2023-2024学年江苏省泰州市兴化市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是最简分式的是( )
A. a+1a2+1B. 63aC. a−1a2−1D. a−11−a
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 4cm
D. 6cm
4.若分式A2x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是( )
A. 3x+2yB. 3x+3C. 2xyD. 3
5.函数y=−|k|x(k≠0,k为常数)的图象上有三点(−3,y1)，(−2,y2)，(4,y3)，则函数值的大小关系是( )
A. y16.点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)第一象限图象上的两点，设m=(x1−x2)(y1−y2)
则y=mx+m不经过第象限( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若xy=12，则2x−yy= ______．
8.当x=2时，分式3x−a无意义，则a= ______．
9.如果反比例函数y=kx的图象经过点P(−3,1)，那么k=______．
10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OA，OB的中点.若AC+BD=26cm，△OAB的周长是21cm，则EF的长为______cm．
11.已知菱形的周长是60cm，一条对角线长为24cm，则菱形的面积为______cm2，
12.若关于x的分式方程2x−5x−2+m2−x=1有增根，则m的值为______．
13.已知函数y1=kx，y2=−kx(k>0)，当2≤x≤4时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a−4，则a的值为______．
14.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为9，宽AB为3，则EF= ______．
15.已知x为整数，且分式2(x+1)x2−1的值为整数，则x可取的所有值为______．
16.如图，点M在线段AB上，且AB=7、AM=4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：axby2⋅bya2x；
(2)计算：x2−2x+1x2−1÷(1−x2x−1)．
18.(本小题10分)
(1)解方程：3x−2x−2=0；
(2)解方程：4xx2−4=2x+2．
19.(本小题8分)
在长度单位为1的正方形网格中．
(1)将△ABC平移，使点C与点C′重合，作出平移后的△A′B′C′，并计算平移的距离．
(2)将△A′B′C′绕点C′顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△B′′C′A′′，并计算A′A′′的长．
20.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF//BD，DF//AC，连接BF交AC于点E．
(1)求证：△FCE≌△BOE；
(2)当AB=AD时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．
21.(本小题10分)
如图在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A(1,2)，B(n,−1)．
(1)分别求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)写出不等式k1x+b≥k2x的解集．
(3)求△AOB的面积．
22.(本小题10分)
某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4元，而用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍．
(1)求A种文具的单价；
(2)根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的总费用不超过2820元，求学校购买A种文具的数量至少是多少件？
23.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE//CD，CE//AB，两线交于点E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)当∠B=60°，CD=1时，求四边形AECD的面积．
24.(本小题10分)
观察以下等式：
1×12=1−12，2×23=2−23，3×34=3−34，4×45=4−45，…
(1)依此规律进行下去，第5个等式为______；
(2)猜想第n个等式为______(n为正整数)；
(3)请利用分式的运算证明你的猜想．
25.(本小题12分)
已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在边AB上，AP=1，点Q在边BC上，连接PQ，以PQ为边在PQ左侧作正方形PQEF.当Q在边BC上运动时，点E、F也随之运动．

(1)当点Q与点B重合时如图②，求DF的长；
(2)在点Q运动的过程中，连接FC、DF，判断△FCD的面积是否发生变化？若不变，求出△FCD的面积；若变化，请说明理由．
(3)在点Q由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．
26.(本小题14分)
