2023-2024学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 12B. x2+1C. 15D. a2
2.设a>0，b>0，则下列运算错误的是( )
A. a+b= a+ bB. ab= a⋅ b
C. ( a)2=aD. ab= a b
3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A. AO=OBB. AO⊥ODC. AO=OCD. AO⊥AB
4.下列选项中y不是x的函数的是( )
A. |y|=xB. y=−x−6
C. D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AC边的中点，E是AB的中点，若AB=4，则DE的长是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.已知△ABC的三边分别为a，b，c，当三角形的边、角满足下列关系，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a2−b2=c2B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. a：b：c=1：2：3D. a=12b= 33c
7.下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②四个内角都相等的四边形是矩形；
③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中真命题有个( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC于点E，若AC=6，BD=8，则BE的长是( )
A. 245
B. 485
C. 125
D. 4
9.如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，BA=10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为( )
A. 2.4
B. 2.5
C. 4.8
D. 5
10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④∠EAG=30°，其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若式子 1−3xx有意义，则x的取值范围是______．
12.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： b2−|b−a|= ______．
13.如图，∠ACB=90°，∠A=20°，点D是AB的中点，则∠DCB的度数是______．
14.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB=6，AC=10，则△EDC的周长是______．
15.如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为______．
16.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F.当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：
(1) 48÷ 8+ 12−3 13；
(2)(2 5+ 2)(2 5− 2)+ (−3)2．
18.(本小题5分)
小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示．

(1)根据函数的定义，变量h ______(填“是”或者“不是”)关于t的函数，变量h的取值范围是______．
(2)结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是______，它的实际意义是______；
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
19.(本小题5分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)在图中已知点A，画一个△ABC，使AB= 13,BC=3,AC= 10；
(2)请在网格中画出平行四边形ADBC；
(3)已知BM为△ABC中AC边上高，则BM= ______．
20.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE/​/AC交AB于点E，F是AC上的一点，且CF=AE，连接EF．
(1)求证：四边形CDEF是矩形．
(2)若AF=2，∠B=30°，求△ABD的面积．
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求EF的长．
23.(本小题10分)
已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE=BF．

(1)如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；
(2)如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时(点F不与C、D重合)，四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，连接BE，作EF⊥BE交边DC于点F，作FG⊥AC于点G，AB=2．
(1)AE长的取值范围是______；
(2)猜想线段BE与EF的数量关系并说明理由；
(3)求EG的长．
25.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
(1)证明平行四边形ECFG是菱形；
(2)如图2所示，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，M是EF的中点，连接CM，DM，求DM的长．
(3)如图3所示，若∠ABC=120°，AB=4，BC=8，线段CG与EF交于点O，点M是线段EF上的一个动点，连接CM，DM，直接写出CM+DM的最小值，并写出此时EMOM的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【解答】
解：A、 12=2 3不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、 x2+1是最简二次根式，故B符合题意；
C、 15= 55不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、 a2=|a|不是最简二次根式，故D不符合题意，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：∵a>0，b>0，
∴当a=2，b=3时， a+b≠ a+ b，故选项A错误，符合题意；
ab= a⋅ b，故选项B正确，不符合题意；
( a)2=a，故选项C正确，不符合题意；
ab= a b，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的性质和运算法则，逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
故选：C．
由平行四边形的性质容易得出结论．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，
B、C、D均满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，
而A中，对一个x的值，与之对应的有两个y的值，故y不是x的函数，
