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2023-2024学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. x6÷x3=x2B. a3⋅a2=a5C. (2x)3=6x3D. 5a3−4a2=a2
2.澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有0.00000015米，甚至比已知的最小细菌还要小，将0.00000015用科学记数法表示为( )
A. 0.15×10−6B. 1.5×10−7C. 1.5×10−8D. 15×10−9
3.下列作图能表示点A到BC的距离的是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算结果正确的是( )
A. (x+y)2=x2+y2B. (x−y)2=x2−2xy−y2
C. (x+2y)(x−2y)=x2−2y2D. (3x+y)2=9x2+6xy+y2
5.已知2m=3，2n=4，则23m−2n的值为( )
A. 278B. 2716C. 98D. 1
6.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)：
下列说法错误的是( )
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 温度越高，声速越快
C. 当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D. 当温度每升高10℃，声速增加8m/s
7.小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是( )
A. B.
C. D.
8.下列说法正确的个数是( )
①两直线平行，同旁内角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等；
④平行于同一条直线的两条直线平行．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，AB//CD//EF，则下列各式中正确的是( )
A. ∠1=180°−∠3
B. ∠1=∠3−∠2
C. ∠2+∠3=180°−∠1
D. ∠2+∠3=180°+∠1
10.如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b=9，ab=12，则阴影部分的面积为( )
A. 21.5
B. 22.5
C. 23.5
D. 24
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−5a)⋅(−2a3b)= ______．
12.若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是______．
13.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为______度.
14.甲、乙两人赛跑，路程s(m)与时间t(s)之间的关系如图所示，则下列说法正确的是______.(填序号)
(1)两人赛跑的路程是100m
(2)甲先到达终点
(3)甲跑的平均速度比乙跑的平均速度快0.5m/s
(4)乙跑的平均速度是8m/s
15.图①是一个长为a，宽为b的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形ABCD的面积为S1，大正方形EFGH的面积为S2，小长方形的面积为S3.若S1=34S3，且S1+S2=22，则S1= ______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1)(−3)2+(12)−1+(π−3)0；
(2)(−3a4)2−a⋅a3⋅a4−a10÷a2；
(3)20232−2022×2024．
17.(本小题5分)
先化简，后求值：[(2a−b)2−(b+2a)(b−2a)]÷(4a)，其中a=−12,b=2．
18.(本小题7分)
填空：(请补全下列证明过程及括号内的推理依据)
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3(______)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
∴BD//CE(______).
∴∠D=∠______(______).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠______(等量代换)．
∴______//______(______).
∴∠A=∠F(______).
19.(本小题6分)
如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD=22°，求∠AOE和∠COF的度数．
20.(本小题8分)
小明晚饭后外出散步，碰见同学，交谈一会，返回途中在读报栏看了一会报.如图是根据此情景画出的图象，请你回答下列问题：
(1)小明碰见同学后交谈了______分钟．
(2)读报栏离家______米.
(3)小明出发15分钟后离家______米.
