2024杭州西湖高级中学高一下学期4月期中考试数学含答案

这是一份2024杭州西湖高级中学高一下学期4月期中考试数学含答案，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈Nx≤3,B=−2,0,1,3,5，则A∩B=( )
A．0,3 B．0,1,3 C．1,3 D．−2,1,3
2.若i为虚数单位，复数z=1+ii,则z=( )
A．−1+i B．−1−i C．1−i D．1+i
3.已知a=2,3，2a+b=6,2，则b=( )
A．2，−4 B．−2，4 C．2，−12 D．−2，12
第4题
4. 如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若B'A'=B'O'=2, 那么原三角形ABO的周长是( )
A．42+2 B．2+22+23
C．42+4 D．42+8
5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为π2的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A． 12 B． 22 C．1 D．2
6.已知非零向量a，b满足a=2b,且a−2b=a+4b，则a，b的夹角为( )
A． π6 B． 2π3 C. π3 D．5π6
7.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=ax+1,若f−3=8，则不等式fx>14的解集为( )
A． −∞，−512∪0，14 B．−512，0∪0，14
C．−∞，−512∪14，+∞ D．−512，0∪14，+∞
8.已知∆ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,OA=AB,则向量AB在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BC B． 34BC C. −14BC D．−34BC
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若z=1，则z=±1或z=±i
B．若点Z的坐标为−1,1，则z对应的点在第三象限
C．若z=3−2i，则z的模为7
D．若1≤z≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
第10题
10. 已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，则下列关于fx的结论正确的是（ ）
A．fx=2sin12x+π8
B．fx在区间π,2π上单调递减
C．fx的图象关于直线x=−π4对称
D．fx的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数gx=2sin12x图象
第11题
11. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是4+23
B．直三棱柱的外接球表面积是4π
C．三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关
D．AE+EC1的最小值为22
第13题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数，则f−7= ．
13. 已知D为△ABC的边AC上一点，AD=3DC，AB=14，
∠ADB=2∠DBC=π3，则sin∠ABC= ．
14.已知ΔABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的DE=EF,则AF⋅BC的值= ．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知i是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数z=m2−3m+m2−5m+6i分别满足下列条件？
(1) z为实数；
(2) z为虚数；
(3) z为纯虚数；
16. 如图，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=3FD.
(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；
(2)若AB=6,∠BAD=60°，求AC⋅EF.
第16题
17.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点。
第17题
（1）求三棱柱ABC−A1B1C1的体积和表面积；
（2）求三棱锥D−AB1C1的内切球半径。
18. ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设2bsinA=atanB;
(1)求B;
(2)若a+c=2b,试判断ΔABC的形状。
(3)若b=7，求ΔABC的面积的最大值。
19. 对于函数f1(x), f2x, ℎ(x),如果存在实数a,b,使得ℎx=a∙f1x+b∙f2x,那么称函数ℎ(x)为f1(x)与f2x的生成函数．
(1)已知f1x=sinx, f2x=csx, ℎx=sinx−π6,是否存在实数a,b，使得ℎ(x)为f1(x)与f2x的生成函数？若不存在，试说明理由；
(2)当a=b=1,ℎx=ex时，是否存在奇函数f1(x)，偶函数f2x，使得ℎ(x)为f1(x)与f2x的生成函数？若存在，请求出f1(x)与f2x的解析式，若不存在，请说明理由；
(3)设函数f1x=lnx2+6x+5, f2x=ln2x−m,a=1,b=−1,生成函数ℎ(x)，若函数ℎ(x)有唯一的零点，求实数m的取值范围。
杭州市西湖高级中学2024年4月高一数学答案
选择题
多选题
填空题
12. 0
13.277
14.14
四、解答题
15. (1)m=2或 m=3
(2) m≠2且m≠3
(3) m=0
16. （1）因为在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=3FD.
故EF=EC+CF=12AD−34AB，
故x=−34,y=12，所以3x+2y=−54
（2）显然AC=AB+AD，
所以AC⋅EF=(AB+AD)⋅(12AD−34AB)
=−34AB2+12AD2−14AB⋅AD⋯⋯①，
因为菱形ABCD，且，∠BAD=60°，
故|AD|=6，AB,AD=60°.
所以AB⋅AD=6×6×cs60°=18.
故①式=−34×62+12×62−14×18=−272
故AC⋅EF=−272
17.(1)V=3,S=83
(2)r=33−67
18.(1)2sinBsinA=sinAsinBcsB
csB=12
B=π3
(2) b2=a2+c2−ac
(a+c)24=a2+c2−ac
a−c2=0
等边三角形
（3）7=a2+c2−ac≥ac
S=12acsin60°≤734 当且仅当a=c
19. 1）因为ℎ(x)=sinx−π6=sinxcsπ6−csxsinπ6=32sinx−12csx=32f1x−12f2x，
取a=32,b=−12，故ℎx=af1x+bf2x，
故存在实数a=32,b=−12，使得为f1(x)与f2(x)的生成函数.
（2）若存在，则f1x+f2x=ex，故f1−x+f2−x=ex，
所以−f1x+f2x=ex，
故f1x=ex−e−x2,f2x=ex+e−x2.
（3）依题意可得，ℎ(x)=ln(x2+6x+5)−ln(2x−m)，
令ℎ(x)=0，可得x2+6x+5>0x2+6x+5=2x−m，即x2+4x+5=−m（或x>−1），
令g(x)=x2+4x+5（或x>−1），
结合图象可知，
当2<−m≤10时，y=g(x)的图象与直线y=−m只有一个交点，
所以，实数m的取值范围为[−10,−2).
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
D
A
B
A
C
题号
9
10
11
答案
BD
AB
ACD