故选：A．
根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．
本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．
5.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
则BC=12AB=2，
∵D是AC边的中点，点E是AB边的中点，
∴DE=12BC=1．
故选：D．
根据直角三角形的性质求出BC，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、由a2−b2=c2，得c2+b2=a2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
B、由∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=180°×31+2+3=90°，是直角三角形，不符合题意；
C、由a：b：c=1：2：3，得a2+b2≠c2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由a=12b= 33c，得a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理及三角形内角和定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7.【答案】C
【解析】解：对角线相等的菱形是正方形，①是真命题；
四个内角都相等的四边形是矩形，②是真命题；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，③是真命题；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，④是假命题，
综上，真命题有①②③共3个，
故选：C．
根据正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定进行判断即可．
本题主要考查了命题真假的判断，正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关特殊四边形的判定条件．
8.【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD，AC=6，BD=8，
∴AO=CO=3，BO=DO=4，AC⊥BD，
∴CD= CO2+DO2= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=CD×BE=12AC×BD，
∴5BE=12×6×8，
解得：BE=245，
故选：A．
先求出菱形的边长，再由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
△ABC中，AC=6，BC=8，BA=10，
∵102=62+82，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF=CP，PM=12EF=12PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，此时PC=AC⋅BCAB=6×810=4.8，
∴PM的最小值为2.4，
故选：A．
首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=12EF=12PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．
10.【答案】D
【解析】【分析】
根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，得到BE=12AB，CF=12BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正确；求得∠CGD=90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到AG=12DH=AD，求得∠ADG=∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE=∠CDF.故③正确．根据CF=12BC=12CD，可得∠CDF≠30°，所以∠ADG≠60°，所以△ADG不是等边三角形，故④错误．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE=CF，
在△CBE与△DCF中，
BC=CD∠B=∠FCDBE=CF,
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD=90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AHE=∠BCE，∠AEH=∠CEB，AE=BE，
∴△AEH≌△BEC(AAS)，
∴BC=AH=AD，
∵AG是Rt△DGH斜边的中线，
∴AG=12DH=AD，
∴∠ADG=∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD=90°，∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠AGE=∠CDF.故③正确；
∵CF=12BC=12CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD=AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故④错误；
故选：D．
11.【答案】x≤13且x≠0
【解析】解：式子 1−3xx有意义，则1−3x≥0且x≠0，
解得：x≤13且x≠0．
故答案为：x≤13且x≠0．
直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关性质是解题关键．
12.【答案】a
【解析】解：根据数轴图可知b>0，b−a>0，
∴ b2−|b−a|=b−(b−a)=a．
故答案为：a．
根据数轴图可知b>0，b−a>0，再根据 a2=|a|化简式子即可．
本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，关键是掌握 a2=|a|和绝对值的性质．
13.【答案】70°
【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴∠ACD=∠A=20°，
∴∠DCB=90°−20°=70°，
故答案为：70．
根据直角三角形的性质得到CD=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=28°，结合图形计算得到答案即可．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，EO⊥AC，
∴OA=OC=12AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∵AB=CD=6，AC=BD=10，
∴AD=BC= 102−62=8，
∴△EDC的周长=EC+ED+CD=AE+ED+CD=AD+CD=8+6=14，
故答案为：14．
由矩形的性质可得OE垂直平分AC，推出AE=EC，将△EDC的周长转化为AD+DC，根据勾股定理求得AD，进一步求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
15.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，
∴AC=AE，
∴∠CAB=60°，∠EAB=90°，
