第2讲不等式推理与证明专项练习-2024届高三数学二轮专题复习

这是一份第2讲不等式推理与证明专项练习-2024届高三数学二轮专题复习，共12页。试卷主要包含了故选C，故选B等内容，欢迎下载使用。


1.[2023·福建三模]若a>0，b>0，则“a＋b<2”的一个必要不充分条件是( )
A. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)<1 B．ab<1
C.a2＋b2<2 D． eq \r(a)< eq \r(2－b)
2．[2023·河北省石家庄市第二中学高三月考]已知集合A＝{x|sin x＝0，x∈R}，集合B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x－7,x)))≤0，x∈R}，则A∩B＝( )
A.{0，π，2π} B．{π，2π}
C.{ eq \f(π,2)， eq \f(3π,2)，7} D．{ eq \f(π,2)， eq \f(3π,2)}
3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是( )
A.1C.－54．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，1))
B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(4,3)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪(1，＋∞)
D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－∞))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
5．[2023·广东省部分地市高三模拟]若集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,x＋1)))≤0}，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A.[－3，－1] B．[－3，－1)
C.(－∞，－1) D．(－∞，－1]
练后领悟
1．明确解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．简单分式不等式的解法
(1) eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2) eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
警示 解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
考点二 基本不等式——巧变形，会配凑
1.[2023·济南市历城第二中学模拟]已知0A.5 B．6 C．7 D．8
2．[2023·湖南省益阳市高三月考]已知正数x，y满足2xy＝x＋2y，则4 eq \f(1,x)＋2 eq \f(1,y)的最小值为( )
A.2 B．4 C．2 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
3．[2023·河南许昌模拟]若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．2 D．4
4．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为( )
A.4 B．6 C．8 D．9
5．[2023·甘肃张掖高三期末]在等差数列{an}中an>0，且a1＋a2＋…＋a2 019＝4 038，则a1·a2 019的最大值等于( )
A.4 B．6 C．8 D．9
6．[2023·江苏省镇江中学高三检测]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A.a2b＋ab2的最小值为 eq \f(1,4)
B. eq \r(a)＋ eq \r(b)的最大值为1
C. eq \f(a＋2b＋2,ab)的最小值为7＋4 eq \r(3)
D. eq \f(1,2a＋b)＋ eq \f(4,a＋2b)的最小值为3
练后领悟
基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋ eq \f(A,g（x）)＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒为正或恒为负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
警示 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
考点三 线性规划——以线为界画区域，用点坐标求最值
1.[2023·四川省成都市石室中学检测]若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤1,x＋y≤1,2y＋x≥1))，则z＝2x－y的最大值为________．
2．[2023·四川省成都市四七九名校高三模拟]已知实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥－2x,y≤1－x,y≥x))，则 eq \f(y,x＋7)的最大值是________．
3．[2023·河南省开封市高三联考]已知实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0,3x－y－3≤0,x＋y－1≥0))，则(2－x)y＋(2－y)x－x2－y2的最小值为________．
4．[2023·广西南宁市第三中学高三一模]设实数x、y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥2,x＋y≤6,2x－y≥0))，z＝mx＋y在点(2，4)处取得最大值，写出满足条件的一个m的值________．
5．[2023·江西省重点中学协作体高三联考]已知实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0,x＋y－2≥0,x≤1))，则z＝ eq \f(|x|,\r(x2＋2xy＋y2))的取值范围是________．
练后领悟
解决线性规划问题应把握三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
警示 解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
考点四 推理与证明——以“理”助“推”，以“法”帮“推”
1.
