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2024年山东省菏泽市郓亭区黄泥冈初级中学中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年山东省菏泽市郓亭区黄泥冈初级中学中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知实数a，则下列各式中一定大于0的是( )
A. a+3B. 10aC. −aD. a2+1
2.−10的倒数的相反数为( )
A. 10B. −110C. 110D. −10
3.若二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8经过原点，则m的值为( )
A. −2B. 4C. −2或4D. 无法确定
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知直线AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
A. r>3B. r>2.4C. r<4D. r≥2.4
6.已知函数y1、y2均是以x为自变量的函数，若当x=m时函数y1、y2的函数值分别为M1、M2，若存在实数m使得M1−M2=0，则称函数y1、y2具有性质P，则以下函数y1、y2不具有性质P的是( )
A. y1=x2−4和y2=−8x−13B. y1=x2−4x和y2=−8x−13
C. y1=x2−4x和y2=−x2−2D. y1=x2−4和y2=8x+13
7.某超市随机选取1000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图统计表，其中“√”表示购买.“×”表示未购买.假定每位顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的是( )
A. 乙B. 丙C. 丁D. 无法确定
8.如图，线段AB、CD是⊙O内两条平行弦，若∠A=23°，∠B=34°，则∠ODB的度数为( )
A. 9°
B. 11°
C. 13°
D. 15°
9.如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为( )
A. 8
B. 8.5
C. 9
D. 9.5
10.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息.已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是( )
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：sin60°=______．
12.已知四边形ABCD，AB=2，BC=3，CD=4，AD=d，则d的取值范围为______．
13.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°(m>n)，定义mn为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形．
14.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程bx2−2x+k=0的根的个数为______．
15.已知a为整数，将其除以4所得的商记为n，余数记为k(k≤3)，即a=4n+k(n是整数)，我们称a属于数组[k]，记作a∈[k]，则下列说法正确的是______.(直接填写序号)
①−3∈[3]；
②若a为4的倍数，则点A(n,a)到点B(17,0)的距离的最小值为4 17；
③所有整数组成的数组[n]=[1]+[2]+[3]；
④若a−b∈[0]，则a，b属于同一个数组．
16.如图，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，则线段AT长度的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知M=1x−3，N=1x+1，记P=M⋅N．
(1)若选择一个你喜欢的整数作为x的值，求P的值．
(2)求P的最大值．
18.(本小题6分)
已知：点P是⊙O外一点．
(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下，若点D在⊙O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF=30°，求∠EDF的度数．
19.(本小题8分)
为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次共抽取了______名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．
21.(本小题10分)
探究任务：函数y=x+1x的图象与性质．
任务1：描点连线画出图象
根据图像，回答问题
(1)该函数自变量的取值范围是______．
(2)写出该函数图象的两条性质______．
任务2：由特殊走向一般
(3)根据函数的最值，可以发现，当x>0时，x+1x与 x⋅1x之间有什么关系？(直接写出结果)进一步地，对于任意正实数a、b，都有a+b ______2 ab．
任务三：解决实际问题
(4)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比：若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
22.(本小题10分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=12，BC=4，求⊙O的半径．
23.(本小题12分)
包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
(1)一本字典长为a cm，宽为b cm，高为c cm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm.使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm，宽16cm，厚为6cm的字典.试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在(2)的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．
24.(本小题12分)
琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究．
【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O.如图1，同学们将该工具放入正方形ABCD中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．
(1)若点O在边长为1的正方形ABCD的中心，直接写出OE+OH+OG+OF的最大值和最小值．
(2)试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形ABCD中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H.若AB=m，BC=n，则EGFH= ______.(直接写出答案)
【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形ABCD中，使其经过C、B两点，并与AB边交于点E，与AD边交于点F.已知∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC.求CEBF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.∵当a=−3时，a+3=0，∴不正确；