如图，动点P在反比例函数y1=k1x(k1>0)的图象上，且点P的横坐标为m(m<0)，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数y2=k2x(k2<0)的图象于点A、B，连接AB、AO、BO．
(1)当k1=4，k2=−3时．
①直接写出点P、A、B的坐标(用m的代数式表示)；
②当PA=PB时，求m的值．
(2)AB与x轴和y轴相交于点E、F，AE与BF有怎么样的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该分式的分子分母中不含公因式，是最简分式，符合题意；
B、该分式的分子分母中含有公因数3，不是最简分式，不符合题意；
C、该分式的分子分母中含有公因式(a−1)，不是最简分式，不符合题意；
D、该分式的分子分母中含有公因式(a−1)，不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
分子分母中不含公因式的分式是最简分式．
本题考查最简分式，正确记忆分式的概念是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形．故不合题意；
B、不是中心对称图形．故不合题意；
C、不是中心对称图形．故不合题意；
D、是中心对称图形．故符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6cm，CD=AB=4cm，AD//BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=4cm，
即BE=BC−EC=6−4=2(cm)．
故选：B．
证出∠EDC=∠DEC，得CE=CD，则BE可求解．
本题考查了平行四边形性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出CD=CE是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：当A=3x+2y时，分式A2x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，故选项A符合题意；
当A=3x+3时，分式A2x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项B不符合题意；
当A=2xy时，分式A2x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项C不符合题意；
当A=3时，分式A2x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据分式的基本性质可作判断．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以(或除以)一个不为0的数，分式的值不变．
5.【答案】D
【解析】解：因为−|k|<0，所以函数y=−|k|x图象在第二、四象限．
由于在第二象限，y值随x的增大而增大，
(−3,y1)，(−2,y2)在第二象限的双曲线的分支上，
因为−3<−2，
所以y1在第四象限双曲线中的点，对应的y值小于0，
而点(4,y3)在第四象限的双曲线的分支上，则y3<0，
所以大小关系是y3故选：D．
分析题意，由−|k|<0可知函数图象为二、四象限，根据图象在第二象限时，y值随x的增大而增大即可判断出y1，y2的大小关系；图象在第四象限时，所有的y值都小于0，据此可得y3<0．
本题主要考查了反比例函数的相关知识，解题的关键是熟记反比例函数的图象与性质．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)第一象限图象上的两点，
∴当x1>x2>0时，y1∵m=(x1−x2)(y1−y2)，
∴m<0，
∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不过第一象限，
故选：A．
首先根据题意得出当x1>x2>0时，y1本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定m的符号．
7.【答案】0
【解析】解：∵xy=12，
∴2x−yy=2xy−1=12×2−1=0．
故答案为：0．
先把要求的式子化成2xy−1，再代值计算即可．
此题考查了比例的性质，解题的关键是把2x−yy化成2xy−1．
8.【答案】2
【解析】解：∵当x=2时，分式3x−a无意义，
∴a=2．
故答案为：2．
根据分式有意义的条件得出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记当分母B=0时分式AB(A、B为整式)无意义是解此题的关键．
9.【答案】−3
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
由图象可知，函数经过点P(−3,1)，
∴1=k−3，得k=−3．
故答案为：−3．
因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=kx(k≠0)即可求得k的值．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．
10.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=12AC，OB=12BD，
∵AC+BD=26cm，
∴OA+OB=13cm，
∵△OAB的周长是21cm，
∴AB=8cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=12AB=4cm．
故答案为：4．
