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2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列结论不正确的是( )
A. 若y=3，则y′=0B. 若y=1 x，则y′=−12 x
C. 若y=− x，则y′=−12 xD. 若y=3x，则y′=3
2.已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(1+x)−f(1)x等于( )
A. 0B. −2C. −1D. 1
3.设f′(x)=x2−2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. 0C. 05.已知函数f(x)=x(x−m)2在x=−2处有极小值，则实数m的值为( )
A. −6B. −2C. 2D. −6或−2
6.已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图，则满足f′(x)A. (0,4)B. (−∞,0)∪(1,4)C. (0,43)D. (0,1)∪(4,+∞)
7.已知a=sinπ5,b=ln32,c=12，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. a>c>b
8.若存在唯一的正整数x0，便得不等式2xex−ax−a>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,43e2)B. (43e2,1e)C. (0,1e)D. [43e2,1e)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列导数运算错误的有( )
A. (sinπ3)′=csπ3B. (xex+e2)′=(x+1)ex
C. (1x)′=1x2D. (ln2x)′=12x
10.已知a∈R，函数f(x)=ax3−2x+3有两个极值点x1，x2，则( )
A. a>0
B. a=1时，函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x+1
C. f(x1)+f(x2)为定值
D. a=16时，函数f(x)在[−3,1]上的值域是[13,173]
11.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. f(12)>2f(14)B. f(12)<2f(14)C. f(12)>2f(1)D. 2f(12)>f(1)
12.已知函数f(x)=xex,g(x)=lnxx，若直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,g(x3))，D(x4,g(x4))，且x1A. x1x4=x2x3B. x1+x4=x2+x3
C. ln(x2x1)=x4−x3D. ln(x4x3)=x2−x1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)=1x，g(x)=mx，且g′(3)=1f′(3)，则m= ______．
14.函数y=f(x)在其定义域[−32,3]内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是______．
15.若函数f(x)=(x−m)2+lnx在区间(1,2)上有单调递增区间，则实数m的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=lnx+ax+sinx，∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>1，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
利用导数求下列函数的单调区间．
(1)f(x)=x3+3x；
(2)f(x)=sinx−x，x∈(0,π)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ln2x．
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求函数f(x)的图象在x=12处的切线方程．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．
(1)求证：当a=0时，曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点；
(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax+2．
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形，如图所示)设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上(图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合)，通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知AB=200m，∠PAB=θ，栈道总长度为函数f(θ)．
(1)求f(θ)；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计)，并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−1x的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)．
(1)求a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λeλ≥0在区间(1,+∞)上恒成立，求正实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，常数的导数为0，正确；
在B中，y=1 x=1x12=x−12，根据导数的公式得y′=(x−12)′=−12x−12−1=−12x−32=−12x32=−12 x3，所以B错误．
对于C，y=− x=−x12,y′=−12x−12=−12 x，C正确；
对于D，y′=3x′=3，D正确
故选B．
利用导数的运算公式分别进行判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
2.【答案】C
【解析】解：f(x)=1x，
则f′(x)=−1x2，
故Δx→0limf(1+x)−f(1)x=f′(1)=−1．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为f′(x)=x2−2x，所以令f′(x)>0，得x<0或x>2；令f′(x)<0，得0所以f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