B.∵当a=0时，10a=0，∴不正确；
C.∵当a≥0时，−a≤0，∴不正确；
D.∵a2≥0，∴a2+1>0，∴正确；
故选：D．
对于选项A，B，C可以举反倒，由于a2≥0可得a2+1>0，从而可判断D
本题主要考查数的大小，掌握于a2≥0可得a2+1>0是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：−10的倒数为−110，−110的相反数为110，
∴−10的倒数的相反数为110，
故选：C．
根据倒数的定义以及相反数的定义进行解题即可．
本题主要考查相反数、倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵二次函数的解析式为：y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8，
∴m+2≠0，
∴m≠−2，
∵二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，
∴m2−2m−8=0，
∴m=4或−2，
∵m≠−2，
∴m=4．
故选：B．
由题意二次函数的解析式为：y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8知m+2≠0，则m≠−2，再根据二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，把(0,0)代入二次函数，解出m的值．
此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDC，
∴BF=FD，DE=EC，
∴▱AFDE的周长=AB+AC=5+5=10．
故选：B．
由于DE//AB，DF//AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
5.【答案】B
【解析】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=2.4，即圆心C到AB的距离d=2.4，
∴以C为圆心的⊙C与直线AB有交点，则r的取值范围是：r>2.4．
故选：B．
作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，可得以C为圆心，r=2.4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，即可得直线AB和⊙C有交点，r的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.令y1−y2=0，则x2−4+8x+13=0，整理得，x2+8x+9=0，方程有解，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
B.令y1−y2=0，则x2−4x+8x+13=0，整理得，x2+4x+13=0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，符合题意；
C.令y1−y2=0，则x2−4x+x2+2=0，整理得，2x2−4x+2=0，方程的解为x1=x2=1，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
D.令y1−y2=0，则x2−4−8x−13=0，整理得，x2−8x−17=0，Δ=64+68=132>0，方程有解，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
故选：B．
依据题意，由题干信息可知，直接令y1−y2=0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．
7.【答案】B
【解析】解：在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，
同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，
同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大，
故选：B．
在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】B
【解析】解：如图：连接AD，
∵AD=AD，
∴∠AOD=2×∠B=68°，
∵AO=DO，
∴∠1=∠2=12×(180°−68°)=56°，
∵AB//CD，
∴∠CDA+∠BAD=180°，∠CDB=∠B=34°，
即(34°+∠ODB+56°)+(56°+23°)=180°，
∴∠ODB=11°，
故选：B．
先根据AD=AD，得出∠AOD=2×∠B=68°，因为半径相等，所以∠1=∠2，结合两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答．
本题考查了圆周角定理以及等边对等角，平行线的性质，掌握圆周角定理是关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD=DB，根据三角形中位线定理得到DE=12PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接PB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=DB=12BC=12，
∵点E为PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE=12PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD=12，AD=5，
∴AB= 122+52=13，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：由函数图象，得：甲的速度为12÷3=4(米/秒)，乙的速度为400÷80=5(米/秒)，
故①正确；
设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：
5x=12+4x，
解得：x=12，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5=60(米)，
故②错误；
当甲、乙两人之间的距离超过32米时，
(5−4)x−12>324(x+3)<400−32,
可得44故③正确；
∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，
∴此时甲行走的时间为83秒，
∴甲走的路程为：83×4=332(米)，
∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400−332=68(米)，
故④正确；
结论正确的个数为3．
故选：B．
通过函数图象可得，甲出发3秒走的路程为12米，乙到达终点所用的时间为80秒，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答．
本题主要考查了一次函数的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
11.【答案】 32
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】
解：sin60°= 32．
故答案为： 32．
12.【答案】0【解析】解：四边形ABCD，连接AC如图所示：
在△ABC中，BC−AB即1在△ACD中，|AC−CD|即|AC−4|∴0故答案为：0连接AC可得△ABC、△ACD利用三角形的三边关系与绝对值，即可求解．
本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是将四边形ABCD分割为两个三角形．
13.【答案】1