(4)小明出发______分钟后离家500米．
21.(本小题7分)
从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是______；
(2)运用你从(1)写出的等式，完成下列各题：
①已知：a−b=3，a2−b2=21，求a+b的值；
②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−120232)×(1−120242)．
22.(本小题10分)
问题探究：
如图①，已知AB//CD，我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF//AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B，∠DEF=∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF//DE，则∠E=∠EBF，再证明∠ABF=∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB//CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F，请直接写出∠F的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.x6÷x3=x3，故此选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；
C.(2x)3=8x3，故此选项不合题意；
D.5a3−4a2，无法合并，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.00000015=1.5×10−7．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误；
B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确；
C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误；
D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误；
故选：B．
点A到BC的距离就是过A向BC作垂线的垂线段的长度．
此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=x2+y2+2xy，错误；
B、原式=x2−2xy+y2，错误；
C、原式=x2−4y2，错误；
D、原式=9x2+6xy+y2，正确，
故选D
原式各项利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵2m=3，2n=4，
∴23m−2n=23m÷22n=(2m)3÷(2n)2=33÷42=2716．
故选：B．
逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，
∴选项B说法正确，不符合题意；
由列表可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s，
∴选项C说法正确，不符合题意；
∵324−318=6(m/s)，330−324=6(m/s)，336−330=6(m/s)，342−336=6(m/s)，348−342=6(m/s)，
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D说法不正确，符合题意；
故选：D．
根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
本题主要考查了自变量，因变量，掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，
∴他离家的距离不变，
又∵再步行回家，
∴他离家越来越近，
回家是步行，去时是跑步，
∴回家的速度更慢，用的时间更长，
∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．
故选：B．
本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：①两直线平行，同旁内角相等；故正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故错误；
③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补；故错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行；故正确；
所以正确的个数是2个．
故选：B．
根据平行公理、平行线的性质与判定判断即可．
本题考查平行公理、平行线的性质与判定，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理．
9.【答案】D
【解析】解：因为AB//CD，
所以∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°−∠2，
因为EF//CD，
所以∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3−∠1，
所以180°−∠2=∠3−∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故选：D．
根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC=180°，∠BDC+∠1=∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，得
∵a+b=9，ab=12，
∴(a+b)2=92
∴a2+2ab+b2=81，
∴a2+b2=81−24=57，
∴阴影部分的面积为：
12a2−12b(a−b)
=12(a2−ab+b2)
=12(57−12)
=22.5．
故选：B．
根据正方形和三角形的面积的和差即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用正方形和三角形的面积计算．
11.【答案】10a4b.
【解析】解：(−5a)⋅(−2a3b)=10a4b.
故答案为：10a4b.
根据单项式与单项式的运算法则进行计算即可．
此题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．
12.【答案】±8
【解析】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16=(x±4)2，
=x2±8x+16．
∴m=±8，
故答案为：±8．
根据x2+mx+16是一个完全平方式，利用此式首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，进而求出m的值即可．
此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13.【答案】125
【解析】解：∠1与∠2互余，且∠1=35°，
则∠2=90°−35°=55°，
∠2的补角的度数为180°−55°=125°．
故填125．
本题考查互补和互余的概念，和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角．
此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；两个角互为补和为180°．
14.【答案】(1)(2)(4)
【解析】解：(1)两人赛跑的路程是100m，故(1)正确；
(2)甲先到达终点，故(2)正确；
(3)甲跑的平均速度为100÷12=253m/s，乙跑的平均速度为10012.5=8m/s，
甲跑的平均速度比乙跑的平均速度快13m/s，故(3)不正确，
(4)乙跑的平均速度是8m/s，正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
根据函数图象逐项分析判断即可求解．
本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
15.【答案】3310
【解析】解：由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，
∵S1=34S3，
∴S3=43S1，
∵S1+S2=22，
∴S2=22−S1，
∴22−S1=S1+4×43S1，
解得S1=3310．
故答案为：3310．
由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，再由S1=34S3可得S3=43S1，则S1+S2=22，可得S2=22−S1，依此得到关于S1的方程，解方程即可求解．
此题考查了列代数式、正方形和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=9+2+1
=12；
(2)原式=9a8−a8−a8
=7a8；
(3)原式=20232−(2023−1)×(2023+1)
=20232−20232+1
=1．
【解析】(1)先计算有理数的乘方、负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可；