[2023·湖南省名校高三仿真模拟]如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边；接着画正五边形，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第n＋1条线段所夹的角为θn(n∈N*，θn∈(0，π))，则满足θn>174°的最小n值为__________．
2．[2023·江西省鹰潭市高三一模]观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律写出第九个等式为______________．
3．[2023·四川省绵阳三诊]南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，……，则第100层球的个数为______．
4．[2023·陕西省汉中市高三检测]若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a，b，c，则S＝ eq \f(1,2)(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝____________．
5．[2023·黑龙江省实验中学高三模拟]某项球类比赛的决赛阶段只有中国、美国、德国、巴西、西班牙、法国六个国家参加，球迷甲、乙、丙对哪个国家会获得此次比赛的冠军进行了一番讨论．甲认为，西班牙和法国都不可能获得冠军；乙认为，冠军是美国或者是德国；丙坚定地认为冠军绝不是巴西．比赛结束后，三人发现他们中恰有两个人的看法是对的，那么获得冠军的国家是__________．
6．[2023·安徽省铜陵市高三三模]“康威生命游戏(Game f Life)”是由剑桥大学约翰·何顿·康威教授设计的一款计算机程序，模拟生命之间既协同又竞争的生存定律．程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格放置一个生命细胞，用黑色方格表示该细胞为“存活”状态，白色方格(空格)表示该细胞为“死亡”状态，初始时每个细胞随机地设定为“存活”或“死亡”之一的某个状态，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出其细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出其细胞的生死分布图，以此类推，每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态决定，规则如下表所示：
若某种初始状态在迭代过程中细胞的生死分布图发生改变，并在迭代了若干代之后能够回到初始状态，则称该初始状态对应的图形为“振荡器”．下列四种初始状态中(图中未画出的网格外侧均视为空格)，对应的图形为“振荡器”的是________(填序号).
练后领悟
1．破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律).
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想).
(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2．破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
警示 反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面．
第2讲 不等式、推理与证明
考点一
1．解析：因为a>0，b>0，
对于A，当a＋b<2，取a＝b＝ eq \f(1,2)，明显可见， eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)<1不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当a＋b<2，02，则a＋b<2不成立，充分性不成立，则B正确；
对于C，当a＋b<2，取a＝ eq \f(3,2)，b＝ eq \f(1,4)，明显可见，a2＋b2＝ eq \f(9,4)＋ eq \f(1,16)>2，则a2＋b2<2不成立，故必要性不成立，则C错误；
对于D，当a＋b<2成立，则0答案：B
2．解析：因为A＝{x|sin x＝0，x∈R}，则x＝kπ，k∈Z，所以A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，因为B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x－7,x)))≤0，x∈R}，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x－7）≤0,x≠0))，解得0答案：B
3．解析：当a＋1＝0，即a＝－1时，（a＋1）x2－（a＋1）x－1<0可化为－1<0，即不等式－1<0恒成立；
当a＋1≠0，即a≠－1时，因为（a＋1）x2－（a＋1）x－1<0对一切实数x恒成立，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1<0,（a＋1）2＋4（a＋1）<0))，
解得－5答案：C
4．解析：由题意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个解，代入方程得到 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4＋1＝－\f(b,a),－4×1＝\f(c,a)))⇒b＝3a，c＝－4a，a<0，
不等式b（x2＋1）－a（x＋3）＋c>0可化为3a（x2＋1）－a（x＋3）－4a>0，
即3（x2＋1）－（x＋3）－4<0，解得x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(4,3))).
故选B.
答案：B
5．解析：依题意，A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,x＋1)))≤0}＝{x|－3≤x<－1}，
方程2x2－（2a＋1）x＋a＝0⇔（2x－1）（x－a）＝0⇔x＝ eq \f(1,2)或x＝a.
当a> eq \f(1,2)时，B＝[ eq \f(1,2)，a]，此时A∩B＝∅，不合题意；
当a＝ eq \f(1,2)时，B＝{ eq \f(1,2)}，此时A∩B＝∅，不合题意；
当－1≤a< eq \f(1,2)时，B＝[a， eq \f(1,2)]，此时A∩B＝∅，不合题意；
当a<－1时，B＝[a， eq \f(1,2)]，此时A∩B≠∅，适合题意；
综上，a<－1.