【解析】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，
∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，
∴mn=1，
∴当mn=1时，这个菱形就是正方形，
故答案为：1．
有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案．
本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，解答本题的关键要明确：有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补．
14.【答案】1或2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，
∴k<0，b≥0，
当b=0时，−2x+k=0，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当b>0时，Δ=(−2)2−4bk，由于k<0，b>0，
∴Δ>0，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
由一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，得k<0，b≥0，分类讨论，当b=0时，方程为一元一次方程，有1个根；当b>0时，方程为一元二次方程，根据Δ判断即可．
本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
15.【答案】②④
【解析】解：①根据数组定义−3=4×(−1)+1，因此−3∈[1]，所以①错误；
②∵a是4的倍数，不妨设a=4n(n是整数)，
∴A(n,a)=A(n,4n)，
∴AB= (n−17)2+(4n)2= 17(n2−2n+17)= 17[(n−1)2+16]，
当 n=1时，AB=4 17最小，所以②正确；
③∵a除以4的余数可能是0，1，2，3；
∴[n]=[0]+[1]+[2]+[3]，
所以③错误；
④不妨设a=4m+k1(m为整数)，
b=4n+k2(n为整数)，
∴a−b=4(m−n)+k1−k2，
由a−b∈[0]可知，k1−k2=0，
∴k1=k2，
∴a和b属于同一数组，
所以④正确；
故答案为：②④．
①根据数组的定义可判断；
②根据定义可知a=4n，点A在y=4x上，由两点距离公式可求出距离的最小值；
③由整数除以4的余数可能为0，1，2，3可判断；
④可根据定义分别设a，b的数组为[k1]，[k2]进行判断．
本题主要考查新定义问题，考查了学生的理解能力和推理能力，理解定义式解题的关键．
16.【答案】5.2≤AT≤10
【解析】解：设AT=x，则BT=10−x，
当S与D重合时，如下图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=10，BC=AD=26，
由折叠的性质可得A′T=AT=x，A′D=AD=26，
∠TAD=∠TA′D=90°，
∴∠BTA′+∠TA′B=∠CA′D+∠TA′B=90°，
∴∠BTA′=∠CA′D，
∴△BTA′∽△CA′D，
∴TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，
解得BA′=5x13，
∵∠B=90°，
∴BT2+(BA′)2=(AT′)2即(10−x)2+(5x13)2=x2，
解得AT=x=5.2或AT=x=130(舍去)，
当T与B重合时，如下图，
此时AT=AB=10，
∴5.2≤AT≤10，
故答案为：5.2≤AT≤10．
设AT=x，则BT=10−x，当S与D重合时，10证△BTA∽△CA′D得TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，进而利用勾股定理得AT=x=5.2，当T与B重合时，AT=AB=10，即可得解．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)P=M⋅N=1x−3⋅1x+1=1x2−2x−3，
当x=0时，P=−13；
(2)P=M⋅N=1x2−2x−3，
令y=x2−2x−3=(x−1)2−4≥−4，
∴当x=1，ymin=−4，即Pmax=−14．
【解析】(1)利用分式乘法运算法则计算即可；
(2)将问题转化为二次函数求最值，配方即可．
本题考查了分式的乘法运算，以及二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和相关知识点是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，PE、PF为所作；
(2)连接OE、OF，如图，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EOF=180°−∠EPF=180°−30°=150°，
当点D在优弧EF上时，∠EDF=12∠EOF=75°，
当点D′在弧EF上时，∠ED′F=180°−∠EDF=180°−75°=105°，
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．
【解析】(1)连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以M点为圆心，MA为半径作圆交⊙O于点E、F，则根据圆周角定理得到∠OEP=∠OFP=90°，从而可判断PE，PF为⊙O的两条切线；
(2)连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到∠OEP=∠OFP=90°，则根据四边形的内角和可计算出∠EOF=150°，当点D在优弧EF上时，利用圆周角定理得到∠EDF=75°，当点D′在弧EF上时，利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F=105°．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质．
19.【答案】(1)60；18°；
(2)A类别人数为60−(36+9+3)=12(名)，
补全条形图如下：
(3)估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660=1200(名)．
【解析】解：(1)这次抽取的居民数量为9÷15%=60(名)，
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×360=18°，
故答案为：60；18°；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；
(2)根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∵E在AD的延长线上，
∴DE//BC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE是菱形；
(2)解：作N关于BE的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，如图：
由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N′在DE上，
∴PM+PN=PM+PN′，
∴当P、M、N′共线时，PM+PN′=MN′=PM+PN，
∵DE//BC，
∴MN′的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，
在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2，
∴∠BDH=30°，
∴BH=1
∴DH= 3，
∴PM+PN的最小值为 3．
【解析】本题考查平行四边形性质和判定，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是正确做出对称点．