由图可知，只有C选项的图象符合．
故选：C．
利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：观察图象可知，该函数在(2,3)上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．
所以各点处的导数在(2,3)上处处为正，且逐渐减小，所以故f′(2)>f′(3)，
而f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2，表示的连接点(2,f(2))与点(3,f(3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2,3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：0故选：A．
观察图象及导数的几何意义得：0f′(3)，同时根据割线的性质，一定可以在(2,3)之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．
本题考查了函数的导数与函数单调性的关系，以及割线与切线间的关系，要注意数形结合来解题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x(x−m)2，
所以f′(x)=(x−m)2+2x(x−m)，
因为f(x)在x=−2处有极小值，
所以f′(−2)=(−2−m)2−4(−2−m)=0，
即m2+8m+12=0，解得m=−6或m=−2，
当m=−6时，f′(x)=3(x+6)(x+2)，
当x<−6或x>−2时，f′(x)>0，当−6所以当x=−2时，f(x)取得极小值，符合题意；
当m=−2时，f′(x)=3(x+2)(x+23)，
当x<−2或x>−23时，f′(x)>0，当−2所以当x=−2时，f(x)取得极大值，不符合题意，
所以实数m的值为−6，
故选：A．
求导，根据f(x)在x=−2处有极小值，由f′(−2)=0，求得m，再检验即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与导函数的关系，属于简单题．
利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，判断推出结果即可．
【解答】
解：如图，记两个函数分别为g(x)和h(x)，
若g(x)为导函数，则h(x)应在−∞,2单调递减，明显与图象不符；
所以f(x)=g(x)，f′(x)=h(x)，
由图象可知，则满足f′(x)故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：a=sinπ5>sinπ6=12=c，
设f(x)=lnx+1−x，x>1，则f′(x)=1−xx<0，
所以f(x)在(1,+∞)上为减函数，
所以f(x)1)，
所以b=ln32<32−1=c，
所以a>c>b．
故选：D．
利用正弦函数的单调性可得a>c，利用导数可证不等式lnx1)成立，故可判断b本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查导数在研究函数中的应用．因为存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax−a>0成立，所以只考虑x>0的情况，则原不等式等价于2xex>a(x+1)，即a<2xex(x+1)有唯一的正整数解，本题是函数中分离参数，应用导数讨论函数的单调性，然后数形结合找条件列出参数满足的不等式；要抓住唯一的正整数解这个条件，属于较难题．
【解答】
解：存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax−a>0成立；
即a<2xex(x+1)有唯一的正整数解；
设 f(x)=2xex(x+1) (x>0)
则f ′(x)=−2(x2+x−1)ex(x+1)2，
fx在 (0,−1+ 52)上单调递增，在 (−1+ 52,+∞) 上单调递减；
又 0<−1+ 52<1，
所以要满足a<2xex(x+1)有唯一的正整数解；
则需要 f2⩽a∵f(1)=1e，f(2)=43e2；
实数a的取值范围是[43e2,1e),
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】解：A，∵(sinπ3)′=0，∴A错误，
B，∵(xex+e2)′=ex+xex=(x+1)ex，∴B正确，
B，∵(1x)′=−1x2，∴C错误，
D，∵(ln2x)′=22x=1x，∴D错误，
故选：ACD．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由题意，当a=0时，f(x)=−2x+3，无极值点，
当a≠0时，f′(x)=3ax2−2，
a<0时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，无极值点，
当a>0时，令f′(x)=0，得x2=23a，解得x1=− 23a,x2= 23a，
当f′(x)>0，解得xx2，∴f′(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，
当f′(x)<0，解得x1所以x1是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点，
所以当a>0时，函数有两个极值点，故A正确；
对于B，若a=1，则f(x)=x3−2x+3，则f′(x)=3x2−2，则f(1)=2，f′(1)=1，
所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y−2=(x−1)，即y=x+1，故B正确；
对于C，因为f(x1)+f(x2)=ax13−2x1+3+ax23−2x2+3，
当a>0时，由f′(x)=0，得x1=− 23a,x2= 23a，则x2=−x1，
所以f(x1)+f(x2)=ax13−2x1+3−ax13+2x1+3=6为定值，故C正确；
对于D，当a=16时，则f(x)=16x3−2x+3，则f′(x)=12x2−2，
令f′(x)=12x2−2=0，解得x3=−2或x4=2，
所以当x∈[−3,1]时，f(−2)=16×(−2)3−2×(−2)+3=173，
f(−3)=16×(−3)3−2×(−3)+3=92，f(1)=16×13−2×1+3=76，
所以f(x)在[−3,1]上的值域是[76,173]，故D错误．
故选：ABC．
选项A：由函数的导数等于0的方程有两个根可得a>0；选项B：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项C：由函数的极值点互为相反数代入f(x)计算可得；选项D：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：令F(x)=f(x)x，
