故选：C．
6．D解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H始终在以AD为直径的圆上，
∴当B，H，M，共线时取得最小值，
∵HM，DM为半径，则HM=DM=2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BMD中，由勾股定理：得BD=AB2−AD2=84，
在Rt△BMD中，由勾股定理：得BM=BD2+DM2=222．
∴BH≥BM−MH=222−2．
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∵∠ACD=30°，AD=4，
∴AC=2AD=8，CD=3AD=43，
∵MN=14AC，
∴MN=2，
过D点作DP∥AC且DP=2，连接BP交AC于N，如图，

∵DP=MN，DP∥MN，
∴四边形DPNM为平行四边形，
∴PN=DM，
∴DM+BN=PN+BN=PB，
∴此时DM+BN的值最小，
过P点作PH⊥AB于H点，PH交CD于Q点，如图，
∵CD∥AB，
∴PQ⊥CD，
∵DP∥AC，
∴∠PDQ=∠ACD=30°，
∴PQ=12DP=1，
∴DQ=3PQ=3，
∵∠ADQ=∠DAH=∠AHQ=90°，
∴四边形ADQH为矩形，
∴QH=AD=4，AH=DQ=3，
∵AB=CD=43，
∴BH=33，
在Rt△PHB中，PB=PH2+BH2=52+332=213，
∴DM+BN的最小值为213．
故选：C．
8．解：作点D于直线AC的对称点D′，连接D D′、A D′、C D′，在C D′取一点E′，使得点E与点E′关于直线AC成抽对称，则CD=C D′,PE=P E′，∠DCA=∠ D′ CA，C E′ =CE= 12CD=12CD′，当点D、P、E′三点共线时，PD+PE的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,CD∥AB,
∵BC=4,∠BAC=30°,,
∴AC=8，∠DCA=∠ D′ CA= ∠BAC=30°，
∴∠ D′ CD=60°,CD′=CD=AB=AC2−BC2=43,
∴△ D′ CD是等边三角形，
∵C E′ = 12CD′=23，
∴D E′ ⊥C D′,
∴DE′=CD2−CE′2=432−232=6,
∴PD+PE的最小值等于6.
故选：B．
9．解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，即点M与点O重合
由垂径定理，AC=AC′，
∴BD=AC′，
∵AC'⏜+AD⏜=AD⏜+BD⏜，AB为直径，
∴C′D为直径，
即C′D=CM+DM=AB=14cm
∴CM+DM的最小值是14cm
故选：D．
10．解：过点C作CD∥AB，使CD=AB，连接DF，

∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC，
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠DCB=30°，
在△DCF和△BAE中，
CD=AB∠DCB=∠BACCF=AE，
∴△DCF≌△BAE(SAS)，
∴DF=BE，
∴AF+BE=AF+DF，
连接AD交BC于F′，
在△ADF中，由三角形三边关系可得AF+DF>AD，则A、D、F三点共线时，AF+DF的值最小，即AF+BE的值最小，
∵CD∥AB，
∴∠CDF′=∠BCF′，
在△DCF′和△ABF′中，
∠CDF′=∠BAF′CD=BA∠DCF′=∠ABF′，
∴△DCF′≌△ABF′(ASA)，
∴CF′=BF′=2，
过点F′作F′G⊥BC于G，
∵∠ABC=30°，
∴F′G=12BF′=1，
∴△ABF的面积为12AB⋅F′G=12×43×1=23．
故选：C．
11．解：过点D作DE∥BC交x轴于点E，
∵A(0,1),B(4,0),C(m+2,2),D(m,2)，
∴AB=12+32=10，CD=2，CD∥x轴，
∴四边形BCDE是平行四边形，BC=DE，BE=CD=2，
∴E(2,0)，
当四边形ABCD的周长最小，即AB+CD+AD+BC最小时，
∵AB与CD为定值，
∴AD+BC取最小值，即AD+DE取最小值，
点D在直线y=2上移动，取点A(0,1)关于直线y=2的对称点A′(0,3)，
连接A′E交直线y=2于点D，此时点D即为使得AD+DE取最小值的点．
设直线A′E的解析式为：y=kx+b，
将点A′(0,3)，E(2,0)代入y=kx+b得：2k+b=0b=3，
解得：k=−32b=3，
∴直线A′E的解析式为：y=−32x+3，
令y=−32x+3=2，解得x=23，
∴D(23,2)，即m=23，
故选：B．
12．解：把圆柱的侧面展开如图：
则：AB=8πcm，BP=6πcm，
在Rt△ABP中，AP=AB2+BP2=8π2+6π2=10πcm，
故选：B．
13．解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴12·AB·CD= 12·BC·AC，
∴CD= BC·ACAB = 125 =2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
