因式分解专项训练（50题）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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因式分解专项训练（50题） 一、计算题 1．分解因式 （1）(a−b)(x−y)−(b−a)(x+y) （2）4+12（x-y）+9（x-y） 2 （3）6xy2−9x2y−y3 （4）(2a−b)2+8ab 【答案】（1）解： (a−b)(x−y)−(b−a)(x+y) = (a−b)(x−y)+(a−b)(x+y) = (a−b)(x−y+x+y) = 2x(a−b) （2）解：4+12（x-y）+9（x-y） 2 =22+2×2×3（x-y）+[3（x-y）] 2 =[2+3（x-y）]2 = (2+3x−3y)2 （3）解： 6xy2−9x2y−y3 = −y(y2−6xy+9x2) = −y(3x−y)2 （4）解： (2a−b)2+8ab = 4a2−4ab+b2+8ab = 4a2+4ab+b2 = (2a+b)2 【解析】【分析】利用提公因式法，完全平方公式分解因式即可。 2．分解因式： （1）5x2－10xy＋5y2； （2）4(a−b)2−(a+b)2 【答案】（1）解：原式＝ 5(x2−2xy+y2)=5(x−y)2 （2）解：原式＝ [2(a−b)−(a+b)]⋅[2(a−b)+(a+b)] ＝ (a−3b)⋅(3a−b) ． 【解析】【分析】（1）提取公因式5，再利用完全平方公式因式分解即可；（2）利用平方差公式因式分解即可。 3．分解因式： （1）−x3+6x2−9x ； （2）(2a+b)2−(a+2b)2 【答案】（1）解： −x3+6x2−9x =−x(x2−6x+9) =−x(x−3)2 ； （2）解： (2a+b)2−(a+2b)2 =(2a+b+a+2b)(2a+b−a−2b) =3(a+b)(a−b) ． 【解析】【分析】（1）先提取公因式-x，再利用完全平方公式因式分解即可；（2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项，并提取公因式即可。 4．分解因式： （1）ab3﹣abc. （2）（a+b）2﹣12（a+b）+36. （3）（p﹣4）（p+1）+3p. （4）4xy2﹣4x2y﹣y3. 【答案】（1）原式＝ab（b2﹣c）； （2）原式＝（a+b﹣6）2； （3）原式＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）； （4）原式＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2. 【解析】【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可；（3）原式整理后，利用平方差公式分解即可；（4）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可. 5．因式分解： （1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x） （2）3ax2﹣12ay2 （3）（x+y）2+4（x+y+1） 【答案】（1）解：原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b） （2）解：原式=3a（x2﹣4y2）=3a（x+2y）（x﹣2y） （3）解：原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2 【解析】【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式整理后，利用完全平方公式分解即可． 6．因式分解：（1）﹣4a3b2+10a2b﹣2ab；（2）6（x+y）2﹣2（x+y）；（3）﹣7ax2+14axy﹣7ay2；（4）25（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（5）（x2+y2）2﹣4x2y2；（6）a2+2ab+b2﹣1． 【答案】解：（1）﹣4a3b2+10a2b﹣2ab=﹣2ab（2a2b﹣5a+1）；（2）6（x+y）2﹣2（x+y），=2（x+y）[3（x+y）﹣1]，=2（x+y）（3x+3y﹣1）；（3）﹣7ax2+14axy﹣7ay2，=﹣7a（x2﹣2xy+y2），=﹣7a（x﹣y）2；（4）25（a﹣b）2﹣16（a+b）2，=[5（a﹣b）﹣4（a+b）][5（a﹣b）+4（a﹣b）]，=（9a﹣b）（a﹣9b）；（5）（x2+y2）2﹣4x2y2，=[（x2+y2）﹣2xy][（x2+y2）+2xy]，=（x+y）2（x﹣y）2；（6）a2+2ab+b2﹣1，=（a+b）2﹣1，=（a+b+1）（a+b﹣1）． 【解析】【解答】（1）提取公因式﹣2ab即可；（2）提取公因式2（x﹣y），然后整理即可；（3）先提取公因式﹣7a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）利用平方差公式分解因式即可；（5）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式；（6）先对前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式．