所以F′(x)=f′(x)⋅x−f(x)x2，
因为当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，
所以当x>0时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
所以F(12)F(1)，
所以2f(12)<4f(14)，2f(12)>f(1)，
所以f(12)<2f(14)，2f(12)>f(1)，
故选：BD．
令F(x)=f(x)x，求导，结合当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，可得当x>0时，F(x)的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题．
求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值，同理可得g(x)的单调性和极值，作出f(x)与g(x)的大致图象，设函数f(x)与g(x)的交点为F，分两种情况：当b>yF时，当b【解答】
解：f′(x)=ex−ex⋅x(ex)2=(1−x)ex(ex)2=1−xex，
令f′(x)=0得x=1，
所以在(−∞,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1时，f(x)取得极大值即最大值f(1)=1e，
g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
令g′(x)=0得x=e，
所以在(0,e)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(e,+∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=e时，g(x)取得极大值即最大值g(e)=1e，
作出f(x)与g(x)的大致图象如下：
设函数f(x)与g(x)的交点为F，
当b>yF时，0所以lnex1ex1=lnex2ex2=lnx3x3=lnx4x4=b，
所以g(ex1)=g(ex2)=g(x3)=g(x4)，
又1所以ex1=x3，ex2=x4，②
代入①得x1x3=x2x4=b，
所以x1x4=x2x3，
由②得x4x3=ex2−x1，
所以lnx4x3=x2−x1，故AD正确；
当b0所以lnex1ex1=lnex2ex2=lnx3x3=lnx4x4=b，
所以g(ex1)=g(ex2)=g(x3)=g(x4)，
又1同上，可知AD正确，
故选：AD．
13.【答案】−9
【解析】解：由f(x)=1x，求导得f′(x)=−1x2，则f′(3)=−19，
由g(x)=mx，求导得g′(x)=m，
所以m=g′(3)=1f′(3)=−9．
故答案为：−9．
对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】[−13,1]∪[2,3)
【解析】解：由图象可知f(x)在区间[−13,1]和[2,3)上单调递减，
∴f′(x)≤0的解集为[−13,1]∪[2,3)．
故答案为：[−13,1]∪[2,3)．
不等式的解集为函数f(x)的减区间．
本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．
15.【答案】(−∞,94)
【解析】解：已知f(x)=(x−m)2+lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=2(x−m)+1x，
因为f′(x)>0在(1,2)上有解，
即m由对勾函数的性质可知函数y=x+12x在(1,2)上单调递增，
所以y=x+12x在x=2时取得最大值，
此时m<2+14=94，
则实数m的取值范围为(−∞,94)．
故答案为：(−∞,94)．
由题意，将问题转化成f′(x)>0在(1,2)上有解，分离参数后求函数最值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
16.【答案】[2,+∞)
【解析】解：∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，
不妨设x10，
∵f(x2)−f(x1)x2−x1>1，
∴f(x2)−f(x1)>x2−x1，即f(x2)−x2>f(x1)−x1，
f(x)=lnx+ax+sinx，令g(x)=f(x)−x=lnx+ax+sinx−x，
∴当x1∴g′(x)=1x+csx+a−1≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≥−(1x+csx)+1在(0,+∞)上恒成立，
当x>0时，1x>0，csx∈[−1,1]，
又x→+∞时，1x→0，
则1x+csx>−1，
∴−(1x+csx)+1<2，
∴a≥2，即a的取值范围为[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
不妨设x10，则f(x2)−x2>f(x1)−x1，构造函数g(x)=f(x)−x，可得g(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)=1x+csx+a−1≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≥−(1x+csx)+1在(0,+∞)上恒成立，求出−(1x+csx)+1的最大值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运输能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由f′(x)=3x2+3>0在定义域上恒成立，
故f(x)的递增区间为(−∞,+∞)，无递减区间；
(2)由f′(x)=csx−1<0在x∈(0,π)上恒成立，
故f(x)的递减区间为(0,π)，无递增区间．
【解析】(1)(2)对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x−ln2x，
所以f′(x)=1−1x=x−1x(x>0)；
(2)因为f′(x)=1−1x,f′(12)=−1,f(12)=12，
所以函数f(x)在x=12处的切线方程为y−12=−1(x−12)，即x+y−1=0．
【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；
(2)求出f′(12)和切点，再利用导数的几何意义求出切线方程．
本题考查导数的运算和曲线在某点处的切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=0时，函数f(x)=−1x−lnx，求导得：f′(x)=1−xx2，