14．解：如下图，作点B关于x轴的对称点B′，作直线AB′，交x轴于点C，此时△ABC的周长最小，
∵B0,72，
∴B′0,−72，
设直线AB′的解析式为y=kx+bk≠0，
将点A92,1，B′0,−72代入，
可得92k+b=0b=−72，解得，k=1b=−72，
∴直线AB′的解析式为y=x−72，
令y=0，可有，0=x−72，
解得x=72，
∴C72，0．
故选：B．
15．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点D，连接OC，PC，
则BN=NC=12AN，PC=PB；
∵A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，
∴∠AON=13×180°=60°，∠CON=12∠AON=30°，
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°；
∵AP+BP=AP+PC≥AC，
∴当点P与D重合时，AP+BP最小，最小值为线段AC的长；
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
由勾股定理得：AC=OA2+OC2=2，
即AP+BP的最小值为2；
故选：B．
16．解：如图：连接MC，作CE⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠EDC=∠DCB=30°且∠E=90°，
∴EC=12CD=332，
∴DE=DC2−EC2=92；
∵M是AD中点，
∴AM=MD=2，
∴ME=132，
∴MC=ME2+EC2=7；
∵折叠，
∴A′M=AM=2，
∴当M，A′，C 三点共线时，A′C的长度最小，
∴此时，A′C=MC−A′M=7−2=5
故选：A．
17．解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
由轴对称的性质得∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∠OQN=180°−20°−∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ，
∴α+β=180°−20°−∠ONQ+20°+20°+∠ONQ=200°．
故选：D．
18．解：如图，过点P作直线MN∥BC，过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交MN于点E．
∵ △ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，
∴ BC=42，AD=22，S△ABC=12AB⋅AC=8，
∵ S1=2S2，
∴ S△PBC=4，
∵点P的运动轨迹是直线MN，
∴ 12×42×DE=4，
解得DE=2，
∴ AE=AD+DE=22+2=32，
∵ AE≤AP
∴ AP的最小值为32，
故选C．
19．解：如图，连接PD，PG，DG，其中CG=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB，∠C=∠D=90°，
在△PCM和△PCG中，
∵CM=CG∠PCM=∠PCGPC=PC，
∴△PCM≌△PCGSAS，
∴PM=PG，
∵∠BCD=∠ADC=90°，PE⊥AD，PF⊥CD，
∴四边形EPFD是矩形，
∴EF=PD，
∴PM+EF=PG+PD，
∴当PM+EF=PG+PD=DG时，PM+EF最小，
∵CM=23DM，CD=52，
∴CM:DM=2:3，
∴CM=25CD=22，
∴CG=CM=22，
∴DG=522+222=58，
∴PM+EF的最小值为58，
故选：A．
20．解：在正方形ABCD中，
AB=AD=CD=4，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△DCF中，
AE=DF∠BAD=∠ADCAB=CD，
∴△ABE≌△DCFSAS，
∴BE=CF，故①正确；
在△ADG和△CDG中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDG=DG，
∴△ADG≌△CDGSAS，故②正确；
∵△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG，
∴∠ABE=∠DCF，∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，故③正确；
∵在正方形ABCD中，点A关于BD对称点为C，
∴AG=CG，
∴当点P与点G重合时，CF的长即为AP+PF的最小值，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABH=∠GBH，
∵∠AHB=90°=∠GHB，BH=BH，
∴△ABH≌△GBHASA，
∴BG=AB=4，
∵BD=AB2+AD2=42，
∴DG=42−4，即DP=42−4，
即当DP=42−4时，点P与点G重合，AP+PF的值最小，故④正确，
故正确的结论有①②③④，
故选D．