(1)先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；
(2)作N关于BE的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N′在DE上，可得PM+PN=PM+PN′，即知MN′的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH= 3，即可得出答案．
21.【答案】−2 −1 −12 12 1 2 −52 −2 −52 52 2 52 x≠0 函数y=x+1x关于原点对称；当01，x<−1时y随x的增大而增大 ≥
【解析】解：任务一：列表
(1)x≠0；
(2)由函数图象可得：函数y=x+1x关于原点对称；当01，x<−1时y随x的增大而增大；
任务二：(3)当x>0时，函数y=x+1x有最小值为：1，
∵ x⋅1x=1，
∴x+1x≥ x⋅1x，
故对任意正实数a、b，都有a+b≥2 ab；
故答案为：≥；
任务三：(4)设y1=k1x，y2=k2x，
当x=10时，y1=2，y2=8，
∴k1=20,k2=45，
∴y1=20x，y2=45x，
两项费用之和为y1+y2=45x+20x=45(x+25x)，
∵x+25x≥ x⋅25x=5，
∴(y1+y2)min=45(x+25x)≥4，
这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小．
(1)根据分母不能为0即可求解；
(2)列表、描点、连线，根据函数图象写性质即可；
(3)由任务一可得当x>0时，x+1x的最小值为1，由此即可求解；
(4)设y1=k1x，y2=k2x，当x=10时，y1=2，y2=8，分别求出k1，k2，可得y1+y2=45x+20x=45(x+25x)由任务三即可求解．
本题考查了反比函数—拓展，解题关键是熟练掌握反比函数的图象及性质．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=12，即ACBC=12，
∵BC=4，
∴AC=2，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∴⊙O的半径为 5．
【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC//DE，根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，根据圆周角定理证明结论；
(2)连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．
23.【答案】解：(1)由图可知，长为(2b+6+c)cm，宽为a cm；
(2)设PM=x cm，由PM//AF，
得△EPM∽△EFA，
∴x16=EM12，
∴EM=34x，
此时剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm，(30−12+34x)cm，
当x=4，则长和宽分别为46cm，22cm，
裁剪方式如下图：
(3)不存在，理由如下：
设面积为y，
则y=(50−x)(30−12+34x)=−34x2+392x+900=−34(x−13)2+30934，
当x=13时，y最大，
此时50−13=37<16×2+6=38，
所以，不存在．
【解析】(1)仔细分析题意及图形特征即可求解；
(2)设PM=xcm，表示出EM=34x，则剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm，(30−12+34x)cm，取一个符合题意的x值进行裁剪即可；
(3)y=(50−x)(30−12+34x)−34(x−13)2+30934，当x=13时，y最大，此时50−13=37<16×2+6=38，即可说理．
本题考查了代数式，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，正确掌握知识点是解决本题的关键．
24.【答案】nm
【解析】解：【初步认识】(1)过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，如图1.1，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM=HF，AN=EG，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∠BAM=∠DANAB=AD∠ABM=∠ADN，
∴△ABM≌△ADN(ASA)，
∴AM=AN，
即EG=FH；
OE+OH+OG+OF=HF+EG，
∴即求HF的最值，过点O作AD的垂线交AD，BC于点M，N，如图1.2，
由垂线段最短可知OA>OM，
∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OM=ON，
∴HF的最大值为AC，最小值为MN=1，
在Rt△CDA中，AC= 12+12= 2，
∴1≤HF≤ 2，
∴OE+OH+OG+OF最大值为2 2，最小值为2．
(2)EGFH=1，理由如下：
由(1)知EG=FH；
∴EGFH=1；
【知识迁移】过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM=HF，AN=EG，
在矩形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴AMAN=ABAD，
∵AB=m，BC=AD=n，AM=HF，AN=EG，
∴HFEG=mn，
∴EGFH=nm；
故答案为：nm．
【拓展运用】∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=AC=a，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，如图3，则AN=BN=12a，
在Rt△BCN 中，CN= BC2−BN2= a2−(12a)2= 32a，
∵CN⊥AB，CE⊥BF，
∴∠ABF+∠BMN=90°，∠ECN+∠CMF=90°，
又∵∠CMF=∠BMN，
∴∠ABF=∠ECN，
∵CN⊥AB，∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠CNE=90°，
∴△NCE∽△ABF，
∴CEBF=CNAB，即CEBF= 32aa= 32．
【初步认识】(1)过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM≌△ADN，得到EG=FH；OE+OH+OG+OF=HF+EG，即求HF的最值，过点O作AD的垂线交AD，BC于点M，N，由垂线段最短可知OA>OM，由正方形ABCD，得OA=OC，OM=ON，可知HF的最大值为AC，最小值为MN，即可求解；
(2)由(1)直接得出结论即可；
【知识迁移】过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，求证△ABM∽△ADN.再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
【拓展运用】先证△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，过点CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，则AN=BN=12a，在Rt△BCN中，利用勾股定理求得CN的长，然后证△NCE∽△ABF，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．商品顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
x
…
