浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第35讲方程函数思想型问题讲解篇

这是一份浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第35讲方程函数思想型问题讲解篇，共12页。


类型一 运用方程思想求解几何综合性问题
eq \a\vs4\al(例1) 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似？若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．
【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．
(2016·舟山)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( )
A.eq \r(5) B.eq \f(13,6) C．1 D.eq \f(5,6)
类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题
eq \a\vs4\al(例2) (2017·杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏．
2．(1)已知函数y＝x和y＝eq \r(x＋2)的图象如图，则不等式eq \r(x＋2)>x的解集为( )
A．－2≤x<2 B．－2≤x≤2 C．x<2 D．x>2

(1)图 (2)图
(2)如图，已知函数y＝－eq \f(3,x)与y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋eq \f(3,x)＝0的解为 .
类型三 运用方程、函数思想求解几何最值问题
eq \a\vs4\al(例3) (2016·黄冈模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)，旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H, 四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：
(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
(2)连结HK，设BH＝x.
①当△CKH的面积为eq \f(5,2)时，求出x的值；
②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．


【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题．解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式．
(2015·德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取的值为 cm.
类型四 运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题
eq \a\vs4\al(例4) (2015·汕尾)如图，已知直线y＝－eq \f(3,4)x＋3分别与x、y轴交于点A和B.
(1)求点A、B的坐标；
(2)求原点O到直线l的距离；
(3)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，借助这些知识，再利用方程、函数思想来解决问题．以此设计问题在中考中出现的频率很高，是中考中比较典型的题型．
如图，已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点C为OA的中点，求BC的长；
(3)以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式．


类型五 运用方程、函数思想求解实际问题
eq \a\vs4\al(例5) 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
【解后感悟】本题是通过方程、函数思想解决实际问题，一是通过方程思想列函数解析式，二是通过函数思想解决变量间关系．
5．(2015·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？
(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
【开放探究题】
实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45.求k的值；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