(2)先计算幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法，再合并同类项即可；
(3)利用平方差公式计算即可．
本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法和平方差公式，熟练掌握这些运算法则是解题关键．
17.【答案】解：原式=[4a2−4ab+b2−(b2−4a2)]÷(4a)
=(4a2−4ab+b2−b2+4a2)÷(4a)
=(8a2−4ab)÷(4a)
=2a−b，
当a=−12,b=2时，原式=2×(−12)−2=−3．
【解析】先根据完全平方公式、平方差公式展开括号里的，再合并，再根据多项式除以单项式的法则计算括号外的运算，最后再把a、b的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了整式的化简求值．解题的关键是注意公式以及合并同类项法则的运用．
18.【答案】对顶角相等 同位角相等，两直线平行 4 两直线平行，同位角相等 4 DF AC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2 (已知)，
∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴BD//CE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠D=∠4 ( 两直线平行，同位角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠4(等量代换)，
∴DF//AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，由同位角相等证明BD//CE，则有∠C=∠B，又因为∠C=∠D，所以∠B=∠D，由内错角相等证明DF//AC，故可证明∠A=∠F．
此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
19.【答案】解：∵∠DOE是直角，
∴∠COE=180°−90°=90°，
又∠AOC=∠BOD=22°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=112°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=56°，
∴∠COF=∠AOF−∠AOC=56°−22°=34°．
【解析】利用图中角与角的关系即可求得．
此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
20.【答案】10 400 600 12.5或37.5
【解析】解：(1)30−20=10(分钟)，
∴小明碰见同学后交谈了10分钟．
故答案为：10．
(2)根据图象可知，读报栏离家400米．
故答案为：400．
(3)当0≤t≤20时，小明的速度为800÷20=40(米/分)，
则小明出发15分钟后离家的距离为40×15=600(米)．
故答案为：600．
(4)当0≤t≤20时，y与t的关系式为y=40x，
当40x=500时，解得x=12.5；
当30≤t≤40时，设y与t的关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(30,800)和(40,400)代入y=kx+b，
得30k+b=80040k+b=400，
解得k=−40b=2000，
∴y与t的关系式为y=−40t+2000，
当−40t+2000=500时，解得t=37.5．
综上，小明出发12.5或37.5分钟后离家500米．
故答案为：12.5或37.5
(1)(2)观察图象直接作答即可；
(3)根据“速度=路程÷时间”求出当0≤t≤20时小明的速度，再根据“路程=速度×时间”求出小明出发15分钟后离家的距离；
(4)分别根据“路程=速度×时间”和待定系数法求出0≤t≤20和30≤t≤40时的y与x的函数关系式，分别将y=500代入，求出对应x的值即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
21.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)．
【解析】解：(1))∵从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)，
∴图1剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，二者相等，从而能验证的等式为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)①∵a−b=3，a2−b2=21，a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴21=(a+b)×3，
∴a+b=7；
②原式=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)．⋯⋯(1−12023)(1+12023)(1−12024)(1+12024)
=12×32×23×43×34×54×⋯⋯x20222023×20242023×20232024×20252024
=12×20252024
=20254048．
(1)分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；
(2)①将已知条件代入(1)中所得的等式，计算即可；
②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图②中，过点E作EF//AB，
因为AB//CD，EF//AB，
所以AB//EF//CD，
所以∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G．
因为DE//FG，
所以∠EDC=∠G，∠DEB=∠EBF，
因为AB//CG，
所以∠G=∠ABF，
所以∠EDC=∠ABF，
所以∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC．
(3)如图④中，
因为AB//CD，
所以∠AEC=∠C，
因为EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
所以∠AEF=∠CEF，∠CDF=∠EDF，
设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，
因为180°−∠F−∠CEF−∠EDF=180°−∠C−∠CDE，
所以180°−∠F−x−y=180°−2x−2y，
则∠F=x+y，
因为∠CED=3∠F，
所以∠CED=3x+3y，
因为AB//CD，
所以∠BED=∠CDE=2y，
因为∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，
所以5x+5y=180°，
所以x+y=36°，
所以∠F=36°．
【解析】(1)如图②中，过点E作EF//AB，利用平行线的性质证明即可．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G.利用平行线的性质证明即可．
(3)设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，则∠F=x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，构建方程求出x+y可得结论．
本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．温度/℃
−20
−10
0
10
20
30
声速/(m/s)
318
324
330
336
342
348
1.下列运算正确的是( )
A. x6÷x3=x2B. a3⋅a2=a5C. (2x)3=6x3D. 5a3−4a2=a2
2.澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有0.00000015米，甚至比已知的最小细菌还要小，将0.00000015用科学记数法表示为( )
A. 0.15×10−6B. 1.5×10−7C. 1.5×10−8D. 15×10−9
3.下列作图能表示点A到BC的距离的是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算结果正确的是( )
A. (x+y)2=x2+y2B. (x−y)2=x2−2xy−y2
C. (x+2y)(x−2y)=x2−2y2D. (3x+y)2=9x2+6xy+y2
5.已知2m=3，2n=4，则23m−2n的值为( )
A. 278B. 2716C. 98D. 1
6.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)：
下列说法错误的是( )
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 温度越高，声速越快
C. 当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D. 当温度每升高10℃，声速增加8m/s
7.小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是( )