令f′(x)>0，得01；
则函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
故f(x)max=f(1)=−1，
所以曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点．
(2)函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx的定义域为(0,+∞)，
求导得f′(x)=a+1x2−a+1x=ax2−(a+1)x+1x2，
设g(x)=ax2−(a+1)x+1=(ax−1)(x−1)，
令g(x)=0，解得x1=1a，x2=1．
因为f(x)既存在极大值，又存在极小值，即g(x)在(0,+∞)有两个变号零点，
则1a>01a≠1，解得a>0且a≠1，
综上所述：a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞)．
【解析】(1)当a=0时，对f(x)求导，分析函数单调性，确定f(x)图象，可证明曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点．
(2)将f(x)既存在极大值，又存在极小值，转换为f′(x)有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx+ax+2(x>0)，则f′(x)=1x+a=ax+1x，
因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=1+a=0，解得a=−1，
当a=−1时，可得f′(x)=1−xx，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当x=1时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a=−1．
(2)由f′(x)=ax+1x，其中x>0，
①当a≥0时，可得f′(x)>0，f(x)单调递增，此时函数f(x)至多有一个零点，不符合题意；
②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−1a，
当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
因此，当x=−1a时，f(x)取得极大值，也是最大值，最大值为f(−1a)=ln(−1a)+a⋅(−1a)+2=1−ln(−a)，
又因为f(e−2)=ae−2<0，且当x→+∞时，f(x)→−∞，
所以要使函数f(x)有两个零点，必须满足f(−1a)>0，即1−ln(−a)>0，解得−e综上所述，−e【解析】(1)根据题意，利用函数极值点的意义列式，得到f′(1)=0，由此求得a值，再进行验证即可得到答案；
(2)对a的取值进行分类讨论，利用导数判断f(x)的单调性与极值，从而得到a<0且f(−1a)>0，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、函数的零点及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知∠PAB=θ(0<θ<π4)，OC⊥AB，OA=OB=100，
则PA=PB=100csθ，PO=100tanθ，所以PC=100−100tanθ，
所以f(θ)=PA+PB+PC+AB=200csθ+100−100tanθ+200=100(2−sinθcsθ+3)(0<θ<π4)．
(2)建造栈道的费用F(θ)=5f(θ)=500(2−sinθcsθ+3)，
F′(θ)=500×2sinθ−1cs2θ，令F′(θ)=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6，
当0<θ<π6时，F′(θ)<0，当π6<θ<π4时，F′(θ)>0，
所以F(θ)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π4)上单调递增，
所以F(θ)min=F(π6)=500(3+ 3)，此时PC=100−100tanπ6=100−100 33，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为(100−100 33)米时，建造费用最小，最小费用为500(3+ 3)万元．
【解析】(1)由已知可得PA=PB=100csθ，PC=100−100tanθ，进而可得f(θ)；
(2)由(1)可得F(θ)=5f(θ)=500(2−sinθcsθ+3)，求导可求其最小值．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−1x，所以f(1)=ae−1，
f′(x)=axex−aex+1x2，f′(1)=1，
又函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)，
所以ae−1−e1−2=1，解得a=1，
所以f(x)=ex−1x，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又f′(x)=xex−ex+1x2，
令g(x)=xex−ex+1，则g′(x)=xex，
所以当x>0时，g′(x)>0，当x<0时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
所以g(x)≥g(0)=0，
所以当x≠0时，xex−ex+1>0恒成立，即f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)，(−∞,0)上单调递增，
即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，(−∞,0)，无单调递减区间．
(2)因为不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λex≥0在区间(1,+∞)上恒成立，
因为x∈(1,+∞)，则lnx>0，
即ex+λ≥lnx+x2+(λ−1)x−λlnx在区间(1,+∞)上恒成立，
所以ex+λ−1≥(x+λ)(x−1)lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
又λ>0，所以x+λ>0，
所以ex+λ−1x+λ≥x−1lnx=elnx−1lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
即f(x+λ)≥f(lnx)在区间(1,+∞)上恒成立，
由(1)可知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以x+λ≥lnx在区间(1,+∞)上恒成立，即λ≥−x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
