2023-2024学年上海市崇明区扬子中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市崇明区扬子中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (0,116)D. (116,0)
2.已知曲线C：x24+y2m=1(m≠0)，则“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知动圆M和圆C1：(x+1)2+y2=36内切，并和圆C2：(x−1)2+y2=4外切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A. 直线B. 圆
C. 焦点在x轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的椭圆
4.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.若圆(x−3)2+(y−λ)2=9与椭圆x23+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则λ的值为( )
A. ±3B. ±4C. ±5D. 2 5
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.两条直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，则实数a= ______．
6.直线l1：2x−y+1=0与直线l2：2x−y−1=0之间的距离为______．
7.余弦函数y=csx在x=π2处的导数是______．
8.函数y=x3−3x2的驻点(使得导数为零的自变量的值)为______．
9.过点(1, 3)作圆x2+y2=4的切线，则切线方程为______．
10.方程x23−m+y2m−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则x的取值范围是______．
11.已知直线x+y−5=0与圆C：x2+y2−4x+2y+m=0相交于A，B两点，且|AB|=4，则实数m= ______．
12.已知点P在焦点为F1、F2的椭圆x24+y2=1上，若∠F1PF2=90°，则|PF1|⋅|PF2|的值为______．
13.已知双曲线E与双曲线4x2−12y2=3具有相同的渐近线，且经过点A(3,2)，则双曲线E的方程为______．
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若P是该抛物线上一点，点Q(4,3)，则|PF|+|PQ|的最小值为______．
15.在平面直角坐标系中，若P(x,y)的坐标x，y满足方程 (x−1)2+(y−2)2=|3x+4y−11|5，则点P(x,y)的轨迹是______(填曲线的类型，填方程不给分)．
16.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上任意一点，N为圆E：(x−5)2+(y−4)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
求下列函数的导数．
(1)y=xex；
(2)y=2sin(1−3x)．
18.(本小题14分)
已知直线l经过点P(−2,1)，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)与直线2x+y=5垂直；
(2)与圆O：x2+y2=4相切．
19.(本小题14分)
已知椭圆Γ的方程为x24+y2=1,F1,F2分别是Γ的左、右焦点，A是Γ的上顶点．
(1)设直线AF1与椭圆Γ的另一个交点为B，求△ABF2的周长；
(2)给定点E( 3,12)，直线EF1，EF2分别与椭圆Γ交于另一点F，G，求△EFG的面积．
20.(本小题16分)
已知抛物线y2=2px(p>0)．
(1)若该抛物线的焦点F到准线的距离为1，求抛物线的标准方程；
(2)若p=2，O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求△AOB的面积．
21.(本小题18分)
已知双曲线C：y2−3x2=1．
(1)求上焦点F1的坐标；
(2)若动点Q在双曲线C的上支上运动，求点Q到N(0,2)的距离的最小值，并求此时Q的坐标；
(3)若M为双曲线的上顶点，直线l：y=x+t与双曲线交于C、D两点(异于点M)，CM⊥MD，求实数t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为(0,116)，
故选：C．
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：对于曲线C：x24+y2m=1(m≠0)，
当m∈(0,4)时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，则m<4且m≠0，不能推出m∈(0,4)，必要性不成立．
因此，“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
根据圆锥曲线的标准方程，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆锥曲线的标准方程、充要条件的定义与判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设动圆的圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x+1)2+y2=36内切，且与圆C2：(x−1)2+y2=4外切，
所以|MC1|=6−r，|MC2|=r+2，可得|MC1|+|MC2|=8>|C1C2|=2，
根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a=8，2c=2，
可得a=4，c=1，则b= a2−c2= 15，所以动点M的轨迹方程为x216+y215=1．
综上所述，动圆的圆心M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．
故选：C．