首先由▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求得OA=12AB，OB=12BD，又由AC+BD=26cm，可求得OA+OB的长，继而求得AB的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得AB的长是关键．
11.【答案】216
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24cm，
∴BO=DO，AO=CO=12cm，AC⊥BD，
∵菱形ABCD周长为60cm，
∴AB=15cm，
在直角三角形ABO中，OA2+OB2=AB2，
∴BO=9cm，
∴BD=18cm，
∴菱形ABCD的面积=12×AC⋅BD=12×24×18=216(cm2)，
故答案为：216．
由菱形的性质可得BO=DO，AO=CO=12cm，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：方程两边乘(x−2)得：2x−5−m=x−2，
∴x=m+3，
∵方程有增根，
∴x−2=0，
∴m+3=2，
∴m=−1，
故答案为：−1．
方程两边乘(x−2)，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x=2，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵y1=kx，y2=−kx(k>0)，2≤x≤4，
∴y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大．
∴当x=2时，y1的最大值为k2=a，
当x=2时，y2的最小值为−k2=a−4，
∴−a=a−4，
解得a=2，
故答案为：2．
由反比例函数的性质可得k2=a，−k2=a−4，进而即可求得a的值．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14.【答案】 10
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BC=9，AB=3，
∴∠B=90°，
由折叠得AF=CF，∠AFE=∠CFE，
∵AB2+BF2=AF2，且BF=9−CF=9−AF，
∴32+(9−AF)2=AF2，
解得AF=5，
∴BF=9−5=4，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
作FG⊥AE于点G，则∠AGF=∠GAB=∠B=90°，∠FGE=90°，
∴四边形ABFG是矩形，
∴AG=BF=4，FG=AB=3，
∴EG=AE−AG=5−4=1，
∴EF= EG2+FG2= 12+32= 10，
故答案为： 10．
由矩形的性质得∠B=90°，由折叠得AF=CF，∠AFE=∠CFE，根据勾股定理得32+(9−AF)2=AF2，求得AF=5，则BF=4，由AD//BC，得∠AEF=∠CFE，则∠AEF=∠AFE，所以AE=AF=5，作FG⊥AE于点G，则四边形ABFG是矩形，所以AG=BF=4，FG=AB=3，则EG=1，所以EF= EG2+FG2= 10，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】0，2，3
【解析】解：由题意得，x−1=−1，1，2，
故x−1=−1，x=0；
x−1=1，x=2；
x−1=2，x=3，
故答案为：0，2，3．
根据x为整数，且分式2(x+1)x2−1的值为整数，可得2是(x−1)的倍数，可得答案．
本题考查了分式的值，认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路，注意x≠±1．
16.【答案】2.4
【解析】解：如图，作MA′⊥MA于M，且使得MA′=MA．
∵四边形MNFE是正方形，
∴∠FMN=90°，MF=MN．
∴∠FMA′+∠A′MN=90°．
又∠AMA′=90°，
∴∠AMF+∠FMA′=90°．
∴∠AMF=∠A′MN．
在△MAF和△MA′N中，
MF=MN∠AMF=∠A′MNAM=A′M，
∴△MAF≌△MA′N(SAS)．
∴AF=A′N．
∴AF+BN=A′N+BN．
又当点N在线段A′B上时A′N+BN最小，即点N在线段AB上，
∴当MN⊥AB时，MN的值最小．
此时，MN=A′M⋅BMA′B=A′M⋅BM A′M2+BM2=3×45=2.4．
故答案为：2.4．
依据题意，构造MA′⊥MA，MA′=MA，然后证明△MAF≌△MA′N，则AF+BN最小值等于A′N+BN最小值，易得当点N在线段A′B上时最小，易得MN⊥AB时，MN的值最小，进而计算可以得解．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能构造三角形全等解题是关键．
17.【答案】解：(1)axby2⋅bya2x
=abxya2bxy2
=1ay；
(2)x2−2x+1x2−1÷(1−x2x−1)
=(x−1)2(x+1)(x−1)÷2x−1−x2x−1
=x−1x+1÷x−12x−1
=x−1x+1⋅2x−1x−1
=2x−1x+1．
【解析】(1)把分子同分子相乘，分母同分母相乘，再约分即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)3x−2x−2=0，
方程两边都乘x(x−2)，得3(x−2)−2x=0，
3x−6−2x=0，
3x−2x=6，
x=6，
检验：当x=6时，x(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=6；
(2)4xx2−4=2x+2，
4x(x+2)(x−2)=2x+2，
方程两边都乘(x+2)(x−2)，得4x=2(x−2)，
4x=2x−4，
4x−2x=−4，
2x=−4，
x=−2，
检验：当x=−2时，(x+2)(x−2)=0，