______
______
______
______
______
______
…
y=x+1x
…
______
______
______
______
______
______
…
方法一：
方法二：
x
…
−2
−1
−12
12
1
2
…
y=x+1x
…
−52
−2
−52
52
2
52
…
1.已知实数a，则下列各式中一定大于0的是( )
A. a+3B. 10aC. −aD. a2+1
2.−10的倒数的相反数为( )
A. 10B. −110C. 110D. −10
3.若二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8经过原点，则m的值为( )
A. −2B. 4C. −2或4D. 无法确定
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知直线AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
A. r>3B. r>2.4C. r<4D. r≥2.4
6.已知函数y1、y2均是以x为自变量的函数，若当x=m时函数y1、y2的函数值分别为M1、M2，若存在实数m使得M1−M2=0，则称函数y1、y2具有性质P，则以下函数y1、y2不具有性质P的是( )
A. y1=x2−4和y2=−8x−13B. y1=x2−4x和y2=−8x−13
C. y1=x2−4x和y2=−x2−2D. y1=x2−4和y2=8x+13
7.某超市随机选取1000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图统计表，其中“√”表示购买.“×”表示未购买.假定每位顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的是( )
A. 乙B. 丙C. 丁D. 无法确定
8.如图，线段AB、CD是⊙O内两条平行弦，若∠A=23°，∠B=34°，则∠ODB的度数为( )
A. 9°
B. 11°
C. 13°
D. 15°
9.如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为( )
A. 8
B. 8.5
C. 9
D. 9.5
10.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息.已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是( )
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：sin60°=______．
12.已知四边形ABCD，AB=2，BC=3，CD=4，AD=d，则d的取值范围为______．
13.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°(m>n)，定义mn为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形．
14.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程bx2−2x+k=0的根的个数为______．
15.已知a为整数，将其除以4所得的商记为n，余数记为k(k≤3)，即a=4n+k(n是整数)，我们称a属于数组[k]，记作a∈[k]，则下列说法正确的是______.(直接填写序号)
①−3∈[3]；
②若a为4的倍数，则点A(n,a)到点B(17,0)的距离的最小值为4 17；
③所有整数组成的数组[n]=[1]+[2]+[3]；
④若a−b∈[0]，则a，b属于同一个数组．
16.如图，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，则线段AT长度的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知M=1x−3，N=1x+1，记P=M⋅N．
(1)若选择一个你喜欢的整数作为x的值，求P的值．
(2)求P的最大值．
18.(本小题6分)
已知：点P是⊙O外一点．
(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下，若点D在⊙O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF=30°，求∠EDF的度数．
19.(本小题8分)
为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次共抽取了______名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．
21.(本小题10分)
探究任务：函数y=x+1x的图象与性质．
任务1：描点连线画出图象
根据图像，回答问题
(1)该函数自变量的取值范围是______．
(2)写出该函数图象的两条性质______．
任务2：由特殊走向一般
(3)根据函数的最值，可以发现，当x>0时，x+1x与 x⋅1x之间有什么关系？(直接写出结果)进一步地，对于任意正实数a、b，都有a+b ______2 ab．
任务三：解决实际问题
(4)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比：若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
22.(本小题10分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=12，BC=4，求⊙O的半径．
23.(本小题12分)
包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
(1)一本字典长为a cm，宽为b cm，高为c cm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm.使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm，宽16cm，厚为6cm的字典.试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在(2)的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．
24.(本小题12分)
琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究．
【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O.如图1，同学们将该工具放入正方形ABCD中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．
(1)若点O在边长为1的正方形ABCD的中心，直接写出OE+OH+OG+OF的最大值和最小值．
(2)试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形ABCD中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H.若AB=m，BC=n，则EGFH= ______.(直接写出答案)
【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形ABCD中，使其经过C、B两点，并与AB边交于点E，与AD边交于点F.已知∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC.求CEBF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.∵当a=−3时，a+3=0，∴不正确；
B.∵当a=0时，10a=0，∴不正确；
C.∵当a≥0时，−a≤0，∴不正确；