【方法与对策】本题实质是通过方程、函数思想解决反比例函数与二次函数综合应用问题，根据图象得出正确信息是解题关键， 这是中考中的新题型．
【忽视变量范围而出错】
在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连结AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长．
参考答案
第35讲 方程、函数思想型问题
【例题精析】
例1 (1)根据题意AP＝4xcm，AQ＝AC－QC＝(30－3x)cm，若PQ∥BC，则eq \f(AP,AB)＝eq \f(AQ,AC).则eq \f(4x,20)＝eq \f(30－3x,30)，解得x＝eq \f(10,3).所以当运动时间为eq \f(10,3)s时，PQ∥BC. (2)因为∠A＝∠C，所以当eq \f(AP,CQ)＝eq \f(AQ,CB)或eq \f(AP,CB)＝eq \f(AQ,CQ)时，△APQ能与△CQB相似．①当eq \f(AP,CQ)＝eq \f(AQ,CB)时，eq \f(4x,3x)＝eq \f(30－3x,20)，解得x＝eq \f(10,9)，所以AP＝4x＝eq \f(40,9)cm.②当eq \f(AP,CB)＝eq \f(AQ,CQ)时，eq \f(4x,20)＝eq \f(30－3x,3x)，解得x1＝5，x2＝－10(舍去)．所以AP＝4x＝20cm.所以当AP＝eq \f(40,9)cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
例2 (1)函数y1的图象经过点(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函数y1的表达式为y＝(x－2)(x＋2－1)，化简，得y＝x2－x－2；或函数y1的表达式为y＝(x＋1)(x－2)化简，得y＝x2－x－2，综上所述：函数y1的表达式为y＝x2－x－2； (2)当y＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的图象与x轴的交点是(－a，0)，(a＋1，0)，当y2＝ax＋b经过(－a，0)时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y2＝ax＋b经过(a＋1，0)时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a； (3)当P在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤eq \f(1,2)；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得eq \f(1,2)＜x0＜1，综上所述：x0的取值范围为0＜x0＜1.
例3 (1)在旋转过程中，BH＝CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．理由如下：连结OC.∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB，∴∠OCK＝∠B＝45°，CO＝OB.又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，∴∠COK＝∠BOH＝α，在△COK和△BOH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACO＝∠B，,OC＝OB，,∠COK＝∠BOH，))∴△COK≌△BOH，∴BH＝CK，S四边形CHOK＝S△COK＋S△COH＝S△BOH＋S△COH＝S△COB＝eq \f(1,2)S△ABC＝9. (2)①由(1)知CK＝BH＝x，∵BC＝6，∴CH＝6－x，根据题意，得eq \f(1,2)CH·CK＝eq \f(5,2)，即(6－x)x＝5，解这个方程得x1＝1，x2＝5，此两根满足条件：00，∴当x＝3时，函数S△OKH有最小值eq \f(9,2)，∵x＝3满足条件0例4 (1)当x＝0时，y＝3，∴B点坐标(0，3)；当y＝0时，有0＝－eq \f(3,4)x＋3，解得x＝4，∴A点坐标为(4，0)．
(2)过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，在Rt△BOA中，OA＝4，OB＝3，由勾股定理可得AB＝5，∵S△BOA＝eq \f(1,2)OB×OA＝eq \f(1,2)AB×OC，∴OC＝eq \f(OB×OA,AB)＝eq \f(12,5)，∴原点O到直线l的距离为eq \f(12,5). (3)过M作MD⊥AB交AB于点D，当圆M在直线l下方与直线相切时，MD＝2，在△BOA和△BDM中，∵∠OBA＝∠DBM，∠BOA＝∠BDM，∴△BOA∽△BDM，∴eq \f(AB,MB)＝eq \f(OA,DM)，∴BM＝eq \f(AB×DM,OA)＝eq \f(5,2)，∴OM＝OB－BM＝eq \f(1,2)，当⊙M在直线l上方与直线相切时，同理可得OM＝OB＋BM＝eq \f(11,2)，∴点M的坐标为M(0，eq \f(1,2))或M(0，eq \f(11,2))．
例5 (1)∵z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1800，∴z与x之间的函数解析式为z＝－2x2＋136x－1800. (2)由z＝350，得350＝－2x2＋136x－1800，解这个方程得x1＝25，x2＝43.∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润．∵z＝－2x2＋136x－1800＝－2(x－34)2＋512，∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
(3)结合(2)及函数z＝－2x2＋136x－1800的图象(如图所示)可知，当25≤x≤43时，z≥350.又由限价32元，得25≤x≤32.根据一次函数的性质，得y＝－2x＋100中y随x的增大而减小，∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×(－2×32＋100)＝648(万元)．∴所求每月最低制造成本为648万元．
【变式拓展】
D 2.(1)A (2)x＝－3 3.15
(1)∵点A(a，12)在直线y＝2x上，∴12＝2a，解得：a＝6，又∵点A是抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx上的一点，将点A(6，12)代入y＝eq \f(1,2)x2＋bx，可得b＝－1，∴抛物线解析式为y＝eq \f(1,2)x2－x. (2)∵点C是OA的中点，∴点C的坐标为(3，6)，把y＝6代入y＝eq \f(1,2)x2－x，解得：x1＝1＋eq \r(13)，x2＝1－eq \r(13)(舍去)，故BC＝1＋eq \r(13)－3＝eq \r(13)－2. (3)∵点D的坐标为(m，n)，∴点E的坐标为(eq \f(1,2)n，n)，点C的坐标为(m，2m)，∴点B的坐标为(eq \f(1,2)n，2m)，把点B(eq \f(1,2)n，2m)代入y＝eq \f(1,2)x2－x，可得m＝eq \f(1,16)n2－eq \f(1,4)n，∴m、n之间的关系式为m＝eq \f(1,16)n2－eq \f(1,4)n.
5.(1)设购进甲种服装x件，由题意可知：80x＋60(100－x)≤7500，解得：x≤75.答：甲种服装最多购进75件． (2)设总利润为W元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.W＝(40－a)x＋30(100－x)＝(10－a)x＋3000.方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，W随x的增大而增大，所以当x＝75时，W有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，W随x的增大而减小，所以当x＝65时，W有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【热点题型】
【分析与解】(1)①当x＝－eq \f(b,2a)＝1时，y＝200，∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升． ②∵当x＝5时，y＝45，且(5，45)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)图象上，∴把(5，45)代入y＝eq \f(k,x)得45＝eq \f(k,5)，解得k＝225. (2)把y＝20代入反比例函数y＝eq \f(225,x)得x＝11.25.∴喝完酒经过11.25时为早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班．
【错误警示】(1)由△APE≌△ADE可得AP＝AD＝3，在Rt△ABP中，运用勾股定理即可求得BP的长．∵△APE≌△ADE，∴AP＝AD＝3.在Rt△ABP中，AB＝2，∴BP＝eq \r(AP2－AB2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5). (2)由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式．化为顶点式即可求得当x＝eq \f(3,2)时，y的值最大，最大值是eq \f(9,8).∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.∴eq \f(AB,PC)＝eq \f(BP,CE)，即eq \f(2,3－x)＝eq \f(x,y)，∴y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x，∵y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＝－eq \f(1,2)(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(9,8)，∴当x＝eq \f(3,2)时，y的值最大，最大值是eq \f(9,8). (3)由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长．设BP＝x，由(2)得CE＝y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x，∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.∴eq \f(CP,CB)＝eq \f(CE,CD)，即eq \f(3－x,3)＝eq \f(－\f(1,2)x2＋\f(3,2)x,2)，化简得3x2－13x＋12＝0，解得x1＝eq \f(4,3)或x2＝3(不合题意，舍去)，∴当BP＝eq \f(4,3)时，PE∥BD.
内容
特性
1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．
2．函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
解题
策略
(1)解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；
(2)解决几何综合问题时，常从面积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；
(3)解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；
(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.
基本
思想
利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.