令h(x)=−x+hnx，x∈(1,+∞)，
则h′(x)=−1+1x=1−xx<0，
所以h(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以h(x)所以λ>0时，λ≥−x+lhx在区间(1,+∞)上恒成立，
即对任意λ∈(0,+∞)，关于x的不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λeλ≥0在区间(1,+∞)上恒成立．
【解析】(1)首先得到f(1)，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出a，再利用导数求出f(x)的单调区间；
(2)依题意可得ex+λ−1x+λ≥elnx−1lnx在区间(1,+∞)上恒成立，即f(x+λ)≥f(lnx)在区间(1,+∞)上恒成立，结合(1)中函数的单调性，得到x+λ≥lnx在区间(1,+∞)上恒成立，参变分离可得λ≥−x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立，利用导数说明−x+lnx<0，即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
1.下列结论不正确的是( )
A. 若y=3，则y′=0B. 若y=1 x，则y′=−12 x
C. 若y=− x，则y′=−12 xD. 若y=3x，则y′=3
2.已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(1+x)−f(1)x等于( )
A. 0B. −2C. −1D. 1
3.设f′(x)=x2−2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. 0
A. −6B. −2C. 2D. −6或−2
6.已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图，则满足f′(x)
7.已知a=sinπ5,b=ln32,c=12，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. a>c>b
8.若存在唯一的正整数x0，便得不等式2xex−ax−a>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,43e2)B. (43e2,1e)C. (0,1e)D. [43e2,1e)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列导数运算错误的有( )
A. (sinπ3)′=csπ3B. (xex+e2)′=(x+1)ex
C. (1x)′=1x2D. (ln2x)′=12x
10.已知a∈R，函数f(x)=ax3−2x+3有两个极值点x1，x2，则( )
A. a>0
B. a=1时，函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x+1
C. f(x1)+f(x2)为定值
D. a=16时，函数f(x)在[−3,1]上的值域是[13,173]
11.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. f(12)>2f(14)B. f(12)<2f(14)C. f(12)>2f(1)D. 2f(12)>f(1)
12.已知函数f(x)=xex,g(x)=lnxx，若直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,g(x3))，D(x4,g(x4))，且x1
C. ln(x2x1)=x4−x3D. ln(x4x3)=x2−x1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)=1x，g(x)=mx，且g′(3)=1f′(3)，则m= ______．
14.函数y=f(x)在其定义域[−32,3]内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是______．
15.若函数f(x)=(x−m)2+lnx在区间(1,2)上有单调递增区间，则实数m的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=lnx+ax+sinx，∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>1，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
利用导数求下列函数的单调区间．
(1)f(x)=x3+3x；
(2)f(x)=sinx−x，x∈(0,π)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ln2x．
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求函数f(x)的图象在x=12处的切线方程．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．
(1)求证：当a=0时，曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点；
(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax+2．
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形，如图所示)设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上(图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合)，通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知AB=200m，∠PAB=θ，栈道总长度为函数f(θ)．
(1)求f(θ)；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计)，并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−1x的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)．
(1)求a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λeλ≥0在区间(1,+∞)上恒成立，求正实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，常数的导数为0，正确；