∴∠CAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
AE=AB∠EAF=∠BAFAF=AF，
∴△AEF≌△ABF(SAS)，
∴∠ABF=∠AEF=15°．
故答案为：15°．
本题需先根据△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB的度数和∠AFB的度数，再根据ABDE是正方形，得出∠BAD的度数，最后即可求出答案．
本题主要考查了正方形的性质和等边三角形的性质，在解题时要能根据等边三角形和正方形的知识点综合起来解题是本题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，连接BB′，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= 2AB=2 2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE=BE=1，
∵四边形BEB′F是正方形，
∴BB′= 2BE= 2，BB′平分∠ABC，
∴点B，点B′，点D三点共线，
∴B′D=BD−BB′= 2，
故答案为： 2．
连接BB′，连接BD，由正方形的性质可得BD= 2AB=2 2，BD平分∠ABC，BB′= 2BE= 2，BB′平分∠ABC，可证点B，点B′，点D三点共线，即可求解．
本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
17.【答案】解：(1) 48÷ 8+ 12−3 13
= 488+2 3− 3
= 6+ 3；
(2)(2 5+ 2)(2 5− 2)+ (−3)2
=20−2+3
=21．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】是 0.5≤h≤1.5. 0.5m 摆动时间为0.7s时，秋千离地面的高度是0.5m．
【解析】解：(1)由函数的定义，结合图象可知：变量h是关于t的函数，变量h的取值范围是0.5≤h≤1.5．
故答案为：是；0.5≤h≤1.5．
(2)①当t=0.7s时，h的值是0.5m，它的实际意义是摆动时间为0.7s时，秋千离地面的高度是0.5m．
故答案为：0.5m；摆动时间为0.7s时，秋千离地面的高度是0.5m．
(3)①当t=0.7s时，h的值是0.5m；它的实际意义是秋千摆动0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m；
②从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为第一个来回，由图象可知，需要的时长为2.6s．
故答案为：2.6s．
(1)根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，可解答．
(2)给出的函数图象表示：秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系．每个点的实际意义是，在摆动t s时，秋千离地面的高度hm，据此解答．
(3)结合图象，从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为第一个来回，需要时长为2.8s．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，结合图形理解题意是解决本题的关键．
19.【答案】9 1010
【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求；
(2)如图，平行四边形ADBC即为所求；
(3)△ABC的面积=12×3×3=12×AC×BM，
∵AC= 12+32= 10，
∴BM=9 1010．
故答案为：9 1010．
(1)利用勾股定理以及数形结合的思想画出△ABC即可；
(2)根据平行四边形的定义画出图形即可；
(3)利用面积法求解．
本题考查作图−应用与设计作图，二次根式的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/DC，AB=DC，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵BE=DF，
在△ABE与△CDF中
AB=DC∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF；
(2)由(1)知，△ABE≌△CDF，则∠AEB=∠DFC=140°．
∴∠DEA=40°．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠DEA=40°．
∴∠DAE=180°−2∠ADE=100°．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
(2)由(1)中全等三角形的对应角相等推知：∠AEB=∠DFC=140°，则∠DEA=40°；然后根据等腰△ADE的性质和三角形内角和定理求解即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
21.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE．
∵DE/​/AC，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE．
∵CF=AE，
∴DE=CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵∠C=90°，
∴四边形CDEF是矩形；
(2)解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
由(1)知，在矩形CDEF中，∠CFE=∠CDE=90°，
∴∠EFA=∠EDB=90°，
∴∠AEF=30°．
在Rt△AEF中，AE=2AF=2×2=4，
∴DE=CF=AE=4，
∴AC=CF+AF=2+4=6．
在Rt△BDE中，BD=DEtanB=4tan30∘=4 33=4 3，
∴S△ABD=12BD⋅AC=12×4 3×6=12 3，
∴△ABD的面积为12 3．
【解析】(1)根据角平分线的性质及DE/​/AC，得到AE=DE，由CF=AE，得到四边形CDEF是平行四边形，根据∠C=90°即可证明结论；
(2)由AF=2，∠B=30°解(1)四边形CDEF是矩形，求得AE，AC的值，再根据解直角三角形求出BD，即可解答．
本题主要考查了矩形的性质与判定，含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22.【答案】(1)证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，EA=EC，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴FA=EC，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：设AE=CE=x，
则BE=8−x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∴AC=4 5，
∴AO=2 5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，
即42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
即AE=5．
在Rt△AEO中，由勾股定理得AO2+OE2=AE2，
∴OE= AE2−AO2= 52−(2 5)2= 5，
∴EF=2OE=2 5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