A. B.
C. D.
8.下列说法正确的个数是( )
①两直线平行，同旁内角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等；
④平行于同一条直线的两条直线平行．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，AB//CD//EF，则下列各式中正确的是( )
A. ∠1=180°−∠3
B. ∠1=∠3−∠2
C. ∠2+∠3=180°−∠1
D. ∠2+∠3=180°+∠1
10.如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b=9，ab=12，则阴影部分的面积为( )
A. 21.5
B. 22.5
C. 23.5
D. 24
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−5a)⋅(−2a3b)= ______．
12.若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是______．
13.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为______度.
14.甲、乙两人赛跑，路程s(m)与时间t(s)之间的关系如图所示，则下列说法正确的是______.(填序号)
(1)两人赛跑的路程是100m
(2)甲先到达终点
(3)甲跑的平均速度比乙跑的平均速度快0.5m/s
(4)乙跑的平均速度是8m/s
15.图①是一个长为a，宽为b的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形ABCD的面积为S1，大正方形EFGH的面积为S2，小长方形的面积为S3.若S1=34S3，且S1+S2=22，则S1= ______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1)(−3)2+(12)−1+(π−3)0；
(2)(−3a4)2−a⋅a3⋅a4−a10÷a2；
(3)20232−2022×2024．
17.(本小题5分)
先化简，后求值：[(2a−b)2−(b+2a)(b−2a)]÷(4a)，其中a=−12,b=2．
18.(本小题7分)
填空：(请补全下列证明过程及括号内的推理依据)
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3(______)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
∴BD//CE(______).
∴∠D=∠______(______).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠______(等量代换)．
∴______//______(______).
∴∠A=∠F(______).
19.(本小题6分)
如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD=22°，求∠AOE和∠COF的度数．
20.(本小题8分)
小明晚饭后外出散步，碰见同学，交谈一会，返回途中在读报栏看了一会报.如图是根据此情景画出的图象，请你回答下列问题：
(1)小明碰见同学后交谈了______分钟．
(2)读报栏离家______米.
(3)小明出发15分钟后离家______米.