【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 7． 把下列各式因式分解 ①9(m+n)2−(m−n)2 ②a3b+2a2b2+ab3 【答案】（1）解：①9(m+n)2−(m−n)2 =[3(m+n)+(m−n)][3(m+n)−(m−n)] =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) ②a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2 【解析】【分析】①利用平方差公式因式分解即可；②先提取公因式ab，再利用完全平方公式因式分解即可； 8．因式分解 （1）(136a−13)a+1 （2）16a2(x−y)+9b2(y−x) 【答案】（1）解：(136a−13)a+1=136a2−13a+1=136(a2−12a+36)=136(a−6)2 （2）解：16a2(x−y)+9b2(y−x)=(x−y)(16a2−9b2)=(x−y)(4a+3b)(4a−3b) 【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。 9．分解因式：（x-1）2+2（x-5）. 【答案】解：原式=x2-2x+1+2x-10 =x2-9 =（x+3）（x-3） 【解析】【分析】将多项式按完全平方公式及单项式乘以多项式的方法分别去括号，再合并同类项化为最简形式，然后利用平方差公式分解因式即可。 10．因式分解： （1）5x2+10x+5 （2）(a2+1)2−4a2． 【答案】（1）解：原式=5(x2+2x+1) =5(x+1)2； （2）解：原式=(a2+1+2a)(a2+1−2a) =(a+1)2(a−1)2 【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可。 11．分解因式： −2a3+12a2−18a 【答案】解：原式 =−2a(a2−6a+9) =−2a(a−3)2 ． 【解析】【分析】先提公因式，再利用完全平方公式计算求解即可。 12．将下列各式因式分解 （1）-4b2-2ab （2）（a+b）2-a-b+ 14 【答案】（1）解：-4b2-2ab =-2b（2b+a）； （2）解：（a+b）2-a-b+ 14 =（a+b）2-（a+b）+ 14 =（a+b- 12 ）2. 【解析】【分析】（1）提取公因式-2b即可；（2）利用分组分解因式求解即可。 13．分解因式： （1）2a2−8 （2）2ax2−4ax+2a 【答案】（1）解：原式＝2(a2−4)=2(a+2)(a−2) （2）解：原式＝2a(x2−2x+1)=2a(x−1)2 【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可. 14．分解因式：x24+xy+y2 【答案】解：x24+xy+y2 =(x2)2+xy+y2 =(x2+y)2 【解析】【分析】原式可变形为(x2)2+xy+y2，然后利用完全平方公式进行分解. 15．分解因式： （1）4x2-12x+9 （2）x2（3y-6）+x（6-3y） 【答案】（1）解：原式 =(2x)2−2⋅2x⋅3+32 =(2x−3)2 ； （2）解：原式 =3x2(y−2)−3x(y−2) =3x(y−2)(x−1) . 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；（2）利用提公因式法逐步分解即可. 16．x3−10x2+25x 【答案】解：原式= x(x2−10x+25) = x(x−5)2 【解析】【分析】先提公因式x，再利用完全平方公式分解即可. 17．将下列各式因式分解． （1）x3y2-xy4； （2）m2n-mn2+ 14 n3 【答案】（1）原式=xy2(x2-y2) =xy2(x+y)(x-y)- （2）原式=n（m2-mn+ 14 n2） =n(m- 12 n)2 【解析】【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式求解即可。（2）利用完全平方公式求解即可。 18．把下列各式分解因式. （1）3x4−12x2 ； （2）(x2+4y2)2−16x2y2 . 【答案】（1）解：原式 =3x2(x2−4)=3x2(x+2)(x−2) （2）解：原式 =(x2+4y2+4xy)(x2+4y2−4xy) =(x+2y)2(x−2y)2. 【解析】【分析】（1）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解因式，即可求解； （2）先利用平方差公式分解多项式，再利用完全平方公式进行分解，即可求解. 19．分解因式：2x3+12x2y+18xy2. 【答案】解：2x3+12x2y+18xy2=2x(x2+6xy+9y2)=2x(x+3y)2. 【解析】【分析】首先提取公因式2x，然后根据完全平方和公式即可得到结果. 20．因式分解： （1）x（x-a）+y（a-x）； （2）x2﹣6x+5； （3）a4－16； （4）2a2b－4ab2＋2b3. 