(2)由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF≌△COE是解题的关键．
23.【答案】解：(1)AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
AE=BFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴AE⊥BF；
(2)四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：
由(1)知：AE⊥BF，
∴∠APF=90°，
∵FM⊥DN，DN⊥AE，
∴∠FMN=∠MNP=90°，
∴四边形FMNP是矩形，
∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°，
∴∠BAP=∠ADN，
在△BAP和△ADN中，
∠BAP=∠ADNAB=DA∠APB=∠DNA=90°，
∴△BAP≌△ADN(ASA)，
∴AN=BP，AP=DN，
∵AE=BF，
∴AE−AN=BF−BP，
∴EN=PF，
∵点F在线段CD上运动时(点F不与C、D重合)，
∴P、E不重合，
∴PN≠PF，
∴四边形FMNP不能成为正方形．
【解析】(1)根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，结合AE=BF，证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可解决问题；
(2)证明△BAP≌△ADN(ASA)，可得AN=BP，AP=DN，由AE=BF，可得EN=PF，根据点F在线段CD上运动时(点F不与C、D重合)，可得P、E不重合，所以PN≠PF，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ABP≌△ADN．
24.【答案】0≤AE≤ 2
【解析】解：(1)连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD= 2AB=2 2，
∴AO=12AC= 2，
∵点F在DC上，
∴点E在AO上运动，
∴0≤AE≤ 2，
故答案为：0≤AE≤ 2；
(2)BE=EF，理由如下：
连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCE中，
BC=DC∠ACB=∠ACDCE=CE，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=∠CDE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∵∠BEF+∠BCD+∠CBE+∠CFE=360°，
∴∠CBE+∠CFE=180°，
∴∠CBE=∠EFD，
∴∠CDE=∠EFD，
∴DE=EF，
∴BE=EF；
(3)∵FG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EGF=∠BOE=90°，∠GFE+∠GEF=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEB+∠GEF=90°，
∴∠GFE=∠DEB，
在△GFE和△OEB中，
∠GFE=∠DEB∠EGF=∠BOEEF=BE，
∴△GFE≌△OEB(AAS)，
∴EG=BO= 2．
(1)连接BD交AC于O，根据正方形的性质得出AO的长，然后根据F点在CD上得出点E在AO上得出结论即可；
(2)连接DE，根据SAS证△BCE≌△DCE，得出BE=BD，再证△DEF是等腰三角形，推出BE=EF即可；
(3)根据AAS证△GFE≌△OEB，得出EG=BO= 2即可．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD/​/BC，AB/​/CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．
(2)解：如图，连接BD、BM，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD，
∴∠ECF=180°−∠BCD=90°，
又由(1)可知四边形ECFG为菱形，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，四边形ECFG为正方形．
∴∠CEM=∠ECM=45°，∠CEG=90°，∠BEG=180°−∠CEG=90°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，CM=EM，∠CME=180°−45°−45°=90°，
∴△BME≌△DMC(SAS)，
∴MB=MD，∠DMC=∠BME，
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=3，BC=5，
∴BD2=32+52=34，
∵BD2=BM2+DM2，
∴DM= 17．
(3)解：如图，连接GM，DG，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，AB=DC=4，AD//BC，
∴∠BAE=∠DAE=∠BEA，
∴BE=AE=4，
∴CE=BC−BE=8−4=4，
∵∠ABC=120°，AB//DC，AD//BC，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°，
由(1)知四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，EG//DF，CE=GE=GF=CF，∠CFG=∠CEG，∠GCF=12∠BCF=60°，CM=GM．
∴∠CEG=∠BCD=60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴CG=GE=CE=GF=CD=4，∠CFG=∠CEG=60°，
∴∠FDG=∠DGC=12×60°=30°，
∴∠DGF=180°−∠CFG−∠FDG=90°，
∴DG⊥GF，
∴当D、H、M三点共线时，CM+DM最小，最小值为DG的长，
∵DF=CD+CF=8，GF=4，
∴CM+DM的最小值DG= 82−42=4 3，如图，

当CM+DM取最小值时，
∵四边形CEGF是菱形，
∴OA=OC，BC/​/GF，
∴∠DNC=∠DGF=90°，
∴DG⊥CE，
∵EG=CG，
∴EN=CN，
∴点M是△EGC的重心，
∴EM=2OM，
∴EMOM=2．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可得AD//BC，AB/​/CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再由条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
(2)首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC，可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
(3)如图3，连接GH，DG，先证明△CEG是等边三角形，从而得CG=GE=CE=GF=CD=4∠CFG=∠CEG=60°，进而证DG⊥GF，得当D、H、M三点共线时，CM+DM最小，最小值为DG的长，利用勾股定理求得最小值，再证明点M是△EGC的重心，即可求得EMOM=2．
本题考查相似型综合应用，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的重心等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解题的关键．