所以x=−2是增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘x(x−2)得出3(x−2)−2x=0，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘(x+2)(x−2)得出4x=2(x−2)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
连接CC′，
由勾股定理得，CC′= 52+22= 29，
∴平移的距离为 29．
(2)如图，△B′′C′A′′即为所求．
由勾股定理得，A′A′′= 12+32= 10．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可；利用勾股定理求出CC′的长，即为平移的距离．
(2)根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理计算A′A′′的长即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵CF//BD，DF//AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE=∠CFE，
∴OD=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OB=CF，
在△FCE和△BOE中，∠OBE=∠CFE∠BEO=∠FECOB=CF，
∴△FCE≌△BOE(AAS)；
(2)当AB=AD时，四边形OCFD为矩形；理由如下：
∵AB=AD，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵CF//BD，DF//AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCFD为矩形．
【解析】(1)证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF，证出OB=CF，即可得出△FCE≌△BOE(AAS)；
(2)证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出四边形OCFD为菱形．
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k2x的图象过点A(1,2)，
∴k2=xy=1×2=2，
∴反比例函数解析式是y=2x，
∵B在反比例函数y=2x的图象上，
∴−1=2n，
∴n=−2，
∴B点坐标是(−2,−1)，
∵一次函数y=k1x+b的图象过A(1,2)，B(−2,−1)，
∴k1+b=2−2k1+b=−1，
解得k1=1b=1，
∴一次函数解析式是y=x+1；
(2)由图象可知，不等式k1x+b≥k2x的解集为：−2≤x<0或x≥1；
(3)当x=0时，y=x+1=1，
∴C(0,1)，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×1×2+12×1×1=32．
【解析】(1)根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；
(2)根据一次函数图象在反比例函数图象上方的区域，可得答案；
(3)根据∴S△AOB=S△BOC+S△AOC可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用了待定系数法求解析式，利用了图象法解不等式，三角形面积的和差求三角形的面积．
22.【答案】解：(1)设A种文具单价为x元，
根据题意，得 240x=2×160x+4，
解得：x=12，
经检验：x=12是方程的根，且符合题意，
∴A种文具单价为12元；
答：A种文具的单价为12元．
(2)设购买A种文具数量为m件，
∵B种文具的单价为12+4=16(元)，
根据题意，得12m+16(200−m)≤2820，
解得 m≥95，
∴学校购买A种文具至少95件．
答：学校购买A种文具的数量至少是95件．
【解析】(1)设A种文具单价为x元，根据“用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍”列分式方程，求解即可；
(2)设购买A种文具数量为m件，根据“购买两种奖品的总费用不超过2820元”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用题，一元一次不等式的应用，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB=AD，
∴平行四边形AECD是菱形
(2)解：如图，连接DE．
由(1)可知，CD=BD，AB=2CD=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=1，
∵∠ACB=90°，
∴AC= AB2−BC2= 22−12= 3，
∵四边形AECD是菱形，
∴CE=AD=DB，AC⊥DE，
又∵CE//AB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE=CB=1，
∴S菱形AECD=12AC⋅DE=12× 3×1= 32．
【解析】(1)先证明四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；
(2)先证明△BCD是等边三角形，得BC=CD=1，再由勾股定理得AC= 3，进而证明四边形ECBD是平行四边形，得DE=CB=1，然后由菱形面积公式列式计算即可．
此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】5×56=5−56 n⋅nn+1=n−nn+1