故选C.
答案：C
考点二
1．解析： eq \f(1,x)＋ eq \f(1＋2x,1－2x)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(－（1－2x）＋2,1－2x)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(2,1－2x)－1，
因为2x＋1－2x＝1，又00，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,1－2x)－1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,1－2x)))[2x＋（1－2x）]－1＝3＋ eq \f(1－2x,x)＋ eq \f(4x,1－2x)≥3＋2 eq \r(\f(1－2x,x)·\f(4x,1－2x))＝7，
当且仅当 eq \f(1－2x,x)＝ eq \f(4x,1－2x)，即x＝ eq \f(1,4)时，取等号，即 eq \f(1,x)＋ eq \f(1＋2x,1－2x)的最小值是7.故选C.
答案：C
2．解析：因为正数x、y满足2xy＝x＋2y，在等式2xy＝x＋2y两边同时除以2xy可得 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,2y)＝1，由基本不等式可得4 eq \f(1,x)＋2 eq \f(1,y)＝4 eq \f(1,x)＋4 eq \f(1,2y)≥2 eq \r(4\f(1,x)4\f(1,2y))＝2 eq \r(4\f(1,x)＋\f(1,2y))＝2 eq \r(4)＝4，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,2y)＝1,\f(1,x)＝\f(1,2y)))时，即当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1))时，等号成立，故4 eq \f(1,x)＋2 eq \f(1,y)的最小值为4.故选B.
答案：B
3．解析：圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，圆心为（－1，2），半径为2，若直线被截得的弦长为4，说明圆心在直线：2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))（a＋b）＝2＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2＋2＝4，
当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)，即a＝b＝ eq \f(1,2)时，等号成立．故选D.
答案：D
4．解析：由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点），则由共线向量定理可知：
设 eq \(BE,\s\up6(→))＝λ eq \(BD,\s\up6(→))（0＜λ＜1），
∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ（ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))）＝（1－λ） eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(λ,2) eq \(AC,\s\up6(→))，
∴x＝1－λ，y＝ eq \f(λ,2)（x＞0，y＞0），
∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ)＝（ eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ)）[（1－λ）＋λ]＝4＋ eq \f(2λ,1－λ)＋ eq \f(2（1－λ）,λ)≥4＋2 eq \r(\f(2λ,1－λ)·\f(2（1－λ）,λ))＝8，
当且仅当 eq \f(2λ,1－λ)＝ eq \f(2（1－λ）,λ)，即λ＝ eq \f(1,2)时取等号，故 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为8.
答案：C
5．解析：因为在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a2 019＝4 038，所以 eq \f(2 019（a1＋a2 019）,2)＝4 038，即a1＋a2 019＝4，
又an>0，所以a1·a2 019≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a1＋a2 019,2)))2＝4，
当且仅当a1＝a2 019＝2时，等号成立，所以，a1·a2 019的最大值为4.故选A.
答案：A
6．解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1.
对于A，a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，故A错误；
对于B，当a＝b＝ eq \f(1,2)时， eq \r(a)＋ eq \r(b)＝ eq \r(2)>1，故B错误；
对于C， eq \f(a＋2b＋2,ab)＝ eq \f(a＋2b＋2（a＋b）,ab)＝ eq \f(3a＋4b,ab)＝ eq \f(3,b)＋ eq \f(4,a)＝（ eq \f(3,b)＋ eq \f(4,a)）（a＋b）＝7＋（ eq \f(3a,b)＋ eq \f(4b,a)）≥7＋4 eq \r(3)，当且仅当 eq \f(3a,b)＝ eq \f(4b,a)，即a＝4－2 eq \r(3)，b＝2 eq \r(3)－3时取等号，故C正确；
对于D， eq \f(1,2a＋b)＋ eq \f(4,a＋2b)＝（ eq \f(1,2a＋b)＋ eq \f(4,a＋2b)）· eq \f(1,3)[（2a＋b）＋（a＋2b）]＝ eq \f(1,3)[5＋（ eq \f(a＋2b,2a＋b)＋ eq \f(4（2a＋b）,a＋2b)）]≥3，当且仅当 eq \f(a＋2b,2a＋b)＝ eq \f(4（2a＋b）,a＋2b)，即a＝0时，等号成立，这与已知a>0不符合，故等号不成立，故D错误．
故选C.