在B中，y=1 x=1x12=x−12，根据导数的公式得y′=(x−12)′=−12x−12−1=−12x−32=−12x32=−12 x3，所以B错误．
对于C，y=− x=−x12,y′=−12x−12=−12 x，C正确；
对于D，y′=3x′=3，D正确
故选B．
利用导数的运算公式分别进行判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
2.【答案】C
【解析】解：f(x)=1x，
则f′(x)=−1x2，
故Δx→0limf(1+x)−f(1)x=f′(1)=−1．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为f′(x)=x2−2x，所以令f′(x)>0，得x<0或x>2；令f′(x)<0，得0
由图可知，只有C选项的图象符合．
故选：C．
利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：观察图象可知，该函数在(2,3)上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．
所以各点处的导数在(2,3)上处处为正，且逐渐减小，所以故f′(2)>f′(3)，
而f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2，表示的连接点(2,f(2))与点(3,f(3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2,3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：0
观察图象及导数的几何意义得：0
本题考查了函数的导数与函数单调性的关系，以及割线与切线间的关系，要注意数形结合来解题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x(x−m)2，
所以f′(x)=(x−m)2+2x(x−m)，
因为f(x)在x=−2处有极小值，
所以f′(−2)=(−2−m)2−4(−2−m)=0，
即m2+8m+12=0，解得m=−6或m=−2，
当m=−6时，f′(x)=3(x+6)(x+2)，
当x<−6或x>−2时，f′(x)>0，当−6
当m=−2时，f′(x)=3(x+2)(x+23)，
当x<−2或x>−23时，f′(x)>0，当−2
所以实数m的值为−6，
故选：A．
求导，根据f(x)在x=−2处有极小值，由f′(−2)=0，求得m，再检验即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与导函数的关系，属于简单题．
利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，判断推出结果即可．
【解答】
解：如图，记两个函数分别为g(x)和h(x)，
若g(x)为导函数，则h(x)应在−∞,2单调递减，明显与图象不符；
所以f(x)=g(x)，f′(x)=h(x)，
由图象可知，则满足f′(x)
7.【答案】D
【解析】解：a=sinπ5>sinπ6=12=c，
设f(x)=lnx+1−x，x>1，则f′(x)=1−xx<0，
所以f(x)在(1,+∞)上为减函数，
所以f(x)
所以b=ln32<32−1=c，
所以a>c>b．
故选：D．
利用正弦函数的单调性可得a>c，利用导数可证不等式lnx
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查导数在研究函数中的应用．因为存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax−a>0成立，所以只考虑x>0的情况，则原不等式等价于2xex>a(x+1)，即a<2xex(x+1)有唯一的正整数解，本题是函数中分离参数，应用导数讨论函数的单调性，然后数形结合找条件列出参数满足的不等式；要抓住唯一的正整数解这个条件，属于较难题．
【解答】
解：存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax−a>0成立；
即a<2xex(x+1)有唯一的正整数解；
设 f(x)=2xex(x+1) (x>0)
则f ′(x)=−2(x2+x−1)ex(x+1)2，
fx在 (0,−1+ 52)上单调递增，在 (−1+ 52,+∞) 上单调递减；
又 0<−1+ 52<1，
所以要满足a<2xex(x+1)有唯一的正整数解；
则需要 f2⩽a
实数a的取值范围是[43e2,1e),
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】解：A，∵(sinπ3)′=0，∴A错误，
B，∵(xex+e2)′=ex+xex=(x+1)ex，∴B正确，
B，∵(1x)′=−1x2，∴C错误，
D，∵(ln2x)′=22x=1x，∴D错误，
故选：ACD．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由题意，当a=0时，f(x)=−2x+3，无极值点，
当a≠0时，f′(x)=3ax2−2，
a<0时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，无极值点，
当a>0时，令f′(x)=0，得x2=23a，解得x1=− 23a,x2= 23a，
当f′(x)>0，解得x
当f′(x)<0，解得x1
所以当a>0时，函数有两个极值点，故A正确；
对于B，若a=1，则f(x)=x3−2x+3，则f′(x)=3x2−2，则f(1)=2，f′(1)=1，
所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y−2=(x−1)，即y=x+1，故B正确；
对于C，因为f(x1)+f(x2)=ax13−2x1+3+ax23−2x2+3，
当a>0时，由f′(x)=0，得x1=− 23a,x2= 23a，则x2=−x1，
所以f(x1)+f(x2)=ax13−2x1+3−ax13+2x1+3=6为定值，故C正确；
对于D，当a=16时，则f(x)=16x3−2x+3，则f′(x)=12x2−2，
令f′(x)=12x2−2=0，解得x3=−2或x4=2，
所以当x∈[−3,1]时，f(−2)=16×(−2)3−2×(−2)+3=173，
f(−3)=16×(−3)3−2×(−3)+3=92，f(1)=16×13−2×1+3=76，
所以f(x)在[−3,1]上的值域是[76,173]，故D错误．
故选：ABC．
选项A：由函数的导数等于0的方程有两个根可得a>0；选项B：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项C：由函数的极值点互为相反数代入f(x)计算可得；选项D：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：令F(x)=f(x)x，
