2024年北京大学附属中学九年级下学期零模数学试卷

这是一份2024年北京大学附属中学九年级下学期零模数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥
2．（2分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099s．将数据0.0000000099用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣11B．0.99×10﹣8C．9.9×10﹣9D．9.9×10﹣10
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜0
4．（2分）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
5．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
8．（2分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，若T表示温度（单位：K），P表示压强（单位：bar），令10y＝P，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和y的关系，下列结论中正确的是（ ）
A．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
B．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
C．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
D．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：2mn2﹣4mn+2m＝ ．
11．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”）
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于E，当BC＝4，△BCE的面积为2时，DE的长为 ．
14．（2分）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系是：P1 P2，（填“＞”“＝”或“＜”）
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，并且过C（m，n）和D（2﹣m，n），则点B的坐标为 ．
16．（2分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分）（在答题卡上作答）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知m2+m﹣3＝0，求代数式的值．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．
求证：（1）BE⊥AC；
（2）连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．
21．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE＝EF＝FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD＝AC．所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC： ＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝ AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，﹣1），（2，0），与y轴交于点A．
（1）求该函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
24．（5分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：
（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值；
（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？
（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由．
25．（5分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
27．（7分）已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC边上一动点，连接BD，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点H．
（1）如图1，过点A作AN∥BC交CH的延长线于点N，连接DN．
①依题意补全图形；
②用等式表示∠NDH与∠HDC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D恰为AC的中点时，E为BD上一动点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交射线CH于点F．若AB＝2，且点E在运动的过程中始终满足HE﹣HF＝2CH．请直接写出BE的取值范围 ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥
【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：A．
2．（2分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099s．将数据0.0000000099用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣11B．0.99×10﹣8C．9.9×10﹣9D．9.9×10﹣10
【解答】解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，
故选：C．
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜0
【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；
a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；
a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；
a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．
故选：B．
4．（2分）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【解答】解：如图，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BED＝30°，
又∵∠DEF＝45°，
∴∠BEF＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠BEF＝105°，
故选：B．
5．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．三角形的内角和为180°；
B．四边形的内角和为360°；
C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；
D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；
故选：D．
6．（2分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，
∴OA′：OA＝1：2，
∴A′B′：AB＝1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．
故选：D．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【解答】解：如图，连接OA，根据网格看作出线段OA，AB的中垂线，两条中垂线相交于点E，点E即为圆心．
故选：B．