【答案】（1）解：原式 =x(x−a)−y(x−a)=(x−a)(x−y) ， （2）解：原式 =(x−1)(x−5) （3）解：原式 =(a2)2−42=(a2+4)(a2−4)=(a2+4)(a+2)(a−2) （4）解：原式 =2b(a2−2ab+b2)=2b(a−b)2 【解析】【分析】（1）利用提公因式的方法进行分解，（2）利用十字乘法进行分解，（3）利用平方差公式进行分解，要分解彻底，（4）先提公因式，再利用完全平方公式. 21．因式分解 （1）x2-y2 （2）ax2+4ax+4a 【答案】（1）解：x2-y2 =（x＋y）（x－y） （2）解：ax2+4ax+4a = a（x2+4x+4） = a（x+2）2 【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可. 22．分解因式： （1）x2−2x+1 ； （2）4x2−64 . 【答案】（1）解： x2−2x+1=(x−1)2 . （2）解： 4x2−64=4(x2−16)=4(x+4)(x−4) 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；（2）首先提取公因式4，然后利用平方差公式分解即可. 23．因式分解： （1）（m+n）2﹣4n2 （2）x3﹣6x2+9x 【答案】（1）解： (m+n)2−4n2 = (m+n)2−(2n)2 = (m+n−2n)(m+n+2n) = (m−n)(m+3n) （2）解： x3−6x2+9x = x(x2−2⋅3x+32) = x(x−3)2 【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解（2）利用提公因式以及完全平方式进行因式分解 24．分解因式： （1）12x2﹣3y2 （2）3ax2﹣6axy+3ay2． 【答案】解：（1）12x2﹣3y2 =3（4x2﹣y2） =3（2x﹣y）（2x+y）； （2）3ax2﹣6axy+3ay2 =3a（x2﹣2xy+y2） =3a（x﹣y）2． 【解析】【分析】（1）首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 25．分解因式： （1）a3b−ab ； （2）(m+n)2−4m(m+n)+4m2 【答案】（1）解： a3b−ab=ab(a−1)(a+1) （2）解： (m+n)2−4m(m+n)+4m2 =(m+n)2−2⋅2m(m+n)+(2m)2=(m+n−2m)2=(n−m)2 【解析】【分析】（1）首先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.（2）直接用完全平方差进行因式分解. 26．把下列多项式分解因式： （1）m4−1； （2）3a(a−1)2−18a(a−1)+27a． 【答案】（1）解：m4−1=(m2+1)(m2−1) =(m2+1)(m+1)(m−1) ； （2）解：3a(a−1)2−18a(a−1)+27a =3a[(a−1)2−6(a−1)+9] =3a(a−1−3)2 =3a(a−4)2． 【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式分解即可；（2）首先提取公因式3a，然后利用完全平方公式分解即可. 27．在实数范围内因式分解：2x2﹣8x+5． 【答案】解： 2x2﹣8x+5 =2(x2−4x+4)−3 =2(x−2)2−3 =(2x−22)2−(3)2 =(2x−22+3)(2x−22−3) ． 【解析】【分析】利用公式法及平方差公式进行分解因式即可。 28．分解因式：（x+1）（x﹣4）+3x． 【答案】解：原式＝x2﹣3x﹣4+3x ＝x2﹣4 ＝（x+2）（x﹣2）． 【解析】【分析】先将原式去括号、合并同类项化为最简形式，再利用平方差公式分解可得． 29．因式分解： （1）4a2+4a+1； （2）4x2−16． 【答案】（1）解：4a2+4a+1=(2a)2+2×2a+1=(2a+1)2 （2）解：4x2−16=4(x2−22)=4(x+2)(x−2)． 【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可；（2）先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解即可. 30．因式分解： （1）3a x2 + 6axy + 3ay2； （2）(3m−n)2−3m+n 【答案】（1）解：原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2； （2）解：原式=（3m-n）2-（3m-n）=（3m-n）（3m-n-1）. 【解析】【分析】（1）提公因式3a，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；（2）提公因式3m-n，即可得出答案. 31．将下列各式因式分解： （1）x2y−4y （2）a2−2ab+b2−1 【答案】（1）解： x2y−4y=y(x2−4)=y(x+2)(x−2) （2）解： a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1=(a−b+1)(a−b−1) 【解析】【分析】（1）先提取公因式呀，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用分组分解因式即可。 