【解析】解：(1)依此规律进行下去，第5个等式为：5×56=5−56，
故答案为：5×56=5−56；
(2)猜想第n个等式为：n⋅nn+1=n−nn+1(n为正整数)，
故答案为：n⋅nn+1=n−nn+1；
(3)∵左边=n⋅nn+1=n2n+1，
右边=n−nn+1=n(n+1)−nn+1=n2+n−nn+1=n2n+1，
∴左边=右边，
即n⋅nn+1=n−nn+1．
(1)从数字找规律，即可解答；
(2)从数字找规律，即可解答；
(3)利用分式的乘法法则，异分母分式的加减法法则分别计算等式的左、右两边，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当点Q与点B重合时，延长FP交CD于点G，如图，

∵四边形ABCD为矩形，四边形EFPQ为正方形，点Q与点B重合，
∴FG//AD//BC，
∴四边形PGDA为矩形，
∴PG=BC=AD=4，AP=GD=1，∠FGD=90°．
∵AP=1，AB=3，
∴PB=PQ=PF=2，
∴FG=FP+PG=4+2=6．
∴DF= FG2+GD2= 37．
(2)△FCD的面积不会发生变化，△FCD的面积为9.理由：
过点F作FH⊥AB于点H，延长FH交CD于点G，如图，

∵四边形EFPQ为正方形，
∴FP=PQ，∠FPQ=90°，
∴∠FPH+∠BPQ=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BPQ+∠BQP=90°，
∴∠FPH=∠PQB．
在△FPH和△PQB中，
∠FHP=∠B=90°∠FPH=∠PQBFP=PQ，
∴△FPH≌△PQB(AAS)，
∴FH=PB=2．
∵四边形ABCD为矩形，四边形EFPQ为正方形，
∴四边形BHGC为矩形，
∴HG=BC=4，
∴FG=FH+HG=2+4=6，
∴△FCD的底为CD=3，CD边上的高为FG=6，
∴△FCD的面积不会发生变化，△FCD的面积为12×3×6=9；
(3)在点Q由B向C运动的过程中，当点Q与点B重合时，DF的长取得最小值为 37；
当点Q与点C重合时，DF的长取得最大值．
如图，点Q与点C重合，过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，FQ⊥AD，交DA的延长线于点Q，

∵四边形EFPQ为正方形，
∴FP=PC，∠FPC=90°，
∴∠FPH+∠BPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠FPH=∠PCB．
在△FPH和△PCB中，
∠FHP=∠PBC=90°∠FPH=∠PCBFP=PC，
∴△FPH≌△PCB(AAS)，
∴FH=PB=2，PH=BC=4．
∴AH=AP+PH=5．
∵FQ⊥AD，FH⊥AB，AB⊥DQ，
∴四边形FHAQ为矩形，
∴AQ=FH=2，FQ=AH=5．
∴DQ=AQ+AD=2+4=6，
∴DF的长的最大值= FQ2+DQ2= 61．
∴在点Q由B向C运动的过程中，DF的取值范围为 37≤DF≤ 61．
【解析】(1)延长FP交CD于点G，利用矩形的判定与性质，正方形的性质和勾股定理解答即可；
(2)过点F作FH⊥AB于点H，延长FH交CD于点G，利用矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到FH，这样△FCD的底与高军伟定值，则结论可求；
(3)在点Q由B向C运动的过程中，当点Q与点B重合时，DF的长取得最小值为 37；当点Q与点C重合时，DF的长取得最大值，点Q与点C重合，过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，FQ⊥AD，交DA的延长线于点Q，利用(2)中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的变化规律，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设点P(m,k1m)，则点A、B的坐标分别为：(m,k2m)、(k2mk1,k1m)，
①则点P、A、B的坐标分别为：(m,4m)、(m,−3m)、(−3m4,4m)；
②∵PA=PB，
则−3m−4m=−3m4−m，
解得：m=2(舍去)或−2，
即m=−2；
(2)AE=FB，理由：
设点P(m,k1m)，则点A、B的坐标分别为：(m,k2m)、(k2mk1,k1m)，
设AP交x轴于点M，PB交y轴于点N，

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=−k1m2(x−m)+k2m，
当x=0时，y=−k1m2(x−m)+k2m=k1+k2m，
则点F(0,k1+k2m)，
则FN=yF−yN=k1+k2m−k1m=k2m=yA=AM，
∵ME//BN，则∠AEM=∠FBN，
∵∠AME=∠FNB=90°，
∴△AME≌△FNB(AAS)，
∴AE=FB．
【解析】(1)①设点P(m,k1m)，则点A、B的坐标分别为：(m,k2m)、(k2mk1,k1m)，则点P、A、B的坐标分别为：(m,4m)、(m,−3m)、(−3m4,4m)，即可求解；
②由PA=PB得到则−3m−4m=−3m4−m，即可求解；
(2)求出点F(0,k1+k2m)，得到FN=yF−yN=k1+k2m−k1m=k2m=yA=AM，即可求解．
本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数性质等，确定线段的长度是解题的关键．

2023-2024学年江苏省泰州市兴化市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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