(4)小明出发______分钟后离家500米．
21.(本小题7分)
从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是______；
(2)运用你从(1)写出的等式，完成下列各题：
①已知：a−b=3，a2−b2=21，求a+b的值；
②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−120232)×(1−120242)．
22.(本小题10分)
问题探究：
如图①，已知AB//CD，我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF//AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B，∠DEF=∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF//DE，则∠E=∠EBF，再证明∠ABF=∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB//CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F，请直接写出∠F的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.x6÷x3=x3，故此选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；
C.(2x)3=8x3，故此选项不合题意；
D.5a3−4a2，无法合并，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.00000015=1.5×10−7．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误；
B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确；
C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误；
D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误；
故选：B．
点A到BC的距离就是过A向BC作垂线的垂线段的长度．
此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=x2+y2+2xy，错误；
B、原式=x2−2xy+y2，错误；
C、原式=x2−4y2，错误；
D、原式=9x2+6xy+y2，正确，
故选D
原式各项利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵2m=3，2n=4，
∴23m−2n=23m÷22n=(2m)3÷(2n)2=33÷42=2716．
故选：B．
逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，
∴选项B说法正确，不符合题意；
由列表可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s，
∴选项C说法正确，不符合题意；
∵324−318=6(m/s)，330−324=6(m/s)，336−330=6(m/s)，342−336=6(m/s)，348−342=6(m/s)，
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D说法不正确，符合题意；
故选：D．
根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
本题主要考查了自变量，因变量，掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，
∴他离家的距离不变，
又∵再步行回家，
∴他离家越来越近，
回家是步行，去时是跑步，
∴回家的速度更慢，用的时间更长，
∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．
故选：B．
本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：①两直线平行，同旁内角相等；故正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故错误；
③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补；故错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行；故正确；
所以正确的个数是2个．
故选：B．
根据平行公理、平行线的性质与判定判断即可．
本题考查平行公理、平行线的性质与判定，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理．
9.【答案】D
【解析】解：因为AB//CD，
所以∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°−∠2，
因为EF//CD，
所以∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3−∠1，
所以180°−∠2=∠3−∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故选：D．
根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC=180°，∠BDC+∠1=∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，得
∵a+b=9，ab=12，
∴(a+b)2=92
∴a2+2ab+b2=81，
∴a2+b2=81−24=57，
∴阴影部分的面积为：
12a2−12b(a−b)
=12(a2−ab+b2)
=12(57−12)
=22.5．
故选：B．
根据正方形和三角形的面积的和差即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用正方形和三角形的面积计算．
11.【答案】10a4b.
【解析】解：(−5a)⋅(−2a3b)=10a4b.
故答案为：10a4b.
根据单项式与单项式的运算法则进行计算即可．
此题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．
12.【答案】±8
【解析】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16=(x±4)2，
=x2±8x+16．
∴m=±8，
故答案为：±8．
根据x2+mx+16是一个完全平方式，利用此式首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，进而求出m的值即可．
此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13.【答案】125
【解析】解：∠1与∠2互余，且∠1=35°，
则∠2=90°−35°=55°，
∠2的补角的度数为180°−55°=125°．
故填125．
本题考查互补和互余的概念，和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角．
此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；两个角互为补和为180°．
14.【答案】(1)(2)(4)
【解析】解：(1)两人赛跑的路程是100m，故(1)正确；
(2)甲先到达终点，故(2)正确；
(3)甲跑的平均速度为100÷12=253m/s，乙跑的平均速度为10012.5=8m/s，
甲跑的平均速度比乙跑的平均速度快13m/s，故(3)不正确，
(4)乙跑的平均速度是8m/s，正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
根据函数图象逐项分析判断即可求解．
本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
15.【答案】3310
【解析】解：由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，
∵S1=34S3，
∴S3=43S1，
∵S1+S2=22，
∴S2=22−S1，
∴22−S1=S1+4×43S1，
解得S1=3310．
故答案为：3310．