8．（2分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，若T表示温度（单位：K），P表示压强（单位：bar），令10y＝P，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和y的关系，下列结论中正确的是（ ）
A．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
B．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
C．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
D．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
【解答】解：A、当T＝270，P＝128时，则3＞lgP＞2，此时二氧化碳处于液态，故选项A不符合题意；
B、当T＝360，P＝729时，则lgP＞2，此时二氧化碳处于超临界状态，故选项B符合题意；
C、当T＝220，P＝1026时，则4＞lgP＞3，此时二氧化碳处于固态，故选项C不符合题意；
D、当T＝300，P＝9987时，则4＞lgP＞3，且lgP与4非常接近，此时二氧化碳处于固态，故选项D不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥8 ．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
10．（2分）分解因式：2mn2﹣4mn+2m＝ 2m（n﹣1）2 ．
【解答】解：2mn2﹣4mn+2m＝2m（n2﹣2n+1）＝2m（n﹣1）2，
故答案为：2m（n﹣1）2．
11．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1 ＜ k2.（填“＞”，“＜”或“＝”）
【解答】解：如图，因为反比例函数的图象离坐标轴比反比例函数的图象离坐标轴远，
所以k2、＞k1．
故答案为：＜．
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为 2 ．
【解答】解：由网格可知AD＝CD，BE＝CE，AB＝4，
∴DE＝AB＝2，
故答案为：2．
13．（2分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于E，当BC＝4，△BCE的面积为2时，DE的长为 1 ．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，如图所示．
∵BE平分∠ABC，且ED⊥AB，
∴DE＝EF．
∵S△BCE＝BC•EF，
即2＝×4•EF，
∴EF＝1，
∴DE＝1．
故答案为：1．
14．（2分）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系是：P1 ＜ P2，（填“＞”“＝”或“＜”）
【解答】解：猜想P1＜P2，理由如下：
活动1，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
∴；
活动2，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴，
∴P1＜P2．
故答案为：＜．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，并且过C（m，n）和D（2﹣m，n），则点B的坐标为 （4，0） ．
【解答】解：∵点C（m，n）和D（2﹣m，n）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，
∴点B的横坐标为：1×2﹣（﹣2）＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
16．（2分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则z＝x，
∵1＜＜2，AB＝x＞0，
∴x＜x＜2x，
∴3x＜2x+x＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（共68分）（在答题卡上作答）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
＝3﹣2+2+2
＝5．
18．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
由①得：x＞1，
由②得：x≤5，
则不等式组的解集为1＜x≤5．
19．（5分）已知m2+m﹣3＝0，求代数式的值．
【解答】解：
＝•
＝•
＝m（m+1）
＝m2+m，
当m2+m﹣3＝0时，即m2+m＝3，
原式＝3．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．
求证：（1）BE⊥AC；
（2）连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝BD，即BD＝2BO，
又∵BD＝2BC，
∴OB＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC；
（2）∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AG＝AB，
∴又∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴EG＝EF＝AG，EF∥AG，
∴四边形AGEF是菱形．
21．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE＝EF＝FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD＝AC．所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC： AB ＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝ AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
【解答】解：（1）依作法补全图形如下：
（2）证明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据），
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC：AB＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，AB，．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，﹣1），（2，0），与y轴交于点A．
（1）求该函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把（1，﹣1），（2，0）分别代入y＝kx+b得，，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
∴A点坐标为（0，﹣2）；
（2）∵函数y＝mx﹣2与y＝x﹣2图象交于（0，﹣2），
当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2的值大于函数y＝x﹣2（k≠0）的值时需要m＞1．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
【解答】（1）证明：
∵CB是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵EF⊥OG，
∴∠OFE＝90°，
∴∠COB+∠OCB＝90°，∠EOF+∠OEF＝90°，
∵∠COB＝∠EOF，
∴∠FEB＝∠OCB，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠ECF，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵sin∠CEB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴OD＝3，
∴OE＝5，
∴EB＝8，
∵∠CBE＝90°，sin∠CEB＝，
∴＝，
设CB＝3x，CE＝5x，
∴EB＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴CB＝6，
∴CO＝＝3，
∵∠EOF＝∠COB，∠FEO＝∠OCB，
∴△EOF∽△COB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2．
24．（5分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：
（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值；
（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？
（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）成绩在60≤x＜70组的人数为：20﹣2﹣3﹣6﹣5＝4（人），补全频数分布直方图如下：
将七年级20名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝80，因此中位数是80，即a＝80；
（2）抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为：1﹣5%﹣45%﹣＝30%，
此次八年级测试成绩达到优秀的学生为：200×30%＝60（人），
答：八年级测试成绩达到优秀的学生大约有60人；
（3）抽取的七年级20名学生成绩在平均分81分以上的有9人，即m＝9，
抽取的八年级20名学生成绩中80分及以上的学生有：20×（+30%）＝10（人），
把八年级20名学生的成绩由高到低排列，
设第十名的成绩为x，第十一名的成绩为80﹣b（b＞0）．
∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81，
∴x+80﹣b＝81×2．
∴x＝82+b．
∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82，
∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分，
∴n＝10．
∴m＜n．
25．（5分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+m，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5，
解得m≥1.6，
∴水管高度至少向上调节1.6米，
∴0.5+1.6＝2.1（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．
（2）∵m＝0，y1＝y3，
∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，
∴y＝x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），
∴y2＝1为函数最小值，
∴y1＞y2．
（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，
y2＝m2﹣2am+1，
y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，
∵y1＞y2＞y3，
∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，
解得m﹣1＜a＜1，
∵m＞1，
∴0＜a＜1．
27．（7分）已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC边上一动点，连接BD，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点H．
（1）如图1，过点A作AN∥BC交CH的延长线于点N，连接DN．
①依题意补全图形；
②用等式表示∠NDH与∠HDC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D恰为AC的中点时，E为BD上一动点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交射线CH于点F．若AB＝2，且点E在运动的过程中始终满足HE﹣HF＝2CH．请直接写出BE的取值范围 0≤BE≤ ．
【解答】解：（1）①如图所示：
②2∠CDH+∠NDH＝180°，理由如下：
如图，延长BA，CN交于点M，
∵∠BAC＝∠BHC＝90°，
∴点A，点B，点C，点H四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACM，
又∵∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AM＝AD，
∵AN∥BC，
∴∠NAD＝∠ACB＝45°，
∴∠NAD＝∠NAM＝45°，
又∵AN＝AN，
∴△AND≌△ANM（SAS），
∴∠M＝∠ADN，
∵∠CDH+∠DCH＝90°＝∠M+∠DCH，
∴∠M＝∠CDH，
∴∠ADN＝∠CDH，
∴2∠CDH+∠NDH＝180°；
（2）∵AB＝AC＝2，点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝1，
∴BD＝＝＝，
∵∠ABD＝∠DCH，∠ADB＝∠CDH，
∴△ABD∽△HCD，
∴＝＝，
∴，
∴DH＝，CH＝，
如图2，当点F在点H上方时，
∵将射线AE绕点A逆时针旋转90°交射线CH于点F．
∴∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵∠ABE＝∠ACF，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∵HE﹣HF＝2CH，
∴BD+DH﹣BE﹣HF＝2×，
∴+﹣（+FH）﹣FH＝，
∴FH＝0，
∴BE＝CF＝+0＝，
当点F在点H下方时，
同理可证△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∵HE﹣HF＝2CH，
∴BD+DH﹣BE﹣HF＝2CH，
∴BD+DH﹣（CH﹣HF）﹣HF＝2CH，
∴+＝3×恒成立，
综上所述：当点F在线段CF上时，HE﹣HF＝2CH恒成立，
∴0≤BE≤，
故答案为：0≤BE≤．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
【解答】解：（1）∵k＝1，b＝1，
∴直线l的解析式为y＝x+1，
设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则A（﹣1，0），B（0，1），
∴AB＝＝，
即直线l关于⊙O的“圆截距”为；
（2）
①如图2，设直线与y正半轴交点为P，且P（0，1），
∵点M的坐标为（1，0），⊙M的半径为1，
∴圆与x轴正半轴交点为Q（2，0），
当b＝1时，直线l的解析式为y＝kx+1，
当直线经过点Q时，2k+1＝0，
解得k＝﹣；
过点M作MF⊥PQ，垂足为F，
∵OP＝1，OQ＝2，
∴PQ＝，
∴sin∠PQO＝，
∵MQ＝1，sin∠PQO＝，
∴MF＝，QF＝，
设直线PQ与圆M的另一个交点为C，
则QC＝2QF＝，
∵关于⊙M的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是﹣＜k＜0；
设直线PM与圆的交点为N，
∵点P（0，1），点M的坐标为（1，0），
∴OP＝OM，
∴∠PMO＝45°，
∴∠QMN＝45°，
根据圆的对称性，直线PQ和直线PD关于直线PN对称，此时ED＝CB，
∴∠DMN＝45°，
∴∠DMQ＝90°，
∴D的坐标为（1，﹣1），
∴k+1＝﹣1，
解得k＝﹣2，
∴直线PD的解析式为y＝﹣2x+1，
关于⊙M的“圆截距”小于，
k的取值范围是k＜﹣2；
综上，k的取值范围是k＜﹣2或﹣＜k＜0．
②当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，
设直线与y轴交点为Q（0，m），则过Q点的“圆截距”的最小值2，
如图，即RT＝2，MQ⊥RT，
由题知，△RMT为等边三角形，
∴∠MRQ＝60°，
∴QM＝2×sin60°＝，
由勾股定理得，OQ＝＝，
根据图形的对称性可知，b的值为．年级
平均数
中位数
七年级
81
a
八年级
82
81
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
年级
平均数
中位数
七年级
81
a
八年级
82
81
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5