D.∵a2≥0，∴a2+1>0，∴正确；
故选：D．
对于选项A，B，C可以举反倒，由于a2≥0可得a2+1>0，从而可判断D
本题主要考查数的大小，掌握于a2≥0可得a2+1>0是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：−10的倒数为−110，−110的相反数为110，
∴−10的倒数的相反数为110，
故选：C．
根据倒数的定义以及相反数的定义进行解题即可．
本题主要考查相反数、倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵二次函数的解析式为：y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8，
∴m+2≠0，
∴m≠−2，
∵二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，
∴m2−2m−8=0，
∴m=4或−2，
∵m≠−2，
∴m=4．
故选：B．
由题意二次函数的解析式为：y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8知m+2≠0，则m≠−2，再根据二次函数y=(m+2)x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，把(0,0)代入二次函数，解出m的值．
此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDC，
∴BF=FD，DE=EC，
∴▱AFDE的周长=AB+AC=5+5=10．
故选：B．
由于DE//AB，DF//AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
5.【答案】B
【解析】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=2.4，即圆心C到AB的距离d=2.4，
∴以C为圆心的⊙C与直线AB有交点，则r的取值范围是：r>2.4．
故选：B．
作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，可得以C为圆心，r=2.4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，即可得直线AB和⊙C有交点，r的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.令y1−y2=0，则x2−4+8x+13=0，整理得，x2+8x+9=0，方程有解，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
B.令y1−y2=0，则x2−4x+8x+13=0，整理得，x2+4x+13=0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，符合题意；
C.令y1−y2=0，则x2−4x+x2+2=0，整理得，2x2−4x+2=0，方程的解为x1=x2=1，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
D.令y1−y2=0，则x2−4−8x−13=0，整理得，x2−8x−17=0，Δ=64+68=132>0，方程有解，即函数y1和y2具有性质P，不符合题意；
故选：B．
依据题意，由题干信息可知，直接令y1−y2=0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．
7.【答案】B
【解析】解：在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，
同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，
同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大，
故选：B．
在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】B
【解析】解：如图：连接AD，
∵AD=AD，
∴∠AOD=2×∠B=68°，
∵AO=DO，
∴∠1=∠2=12×(180°−68°)=56°，
∵AB//CD，
∴∠CDA+∠BAD=180°，∠CDB=∠B=34°，
即(34°+∠ODB+56°)+(56°+23°)=180°，
∴∠ODB=11°，
故选：B．
先根据AD=AD，得出∠AOD=2×∠B=68°，因为半径相等，所以∠1=∠2，结合两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答．
本题考查了圆周角定理以及等边对等角，平行线的性质，掌握圆周角定理是关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD=DB，根据三角形中位线定理得到DE=12PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接PB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=DB=12BC=12，
∵点E为PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE=12PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD=12，AD=5，
∴AB= 122+52=13，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：由函数图象，得：甲的速度为12÷3=4(米/秒)，乙的速度为400÷80=5(米/秒)，
故①正确；
设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：
5x=12+4x，
解得：x=12，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5=60(米)，
故②错误；
当甲、乙两人之间的距离超过32米时，
(5−4)x−12>324(x+3)<400−32,
可得44
∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，
∴此时甲行走的时间为83秒，
∴甲走的路程为：83×4=332(米)，
∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400−332=68(米)，
故④正确；
结论正确的个数为3．
故选：B．
通过函数图象可得，甲出发3秒走的路程为12米，乙到达终点所用的时间为80秒，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答．
本题主要考查了一次函数的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
11.【答案】 32
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】
解：sin60°= 32．
故答案为： 32．
12.【答案】0
在△ABC中，BC−AB
本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是将四边形ABCD分割为两个三角形．
13.【答案】1
【解析】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，
∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，
∴mn=1，
∴当mn=1时，这个菱形就是正方形，
故答案为：1．
有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案．