32．因式分解： （1）25x2−16y2 ； （2）a2b−4ab2+4b3 【答案】（1）解： 25x2−16y2 =(5x+4y)(5x−4y) （2）解： a2b−4ab2+4b3 =b(a2−4ab+4b2) =b(a−2b)2 【解析】【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可. 33．分解因式：9x2−(x−2y)2 【答案】解： 9x2-（x-2y）2， =（3x+x-2y）（3x-x+2y）， =4（2x-y）（x+y）． 【解析】【分析】先用平方差公式因式分解，再整理合并同类项. 34． （1）计算： (x+1)2−x(x−1) （2）因式分解： a3−4ab2 . 【答案】（1）解：原式 =x2+2x+1−(x2−x) =x2+2x+1−x2+x =3x+1 （2）解：原式 =a(a2−4b2) =a(a+2b)(a−2b) 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式的运算法则计算即可.（2）先提公因式，再用平方差公式即可. 35．因式分解 （1）a4x2−4a2x2y+4x2y2 （2）（x－1）（x－3）－8 【答案】（1）解：a4x2−4a2x2y+4x2y2 =x2（a4-4a2y+4y2） =x2（a2-2y）2 （2）解：（x－1）（x－3）－8 =x2-4x+3-8 =x2-4x-5 =（x-5）（x+1）． 【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）先去括号整理，再利用十字相乘法进行分解即可. 36． 计算： （1）999×1001 （2）2015+20152﹣2015×2016 （3）[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b． 【答案】（1）解：999×1001 =（1000﹣1）（1000+1） =1000000﹣1 =999999 （2）解：2015+20152﹣2015×2016 =2015×（1+2015﹣2106） =0 （3）解：[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b =（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab）÷4b =（﹣2b2+4ab）÷4b =a﹣ b2 【解析】【分析】根据平方差公式和提取公因式的方法分解因数，计算出数值；根据完全平方公式和合并同类项化简出代数式. 37．将下列各式因式分解： （1）m3n－9mn （2）a3＋a－2a2 【答案】（1）解：原式= mn(m2−9)=mn(m−3)(m+3) （2）解：原式= a(a2−2a+1)=a(a−1)2 【解析】【分析】（1）原式先提取公因式，再运用平方差公式分解；（2）原式先提取公因式，再运用完全平方公式分解． 38．分解因式：(x+2)(x-6)+16 【答案】解：原式=x2-6x+2x-12+16 =x2-4x+4 =(x-2)2 【解析】【分析】将式子去括号，根据完全平方公式，利用公式法进行因式分解即可。 39．分解因式： （1）4x2−9 ； （2）4ab2−4a2b−b3 ． 【答案】（1）解：4x2-9， =（2x）2-32， =（2x+3）（2x-3）； （2）解： 4ab2−4a2b−b3 ， =-b（4a2-4ab+b2）， =-b（2a-b）2． 【解析】【分析】（1）利用公式法进行因式分解即可；（2）利用提公因式法和公式法因式分解。 40．因式分解： ①3a2﹣27； ②（x﹣3）（x﹣5）+1． 【答案】解：①原式=3（a2﹣9）=3（a+3）（a﹣3）； ②原式=x2﹣5x﹣3x+15+1=x2﹣8x+16=（x﹣4）2 【解析】【分析】①原式提取3，再利用平方差公式分解即可； ②原式整理后，利用完全平方公式分解即可． 41． 分解因式： （1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y） （2）﹣a4+16 （3）a2b﹣2ab+b （4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y． 【答案】（1）解：原式=2a（y﹣z）+3b（y﹣z）=（y﹣z）（2a+3b） （2）解：原式=（4﹣a2）（4+a2）=（2﹣a）（2+a）（4+a2） （3）解：原式=b（a2﹣2a+1）=b（a﹣1）2 （4）解：原式=3（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）=3（x﹣2y）（x﹣2y﹣1） 【解析】【分析】把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；运用提取公因式法和平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解即可. 42．因式分解： （1）20a﹣15ab （2）x2﹣12x+36 （3）﹣a2+1 （4）2a（b﹣c）2﹣3b+3c． 