由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，再由S1=34S3可得S3=43S1，则S1+S2=22，可得S2=22−S1，依此得到关于S1的方程，解方程即可求解．
此题考查了列代数式、正方形和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=9+2+1
=12；
(2)原式=9a8−a8−a8
=7a8；
(3)原式=20232−(2023−1)×(2023+1)
=20232−20232+1
=1．
【解析】(1)先计算有理数的乘方、负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可；
(2)先计算幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法，再合并同类项即可；
(3)利用平方差公式计算即可．
本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法和平方差公式，熟练掌握这些运算法则是解题关键．
17.【答案】解：原式=[4a2−4ab+b2−(b2−4a2)]÷(4a)
=(4a2−4ab+b2−b2+4a2)÷(4a)
=(8a2−4ab)÷(4a)
=2a−b，
当a=−12,b=2时，原式=2×(−12)−2=−3．
【解析】先根据完全平方公式、平方差公式展开括号里的，再合并，再根据多项式除以单项式的法则计算括号外的运算，最后再把a、b的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了整式的化简求值．解题的关键是注意公式以及合并同类项法则的运用．
18.【答案】对顶角相等 同位角相等，两直线平行 4 两直线平行，同位角相等 4 DF AC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2 (已知)，
∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴BD//CE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠D=∠4 ( 两直线平行，同位角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠4(等量代换)，
∴DF//AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，由同位角相等证明BD//CE，则有∠C=∠B，又因为∠C=∠D，所以∠B=∠D，由内错角相等证明DF//AC，故可证明∠A=∠F．
此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
19.【答案】解：∵∠DOE是直角，
∴∠COE=180°−90°=90°，
又∠AOC=∠BOD=22°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=112°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=56°，
∴∠COF=∠AOF−∠AOC=56°−22°=34°．
【解析】利用图中角与角的关系即可求得．
此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
20.【答案】10 400 600 12.5或37.5
【解析】解：(1)30−20=10(分钟)，
∴小明碰见同学后交谈了10分钟．
故答案为：10．
(2)根据图象可知，读报栏离家400米．
故答案为：400．
(3)当0≤t≤20时，小明的速度为800÷20=40(米/分)，
则小明出发15分钟后离家的距离为40×15=600(米)．
故答案为：600．
(4)当0≤t≤20时，y与t的关系式为y=40x，
当40x=500时，解得x=12.5；
当30≤t≤40时，设y与t的关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(30,800)和(40,400)代入y=kx+b，
得30k+b=80040k+b=400，
解得k=−40b=2000，
∴y与t的关系式为y=−40t+2000，
当−40t+2000=500时，解得t=37.5．
综上，小明出发12.5或37.5分钟后离家500米．
故答案为：12.5或37.5
(1)(2)观察图象直接作答即可；
(3)根据“速度=路程÷时间”求出当0≤t≤20时小明的速度，再根据“路程=速度×时间”求出小明出发15分钟后离家的距离；
(4)分别根据“路程=速度×时间”和待定系数法求出0≤t≤20和30≤t≤40时的y与x的函数关系式，分别将y=500代入，求出对应x的值即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
21.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)．
【解析】解：(1))∵从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)，
∴图1剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，二者相等，从而能验证的等式为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)①∵a−b=3，a2−b2=21，a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴21=(a+b)×3，
∴a+b=7；
②原式=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)．⋯⋯(1−12023)(1+12023)(1−12024)(1+12024)
=12×32×23×43×34×54×⋯⋯x20222023×20242023×20232024×20252024
=12×20252024
=20254048．
(1)分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；
(2)①将已知条件代入(1)中所得的等式，计算即可；
②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图②中，过点E作EF//AB，
因为AB//CD，EF//AB，
所以AB//EF//CD，
所以∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G．
因为DE//FG，
所以∠EDC=∠G，∠DEB=∠EBF，
因为AB//CG，
所以∠G=∠ABF，
所以∠EDC=∠ABF，
所以∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC．
(3)如图④中，
因为AB//CD，
所以∠AEC=∠C，
因为EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
所以∠AEF=∠CEF，∠CDF=∠EDF，
设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，
因为180°−∠F−∠CEF−∠EDF=180°−∠C−∠CDE，
所以180°−∠F−x−y=180°−2x−2y，
则∠F=x+y，
因为∠CED=3∠F，
所以∠CED=3x+3y，
因为AB//CD，
所以∠BED=∠CDE=2y，
因为∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，
所以5x+5y=180°，
所以x+y=36°，
所以∠F=36°．
【解析】(1)如图②中，过点E作EF//AB，利用平行线的性质证明即可．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G.利用平行线的性质证明即可．
(3)设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，则∠F=x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，构建方程求出x+y可得结论．
本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．温度/℃
−20
−10
0
10
20
30
声速/(m/s)
318
324
330
336
342
348
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