本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，解答本题的关键要明确：有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补．
14.【答案】1或2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，
∴k<0，b≥0，
当b=0时，−2x+k=0，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当b>0时，Δ=(−2)2−4bk，由于k<0，b>0，
∴Δ>0，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
由一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，得k<0，b≥0，分类讨论，当b=0时，方程为一元一次方程，有1个根；当b>0时，方程为一元二次方程，根据Δ判断即可．
本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
15.【答案】②④
【解析】解：①根据数组定义−3=4×(−1)+1，因此−3∈[1]，所以①错误；
②∵a是4的倍数，不妨设a=4n(n是整数)，
∴A(n,a)=A(n,4n)，
∴AB= (n−17)2+(4n)2= 17(n2−2n+17)= 17[(n−1)2+16]，
当 n=1时，AB=4 17最小，所以②正确；
③∵a除以4的余数可能是0，1，2，3；
∴[n]=[0]+[1]+[2]+[3]，
所以③错误；
④不妨设a=4m+k1(m为整数)，
b=4n+k2(n为整数)，
∴a−b=4(m−n)+k1−k2，
由a−b∈[0]可知，k1−k2=0，
∴k1=k2，
∴a和b属于同一数组，
所以④正确；
故答案为：②④．
①根据数组的定义可判断；
②根据定义可知a=4n，点A在y=4x上，由两点距离公式可求出距离的最小值；
③由整数除以4的余数可能为0，1，2，3可判断；
④可根据定义分别设a，b的数组为[k1]，[k2]进行判断．
本题主要考查新定义问题，考查了学生的理解能力和推理能力，理解定义式解题的关键．
16.【答案】5.2≤AT≤10
【解析】解：设AT=x，则BT=10−x，
当S与D重合时，如下图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=10，BC=AD=26，
由折叠的性质可得A′T=AT=x，A′D=AD=26，
∠TAD=∠TA′D=90°，
∴∠BTA′+∠TA′B=∠CA′D+∠TA′B=90°，
∴∠BTA′=∠CA′D，
∴△BTA′∽△CA′D，
∴TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，
解得BA′=5x13，
∵∠B=90°，
∴BT2+(BA′)2=(AT′)2即(10−x)2+(5x13)2=x2，
解得AT=x=5.2或AT=x=130(舍去)，
当T与B重合时，如下图，
此时AT=AB=10，
∴5.2≤AT≤10，
故答案为：5.2≤AT≤10．
设AT=x，则BT=10−x，当S与D重合时，10证△BTA∽△CA′D得TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，进而利用勾股定理得AT=x=5.2，当T与B重合时，AT=AB=10，即可得解．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)P=M⋅N=1x−3⋅1x+1=1x2−2x−3，
当x=0时，P=−13；
(2)P=M⋅N=1x2−2x−3，
令y=x2−2x−3=(x−1)2−4≥−4，
∴当x=1，ymin=−4，即Pmax=−14．
【解析】(1)利用分式乘法运算法则计算即可；
(2)将问题转化为二次函数求最值，配方即可．
本题考查了分式的乘法运算，以及二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和相关知识点是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，PE、PF为所作；
(2)连接OE、OF，如图，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EOF=180°−∠EPF=180°−30°=150°，
当点D在优弧EF上时，∠EDF=12∠EOF=75°，
当点D′在弧EF上时，∠ED′F=180°−∠EDF=180°−75°=105°，
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．
【解析】(1)连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以M点为圆心，MA为半径作圆交⊙O于点E、F，则根据圆周角定理得到∠OEP=∠OFP=90°，从而可判断PE，PF为⊙O的两条切线；
(2)连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到∠OEP=∠OFP=90°，则根据四边形的内角和可计算出∠EOF=150°，当点D在优弧EF上时，利用圆周角定理得到∠EDF=75°，当点D′在弧EF上时，利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F=105°．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质．
19.【答案】(1)60；18°；
(2)A类别人数为60−(36+9+3)=12(名)，
补全条形图如下：
(3)估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660=1200(名)．
【解析】解：(1)这次抽取的居民数量为9÷15%=60(名)，
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×360=18°，
故答案为：60；18°；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；
(2)根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∵E在AD的延长线上，
∴DE//BC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE是菱形；
(2)解：作N关于BE的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，如图：
由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N′在DE上，
∴PM+PN=PM+PN′，
∴当P、M、N′共线时，PM+PN′=MN′=PM+PN，
∵DE//BC，
∴MN′的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，
在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2，
∴∠BDH=30°，
∴BH=1
∴DH= 3，
∴PM+PN的最小值为 3．
【解析】本题考查平行四边形性质和判定，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是正确做出对称点．
(1)先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；