设动圆的圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，由两圆相切的性质得到|MC1|=6−r，|MC2|=r+2，从而推导出|MC1|+|MC2|=8>|C1C2|=2，结合椭圆的定义得到正确答案．
本题主要考查圆与圆的位置关系、椭圆的定义、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知x23+y2=1的蒙日圆方程为x2+y2=4，
因为圆(x−3)2+(y−λ)2=9与圆x2+y2=4仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以 (3−0)2+(λ−0)2=3+2或 (3−0)2+(λ−0)2=|3−2|，
由此解得λ=±4．
故选：B．
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．
5.【答案】3
【解析】解：若直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，
则a⋅[−(a−1)]=−3×2且a×1≠2×(−1)，解得a=3．
故答案为：3．
根据两条直线平行与方程的关系，建立关于a的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】2 55
【解析】解：易知l1：2x−y+1=0与直线l2：2x−y−1=0平行，
这两条直线间的距离为d=|−1−1| 22+(−1)2=2 55．
故答案为：2 55．
由平行线间的距离公式可求得结果．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
7.【答案】−1
【解析】解：y=csx，
则y′=−sinx，
故余弦函数y=csx在x=π2处的导数是−sinπ2=−1．
故答案为：−1．
根据已知条件，结合导数的运算，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8.【答案】x=0或x=2
【解析】解：因为y=x3−3x2，则y′=3x2−6x，令y′=0，即3x2−6x=0，解得x=0或x=2，
所以驻点为x=0或x=2．
故答案为：x=0或x=2．
利用驻点的定义即可求出结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9.【答案】x+ 3y−4=0
【解析】解：根据题意，设点A的坐标为(1, 3)，圆x2+y2=4的圆心为O，则O(0,0)，
由于12+( 3)2=4，则A在圆x2+y2=4上，
kOA= 3−01−0= 3，则切线的斜率k=− 33，
故切线的方程为y− 3=− 33(x−1)，变形可得x+ 3y−4=0，
则切线的方程为x+ 3y−4=0．
故答案为：x+ 3y−4=0．
根据题意，设点A的坐标为(1, 3)，分析可得A在圆x2+y2=4上，进而求出切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．
本题考查圆的切线方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】(1,2)
【解析】解：方程x23−m+y2m−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则3−m>m−1m−1>0，
即1故答案为：(1,2)．
方程x23−m+y2m−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则3−m>m−1m−1>0，然后求解．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
11.【答案】−7
【解析】解：根据题意，圆x2+y2−4x+2y+m=0，
即(x−2)2+(y+1)2=5−m，其圆心为(2,−1)，半径r= 5−m,m<5，
若|AB|=4，则圆心到直线l即AB的距离d= r2−(|AB|2)2= 5−m−4= 1−m，
又由圆心到直线x+y−5=0的距离d=|2−1−5| 1+1=2 2，
则有 1−m=2 2，
解可得：m=−7．
故答案为：−7．
利用垂径定理列方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】解：由椭圆方程得：a=2，b=1，
∴c= a2−b2= 3，
∵∠F1PF2=90°，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=12，
由椭圆定义知：|PF1|+|PF2|=2a=4，
∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|=16−2|PF1|⋅|PF2|=12，
解得：|PF1|⋅|PF2|=2．
故答案为：2．
利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义即可求解．
本题考查椭圆的定义及性质，属于基础题．
13.【答案】y2−x23=1
【解析】解：∵双曲线4x2−12y2=3的渐近线方程为4x2−12y2=0，即x2−3y2=0，
∴设所求双曲线方程为x2−3y2=λ，又其过A(3,2)，
∴λ=9−3×4=−3，
∴所求双曲线方程为x2−3y2=−3，即y2−x23=1．
故答案为：y2−x23=1．
根据共渐近线的双曲线的特点即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
14.【答案】5
【解析】解：∵抛物线C的方程为：y2=4x，
∴p=2，F(1,0)，准线方程为x=−1，
∴Q(4,3)到准线的距离d=1+4=5，
∴|PF|+|PQ|≥d=5，当且仅当QP垂直准线时，等号成立，
∴|PF|+|PQ|的最小值为5．
故答案为：5．
利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
15.【答案】直线
【解析】解：由 (x−1)2+(y−2)2=|3x+4y−11|5得 (x−1)2+(y−2)2=|3x+4y−11| 32+42，
所以等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离，右边表示点P(x,y)到直线3x+4y−11=0的距离，两距离相等，
而点(1,2)在直线3x+4y+12=0上，
所以点P的轨迹是垂直直线3x+4y+12=0于点(1,2)的直线．
