浙江省中考数学总复习阶段检测9图形的相似与解直角三角形试题

这是一份浙江省中考数学总复习阶段检测9图形的相似与解直角三角形试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4eq \r(2) C．6 D．4eq \r(3)
4．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为( )
A．40m B．60m C．120m D．180m
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25

第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于csA的值的是( )
A.eq \f(AD,AC) B.eq \f(AC,AB) C.eq \f(BD,BC) D.eq \f(CD,BC)
7．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米 D．AB＝eq \f(1.2,cs10°)米
8．如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A．5sin36°米 B．5cs36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
第8题图
9．下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47°≈0.7313，cs47°≈0.6820，tan47°≈1.0724，eq \f(1,tan47°)≈0.9325，根据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度( )
B．74.07m C．84.08m D．88.78m
当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距(地球半径约为6400km，π≈3，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留整数)( )
第10题图
A．2133km B．2217km C．2298km D．7467km
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11．如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝ .

第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 km.
13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米．
14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB＝6，AD＝5，则DE的长为____________________．

第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连结AI，交FG于点Q，则QI＝ .
16．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 .
三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)
17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
第17题图


18．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)
第18题图

小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
第19题图

20．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq \f(1,8).
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7，eq \r(5)≈2.2)
第20题图

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(5,3)))，点D的坐标为(0，1)．
第21题图
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

22．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，AB＝10，P是边AC上一点(不包括端点A、C)，过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F.设PC＝x，PE＝y.
第22题图
(1)求y与x的函数关系式；
(2)是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

23．如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连结DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．解答下列问题：
第23题图
(1)用含有t的代数式表示AE＝ ；
(2)当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形；
(3)如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒eq \r(3)cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连结MN.
第24题图
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
阶段检测9 图形的相似与解直角三角形
一、1—5.ACBCB 6—10.CBCBA
二、11.eq \f(\r(5),5) 12.eq \r(3) 13.(14＋2eq \r(3)) 14.eq \f(11,5) 15.eq \f(4,3) 16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，(2，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，0))
三、17.在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝eq \f(BC,tanA)＝2eq \r(3)，则EF＝AC＝2eq \r(3)，∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝eq \r(6)，∴AF＝AC－FC＝2eq \r(3)－eq \r(6).
如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝32m，∴AD＝CD＝AB·sin30°＝16m，BD＝AB·cs30°＝16eq \r(3)m，∴BC＝CD＋BD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16＋16\r(3)))m，则BH＝BC·sin30°＝(8＋8eq \r(3))m.
第18题图
19.
作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝45°，∠BDF＝60°，∴CM＝eq \f(AM,tan45°)＝eq \f(60,1)＝60米，DN＝eq \f(BN,tan60°)＝eq \f(60,\r(3))＝20eq \r(3)米，∴AB＝CD＋DN－CM＝100＋20eq \r(3)－60＝(40＋20eq \r(3))米，即A、B两点的距离是(40＋20eq \r(3))米．
第19题图
20．(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠C＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝eq \f(1,2)AC＝2，CD＝AC·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，在Rt△ABD中，tanB＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,BD)＝eq \f(1,8)，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2eq \r(3)；
第20题图
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝eq \f(AD,MD)＝eq \f(2,4＋2\r(3))＝eq \f(1,2＋\r(3))＝2－eq \r(3)≈0.3.
21．(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(5,3)))，D(0，1)代入得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)k＋b＝\f(5,3)，,b＝1，))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))故直线AD的解析式为：y＝eq \f(1,2)x＋1；
第21题图
(2)∵直线AD与x轴的交点为(－2，0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1，∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3，∴BC＝5，∵△BOD与△BCE相似，∴eq \f(BD,BC)＝eq \f(BO,BE)＝eq \f(OD,CE)或eq \f(OB,BC)＝eq \f(OD,CE′)，∴eq \f(\r(5),5)＝eq \f(2,BE)＝eq \f(1,CE)或eq \f(2,5)＝eq \f(1,CE′)，∴BE＝2eq \r(5)，CE＝eq \r(5)，或CE′＝eq \f(5,2)，∴E(2，2)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,2))).
22．(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，AB＝10，∴sinC＝eq \f(1,2)，∵PE⊥BC于点E，∴sinC＝eq \f(PE,PC)＝eq \f(1,2)，∵PC＝x，PE＝y，∴y＝eq \f(1,2)x(0＜x＜20)； (2)存在点P使△PEF是Rt△，①如图1，当∠FPE＝90°时，四边形PEBF是矩形，BF＝PE＝eq \f(1,2)x，四边形APEF是平行四边形，PE＝AF＝eq \f(1,2)x，∵BF＋AF＝AB＝10，∴x＝10；②如图2，当∠PFE＝90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，eq \f(AF,AC)＝eq \f(AP,AB)，AF＝40－2x，平行四边形AFEP中，AF＝PE，即：40－2x＝eq \f(1,2)x，解得x＝16；③当∠PEF＝90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF.综上所述，当x＝10或x＝16时，存在点P使△PEF是Rt△.

第22题图
23．(1)(5－t)cm ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.∴由勾股定理得：AB＝10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝(10－2t)cm，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝eq \f(1,2)AP＝(5－t)cm； (2)当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴eq \f(QA,AP)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(2t,10－2t)＝eq \f(8,10)，解之得：t＝eq \f(20,9).∴当t＝eq \f(20,9)时，▱AQPD是矩形； (3)当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cs∠BAC＝eq \f(AE,AQ)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(5－t,2t)＝eq \f(4,5)，解之得：t＝eq \f(25,13).∴当t＝eq \f(25,13)时，▱AQPD是菱形．
24.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5eq \r(3).由题意知：BM＝2t，CN＝eq \r(3)t，∴BN＝5eq \r(3)－eq \r(3)t，∵BM＝BN，∴2t＝5eq \r(3)－eq \r(3)t，解得：t＝eq \f(5\r(3),2＋\r(3))＝10eq \r(3)－15. (2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则eq \f(MB,AB)＝eq \f(BN,BC)，即eq \f(2t,10)＝eq \f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3))，解得：t＝eq \f(5,2).②当△NBM∽△ABC时，则eq \f(NB,AB)＝eq \f(BM,BC)，即eq \f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq \f(2t,5\r(3))，解得：t＝eq \f(15,7).综上所述：当t＝eq \f(5,2)或t＝eq \f(15,7)时，△MBN与△ABC相似． (3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴eq \f(MD,AC)＝eq \f(BM,AB)，即eq \f(MD,5)＝eq \f(2t,10)，解得：MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝eq \f(1,2)×5×5eq \r(3)－eq \f(1,2)(5eq \r(3)－eq \r(3)t)·t＝eq \f(\r(3),2)t2－eq \f(5\r(3),2)t＋eq \f(25\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(75,8)eq \r(3).∴根据二次函数的性质可知，当t＝eq \f(5,2)时，y的值最小．此时，y最小＝eq \f(75,8)eq \r(3).
第24题图
题目
在山脚下测量铁塔顶端到山底的高度
测量目
标图示
CD＝5m
∠α＝45°，∠β＝47°