(2)作N关于BE的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N′在DE上，可得PM+PN=PM+PN′，即知MN′的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH= 3，即可得出答案．
21.【答案】−2 −1 −12 12 1 2 −52 −2 −52 52 2 52 x≠0 函数y=x+1x关于原点对称；当0
【解析】解：任务一：列表
(1)x≠0；
(2)由函数图象可得：函数y=x+1x关于原点对称；当0
任务二：(3)当x>0时，函数y=x+1x有最小值为：1，
∵ x⋅1x=1，
∴x+1x≥ x⋅1x，
故对任意正实数a、b，都有a+b≥2 ab；
故答案为：≥；
任务三：(4)设y1=k1x，y2=k2x，
当x=10时，y1=2，y2=8，
∴k1=20,k2=45，
∴y1=20x，y2=45x，
两项费用之和为y1+y2=45x+20x=45(x+25x)，
∵x+25x≥ x⋅25x=5，
∴(y1+y2)min=45(x+25x)≥4，
这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小．
(1)根据分母不能为0即可求解；
(2)列表、描点、连线，根据函数图象写性质即可；
(3)由任务一可得当x>0时，x+1x的最小值为1，由此即可求解；
(4)设y1=k1x，y2=k2x，当x=10时，y1=2，y2=8，分别求出k1，k2，可得y1+y2=45x+20x=45(x+25x)由任务三即可求解．
本题考查了反比函数—拓展，解题关键是熟练掌握反比函数的图象及性质．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=12，即ACBC=12，
∵BC=4，
∴AC=2，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∴⊙O的半径为 5．
【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC//DE，根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，根据圆周角定理证明结论；
(2)连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．
23.【答案】解：(1)由图可知，长为(2b+6+c)cm，宽为a cm；
(2)设PM=x cm，由PM//AF，
得△EPM∽△EFA，
∴x16=EM12，
∴EM=34x，
此时剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm，(30−12+34x)cm，
当x=4，则长和宽分别为46cm，22cm，
裁剪方式如下图：
(3)不存在，理由如下：
设面积为y，
则y=(50−x)(30−12+34x)=−34x2+392x+900=−34(x−13)2+30934，
当x=13时，y最大，
此时50−13=37<16×2+6=38，
所以，不存在．
【解析】(1)仔细分析题意及图形特征即可求解；
(2)设PM=xcm，表示出EM=34x，则剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm，(30−12+34x)cm，取一个符合题意的x值进行裁剪即可；
(3)y=(50−x)(30−12+34x)−34(x−13)2+30934，当x=13时，y最大，此时50−13=37<16×2+6=38，即可说理．
本题考查了代数式，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，正确掌握知识点是解决本题的关键．
24.【答案】nm
【解析】解：【初步认识】(1)过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，如图1.1，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM=HF，AN=EG，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∠BAM=∠DANAB=AD∠ABM=∠ADN，
∴△ABM≌△ADN(ASA)，
∴AM=AN，
即EG=FH；
OE+OH+OG+OF=HF+EG，
∴即求HF的最值，过点O作AD的垂线交AD，BC于点M，N，如图1.2，
由垂线段最短可知OA>OM，
∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OM=ON，
∴HF的最大值为AC，最小值为MN=1，
在Rt△CDA中，AC= 12+12= 2，
∴1≤HF≤ 2，
∴OE+OH+OG+OF最大值为2 2，最小值为2．
(2)EGFH=1，理由如下：
由(1)知EG=FH；
∴EGFH=1；
【知识迁移】过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM=HF，AN=EG，
在矩形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴AMAN=ABAD，
∵AB=m，BC=AD=n，AM=HF，AN=EG，
∴HFEG=mn，
∴EGFH=nm；
故答案为：nm．
【拓展运用】∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=AC=a，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，如图3，则AN=BN=12a，
在Rt△BCN 中，CN= BC2−BN2= a2−(12a)2= 32a，
∵CN⊥AB，CE⊥BF，
∴∠ABF+∠BMN=90°，∠ECN+∠CMF=90°，
又∵∠CMF=∠BMN，
∴∠ABF=∠ECN，
∵CN⊥AB，∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠CNE=90°，
∴△NCE∽△ABF，
∴CEBF=CNAB，即CEBF= 32aa= 32．
【初步认识】(1)过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM≌△ADN，得到EG=FH；OE+OH+OG+OF=HF+EG，即求HF的最值，过点O作AD的垂线交AD，BC于点M，N，由垂线段最短可知OA>OM，由正方形ABCD，得OA=OC，OM=ON，可知HF的最大值为AC，最小值为MN，即可求解；
(2)由(1)直接得出结论即可；
【知识迁移】过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，求证△ABM∽△ADN.再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
【拓展运用】先证△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，过点CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，则AN=BN=12a，在Rt△BCN中，利用勾股定理求得CN的长，然后证△NCE∽△ABF，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．商品顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
x
…
______
______
______
______
______
______
…
y=x+1x
…
______
______
______
______
______
______
…
方法一：
方法二：
x
…
−2
−1
−12
12
1
2
…
y=x+1x
…
−52
−2
−52
52
2
52
…
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