故答案为：直线．
利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了两点间距离公式和点到直线的距离公式，属于中档题．
16.【答案】4 2−5
【解析】解：如图，
M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x−5)2+(y−4)2=1上任意一点，
则|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|−1(当且仅当M、N、E共线时取等号)，
∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，
∵F2(1,0)，E(5,4)，则|EF2|= (5−1)2+(4−0)2=4 2，
∴|MN|−|MF1|的最小值为：4 2−5．
故答案为：4 2−5．
由题意画出图形，利用三角形两边之差小于第三边及椭圆定义转化，再由两点间的距离公式求解．
本题考查椭圆的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为y=xex，所以y′=ex+xex=(x+1)ex．
(2)因为y=2sin(1−3x)，
所以y′=2cs(1−3x)×(−3)=−6cs(1−3x)．
【解析】(1)利用基本函数的导数及求导法则，即可求出结果；
(2)利用基本函数的导数及复合函数的求导法则，即可求出结果．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为两直线互相垂直，所以所求直线的斜率为12，
故所求直线的方程y−1=12(x+2)，即x−2y+4=0；
(2)因为22+12=5>4，所以点P在圆外．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y−1=k(x+2)，即kx−y+2k+1=0．
由题意知圆O的圆心坐标为O(0,0)，半径为2．
因为圆心到切线的距离等于半径，所以|2k+1| k2+1=2，解得k=34，故直线l的方程为3x−4y+10=0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，也满足条件．
故直线l的方程为3x−4y+10=0或x=−2．
故答案为：3x−4y+10=0或x=−2．
【解析】(1)根据已知直线l的解析式可以求得直线l的斜率为，利用点斜式即可；
(2)分类讨论，利用点到直线的距离公式可得切线斜率，确定切线方程．
本题考查利用两直线位置关系，直线与圆相切求直线方程，属于基础题．
19.【答案】解：(1)易知a=2，b=1，
所以c= a2−b2= 3
则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8；
(2)易知F1(− 3,0),F2( 3,0)，E( 3,12)在椭圆上，
因为EF2⊥F1F2，
所以G( 3,−12)，
因为直线EF1的方程为x=4 3y− 3，
联立x=4 3y− 3x24+y2=1，
解得x=−15 313y=−126或x= 3y=12，
即F(−15 313,−126)，
所以F到直线EG的距离为d= 3+15 313=28 313，
因为EG=1，
所以△EFG的面积S=12×28 313×1=14 313．
【解析】(1)由题意，根据椭圆的定义分析求解即可；
(2)由题意可得F1(− 3,0),F2( 3,0)，进而可求直线EF1的方程，再求F，G的坐标，即可得解；
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为抛物线的焦点F到准线的距离为1，所以p=1，
故抛物线的标准方程为y2=2x；
(2)因为p=2，所以抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为(1,0)，
又因为直线l过焦点F且斜率为2，所以直线l的方程为：y=2x−2，
如图，设两交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程得y2=4xy=2x−2，消去y化简得：x2−3x+1=0，
则Δ=9−4=5>0，所以x1+x2=3，x1x2=1，
所以|AB|= 1+k2× (x1+x2)2−4x1x2= 1+4× 9−4=5，
又因为O到直线l的距离d=|−2| 5=2 55，
所以S△AOB=12×5×2 55= 5．
【解析】(1)根据焦点到准线的定义可知p=1，则方程可得；
(2)先写出过焦点的直线l的方程，联立抛物线求出弦长|AB|，再根据点到直线的距离求原点O到直线l的距离，代入面积公式即可．
本题考查了根据定义求抛物线的标准方程，抛物线中的三角形或四边形面积问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)双曲线C：y2−3x2=1，即y2−x213=1，
可得c2=1+13=43，解得c=2 33，即有F1(0,2 33)；
(2)设Q(m,n)，n≥1，则n2−3m2=1，即有m2=13(n2−1)，
|QN|= m2+(n−2)2= 13(n2−1)+n2−4n+4= 43n2−4n+113= 43(n−32)2+23，
当n=32时，|QN|取得最小值2 33，此时Q(± 156,32)；
(3)M(0,1)，联立y=x+t，与双曲线的方程y2−3x2=1，可得2x2−2tx+1−t2=0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则Δ=4t2−8(1−t2)>0，解得t2>23，
x1+x2=t，x1x2=12(1−t2)，
由CM⊥MD，可得y1−1x1⋅y2−1x2=−1，
即x1x2+(y1−1)(y2−1)=x1x2+(x1+t−1)(x2+t−1)=2x1x2+(t−1)(x1+x2)+(t−1)2=0，
即为1−t2+(t−1)t+(t−1)2=0，解得t=1，或t=2．
【解析】(1)由双曲线的方程求得c，可得所求焦点；
(2)设Q的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可得所求；
(3)联立直线方程与双曲线的方程，运用韦达定理，结合两直线垂直的条件，化简整理，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．