【答案】（1）解：20a﹣15ab=5a（4﹣3b） （2）解：x2﹣12x+36=（x﹣6）2 （3）解：﹣a2+1=（1﹣a）（1+a） （4）解：2a（b﹣c）2﹣3b+3c =2a（b﹣c）2﹣3（b﹣c） =（b﹣c）[2a（b﹣c）﹣3] =（b﹣c）（2ac﹣2ac﹣3） 【解析】【分析】（1）直接提取公因式4a，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（b﹣c）进而分解因式即可． 43．分解因式 （1）x2−9 （2）−4ab2+4a2b+b3 【答案】（1）解：x2-9， =x 2-32， =（x+3）（x-3）； （2）解： −4ab2+4a2b+b3 ， =b（4a2-4ab+b2）， =b（2a-b）2. 【解析】【分析】（1）运用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式b，再运用完全平方公式进行分解即可. 44．因式分解：3m2n+18mn+27n. 【答案】解：原式＝3n（m2+6m+9） ＝3n（m+3）2. 【解析】【分析】先提取公因式3n，再运用完全平方公式进行因式分解即可求解. 45．分解因式： ①3ax2+6axy+3ay2 ②a2(x−y)+9b2(y−x) ③(x2−5)2+8(x2−5)+16 【答案】解：①原式= 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 ； ②原式= a2(x−y)−9b2(x−y)=(x−y)(a2−9b2)=(x−y)(a+3b)(a−3b) ； ③原式 =(x2−5+4)2=(x2−1)2=(x+1)2(x−1)2 . 【解析】【分析】①先提公因式3a,再运用完全平方公式分解；②先变形，然后提出公因式（x-y）,再运用平方差公式分解；③先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解即可. 46．利用简便方法计算. （1）9992+999 ； （2）7.6×201.8+4.3×201.8−1.9×201.8 ； 【答案】（1）解：原式 =999×(999+1) =999×1000 =999000 （2）解：原式 =201.8×(7.6+4.3−1.9) =2018 【解析】【分析】(1)提取公因数999，然后先进行括号内的加法运算，再进行有理数的乘法运算，化繁为简，很容易得出结果； (2)因为每一项都有因数201.8，先提取公因数，然后先进行括号内的加法运算，再进行有理数的乘法运算，化繁为简，很容易得出结果. 47．分解因式. （1）x3−x ； （2）2a2−4a+2 ； （3）5x3−10x2+5x ； （4）x2(x−2)−16(x−2) . 【答案】（1）解：原式 =x(x2−1)=x(x+1)(x−1) （2）解：原式 =2(a2−2a+1)=2(a−1)2 （3）解：原式 =5x(x−1)2 （4）解：原式 =(x−2)(x−4)(x+4) 【解析】【分析】(1)先提取公因式a，再利用平方差公式继续分解因式即可；(2)先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解因式即可； (3)先提取公因式5x，再利用完全平方公式继续分解因式即可；(4)先提取公因式(x-2)，再利用平方差公式继续分解因式即可。 48．因式分解： （1）4x2−y2 （2）9a3-6a2b+ab2 【答案】（1）解：原式=（2x+y）（2x-y） （2）解：9a3-6a2b+ab2=a（9a2-6ab+b2）=a(3a-b)2. 【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：含有两项，这两项的符号相反，都能化成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.（2）观察此多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式. 49．因式分解． （1）a2−2ab+b2 （2）8−2x2 （3）4a2(x−y)+b2(y−x) 【答案】（1）解： a2−2ab+b2 =(a−b)2 （2）解： 8−2x2 =2(4−x2) =2(2+x)(2−x) （3）解： 4a2(x−y)+b2(y−x) =(x−y)(4a2−b2) =(x−y)[(2a)2−b2] =(x−y)(2a+b)(2a−b) 【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法计算求解即可。 50．因式分解： （1）x2−9y2 （2）−3x3+6x2y−3xy2 【答案】（1）解：原式=（x+3y）（x－3y） （2）解：原式=－3x（x2－2xy+y2） =－3x（x－y）2 【解析】【分析】（1）多项式符合平方差公式的特征，可用平方差公式分解。x2− 9y2=x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；（2）多项式的每一项都含有公因式-3x，所以先提公因式，括号内的多项式符合完全平方公式的特征，再用完全平方公式分解即可。即原式=-3x(x2-2xy+y2=-3xx−y2。