所以F′(x)=f′(x)⋅x−f(x)x2，
因为当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，
所以当x>0时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
所以F(12)
所以2f(12)<4f(14)，2f(12)>f(1)，
所以f(12)<2f(14)，2f(12)>f(1)，
故选：BD．
令F(x)=f(x)x，求导，结合当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，可得当x>0时，F(x)的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题．
求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值，同理可得g(x)的单调性和极值，作出f(x)与g(x)的大致图象，设函数f(x)与g(x)的交点为F，分两种情况：当b>yF时，当b
解：f′(x)=ex−ex⋅x(ex)2=(1−x)ex(ex)2=1−xex，
令f′(x)=0得x=1，
所以在(−∞,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1时，f(x)取得极大值即最大值f(1)=1e，
g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
令g′(x)=0得x=e，
所以在(0,e)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(e,+∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=e时，g(x)取得极大值即最大值g(e)=1e，
作出f(x)与g(x)的大致图象如下：
设函数f(x)与g(x)的交点为F，
当b>yF时，0
所以g(ex1)=g(ex2)=g(x3)=g(x4)，
又1
代入①得x1x3=x2x4=b，
所以x1x4=x2x3，
由②得x4x3=ex2−x1，
所以lnx4x3=x2−x1，故AD正确；
当b
所以g(ex1)=g(ex2)=g(x3)=g(x4)，
又1
故选：AD．
13.【答案】−9
【解析】解：由f(x)=1x，求导得f′(x)=−1x2，则f′(3)=−19，
由g(x)=mx，求导得g′(x)=m，
所以m=g′(3)=1f′(3)=−9．
故答案为：−9．
对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】[−13,1]∪[2,3)
【解析】解：由图象可知f(x)在区间[−13,1]和[2,3)上单调递减，
∴f′(x)≤0的解集为[−13,1]∪[2,3)．
故答案为：[−13,1]∪[2,3)．
不等式的解集为函数f(x)的减区间．
本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．
15.【答案】(−∞,94)
【解析】解：已知f(x)=(x−m)2+lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=2(x−m)+1x，
因为f′(x)>0在(1,2)上有解，
即m
所以y=x+12x在x=2时取得最大值，
此时m<2+14=94，
则实数m的取值范围为(−∞,94)．
故答案为：(−∞,94)．
由题意，将问题转化成f′(x)>0在(1,2)上有解，分离参数后求函数最值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
16.【答案】[2,+∞)
【解析】解：∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，
不妨设x1
∵f(x2)−f(x1)x2−x1>1，
∴f(x2)−f(x1)>x2−x1，即f(x2)−x2>f(x1)−x1，
f(x)=lnx+ax+sinx，令g(x)=f(x)−x=lnx+ax+sinx−x，
∴当x1
当x>0时，1x>0，csx∈[−1,1]，
又x→+∞时，1x→0，
则1x+csx>−1，
∴−(1x+csx)+1<2，
∴a≥2，即a的取值范围为[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
不妨设x1
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运输能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由f′(x)=3x2+3>0在定义域上恒成立，
故f(x)的递增区间为(−∞,+∞)，无递减区间；
(2)由f′(x)=csx−1<0在x∈(0,π)上恒成立，
故f(x)的递减区间为(0,π)，无递增区间．
【解析】(1)(2)对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x−ln2x，
所以f′(x)=1−1x=x−1x(x>0)；
(2)因为f′(x)=1−1x,f′(12)=−1,f(12)=12，
所以函数f(x)在x=12处的切线方程为y−12=−1(x−12)，即x+y−1=0．
【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；
(2)求出f′(12)和切点，再利用导数的几何意义求出切线方程．
本题考查导数的运算和曲线在某点处的切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=0时，函数f(x)=−1x−lnx，求导得：f′(x)=1−xx2，
令f′(x)>0，得0
则函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
故f(x)max=f(1)=−1，
所以曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点．
(2)函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx的定义域为(0,+∞)，
求导得f′(x)=a+1x2−a+1x=ax2−(a+1)x+1x2，
设g(x)=ax2−(a+1)x+1=(ax−1)(x−1)，
令g(x)=0，解得x1=1a，x2=1．
因为f(x)既存在极大值，又存在极小值，即g(x)在(0,+∞)有两个变号零点，
则1a>01a≠1，解得a>0且a≠1，
综上所述：a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞)．
