2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布，共3页。试卷主要包含了正态曲线，正态曲线的性质等内容，欢迎下载使用。

知识点一 正态曲线及其性质
1．正态曲线：函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 X～N(μ，σ2) .
2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴 上方 ，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中 ；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散 .
知识点二 正态分布
1．正态分布的定义及表示．
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7 ；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5 ；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3 .
σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
归 纳 拓 展
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X(4)P(a注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )
(4)若X～N(0,1)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)))题组二 走进教材
2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165[解析] P(165题组三 走向高考
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝ 0.14 .
[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(24．(2015·湖北)设X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析] 由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B错误；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误．
5．(2021·全国新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( D )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.