【解析】(1)当a=0时，对f(x)求导，分析函数单调性，确定f(x)图象，可证明曲线y=f(x)与直线y=−1只有一个交点．
(2)将f(x)既存在极大值，又存在极小值，转换为f′(x)有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx+ax+2(x>0)，则f′(x)=1x+a=ax+1x，
因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=1+a=0，解得a=−1，
当a=−1时，可得f′(x)=1−xx，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当x=1时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a=−1．
(2)由f′(x)=ax+1x，其中x>0，
①当a≥0时，可得f′(x)>0，f(x)单调递增，此时函数f(x)至多有一个零点，不符合题意；
②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−1a，
当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
因此，当x=−1a时，f(x)取得极大值，也是最大值，最大值为f(−1a)=ln(−1a)+a⋅(−1a)+2=1−ln(−a)，
又因为f(e−2)=ae−2<0，且当x→+∞时，f(x)→−∞，
所以要使函数f(x)有两个零点，必须满足f(−1a)>0，即1−ln(−a)>0，解得−e
(2)对a的取值进行分类讨论，利用导数判断f(x)的单调性与极值，从而得到a<0且f(−1a)>0，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、函数的零点及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知∠PAB=θ(0<θ<π4)，OC⊥AB，OA=OB=100，
则PA=PB=100csθ，PO=100tanθ，所以PC=100−100tanθ，
所以f(θ)=PA+PB+PC+AB=200csθ+100−100tanθ+200=100(2−sinθcsθ+3)(0<θ<π4)．
(2)建造栈道的费用F(θ)=5f(θ)=500(2−sinθcsθ+3)，
F′(θ)=500×2sinθ−1cs2θ，令F′(θ)=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6，
当0<θ<π6时，F′(θ)<0，当π6<θ<π4时，F′(θ)>0，
所以F(θ)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π4)上单调递增，
所以F(θ)min=F(π6)=500(3+ 3)，此时PC=100−100tanπ6=100−100 33，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为(100−100 33)米时，建造费用最小，最小费用为500(3+ 3)万元．
【解析】(1)由已知可得PA=PB=100csθ，PC=100−100tanθ，进而可得f(θ)；
(2)由(1)可得F(θ)=5f(θ)=500(2−sinθcsθ+3)，求导可求其最小值．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−1x，所以f(1)=ae−1，
f′(x)=axex−aex+1x2，f′(1)=1，
又函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)，
所以ae−1−e1−2=1，解得a=1，
所以f(x)=ex−1x，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又f′(x)=xex−ex+1x2，
令g(x)=xex−ex+1，则g′(x)=xex，
所以当x>0时，g′(x)>0，当x<0时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
所以g(x)≥g(0)=0，
所以当x≠0时，xex−ex+1>0恒成立，即f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)，(−∞,0)上单调递增，
即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，(−∞,0)，无单调递减区间．
(2)因为不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λex≥0在区间(1,+∞)上恒成立，
因为x∈(1,+∞)，则lnx>0，
即ex+λ≥lnx+x2+(λ−1)x−λlnx在区间(1,+∞)上恒成立，
所以ex+λ−1≥(x+λ)(x−1)lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
又λ>0，所以x+λ>0，
所以ex+λ−1x+λ≥x−1lnx=elnx−1lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
即f(x+λ)≥f(lnx)在区间(1,+∞)上恒成立，
由(1)可知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以x+λ≥lnx在区间(1,+∞)上恒成立，即λ≥−x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立，
令h(x)=−x+hnx，x∈(1,+∞)，
则h′(x)=−1+1x=1−xx<0，
所以h(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以h(x)
即对任意λ∈(0,+∞)，关于x的不等式exlnx−lnx+x2+(λ−1)x−λeλ≥0在区间(1,+∞)上恒成立．
【解析】(1)首先得到f(1)，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出a，再利用导数求出f(x)的单调区间；
(2)依题意可得ex+λ−1x+λ≥elnx−1lnx在区间(1,+∞)上恒成立，即f(x+λ)≥f(lnx)在区间(1,+∞)上恒成立，结合(1)中函数的单调性，得到x+λ≥lnx在区间(1,+∞)上恒成立，参变分离可得λ≥−x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立，利用导数说明−x+lnx<0，即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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