答案：C
考点三
1．解析：作约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤1,x＋y≤1,2y＋x≥1))的可行域，如图所示．
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1,2y＋x＝1))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝0))，令N（1，0）.
将目标函数z＝2x－y变形为y＝2x－z，表示斜率为2，纵截距为－z的直线，
根据其几何意义可得，当直线y＝2x－z经过点N（1，0）时，其纵截距最小，
即当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝0))时，目标函数z取到最大值，则z＝2x－y的最大值为2.
答案：2
2．解析：根据题意，作出 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥－2x,y≤1－x,y≥x))，所表示的可行域，如图所示（阴影部分）.
eq \f(y,x＋7)表示可行域内的点与（－7，0）所连直线的斜率，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0,x＋y－1＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即A（－1，2），
数形结合可知 eq \f(y,x＋7)的最大值是 eq \f(2,－1＋7)＝ eq \f(1,3).
答案： eq \f(1,3)
3．解析：不等式组表示的可行域如图所示，为△ABC及其内部的阴影区域，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0,3x－y－3＝0))可得C（2，3），
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0,x＋y－1＝0))可得A（0，1），
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－3＝0,x＋y－1＝0))可得B（1，0），
令t＝x＋y，则y＝－x＋t，结合可行域知，当直线y＝－x＋t与直线AB重合时t取得最小值1，经过点C时t取得最大值5，即1≤t≤5，（2－x）y＋（2－y）x－x2－y2＝2（x＋y）－（x＋y）2＝－t2＋2t＝－（t－1）2＋1，
当t＝5时，取得最小值－15.
答案：－15
4．解析：作出不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥2,x＋y≤6,2x－y≥0))所表示的可行域，如图所示：
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝0,x＋y＝6))可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝4))，即点A（2，4），
化直线方程z＝y＋mx为y＝－mx＋z，
当－m≥0，且－m<2，y＝－mx＋z过（2，4）有最大的纵截距，
即z＝mx＋y在点（2，4）取得最大值，则－2当－m≤0，且－m>－1，y＝－mx＋z过（2，4）有最大的纵截距，
此时z＝mx＋y在点（2，4）取得最大值，则0≤m<1，
∴m∈（－2，1），故可取m＝0.
答案：0（答案不唯一）
5．解析：实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0,x＋y－2≥0,x≤1))，可得可行域如图：
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,x＋y－2＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))，即A（1，1），
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0,x－y＋1＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2),y＝\f(3,2)))，即B（ eq \f(1,2)， eq \f(3,2)），
则kOA＝1，kOB＝ eq \f(\f(3,2),\f(1,2))＝3，所以 eq \f(y,x)∈[1，3]，
所以z＝ eq \f(|x|,\r(x2＋2xy＋y2))＝ eq \r(\f(x2,x2＋2xy＋y2))
＝ eq \r(\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))\s\up12(2)＋2·\f(y,x)＋1))，
令t＝ eq \f(y,x)，则t∈[1，3]，令g（t）＝t2＋2t＋1，t∈[1，3]，
显然g（t）在[1，3]上单调递增，所以g（t）∈[4，16]，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x))) eq \s\up12(2)＋2· eq \f(y,x)＋1∈[4，16]，
则 eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))\s\up12(2)＋2·\f(y,x)＋1)∈[ eq \f(1,16)， eq \f(1,4)]，
所以 eq \r(\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))\s\up12(2)＋2·\f(y,x)＋1))∈[ eq \f(1,4)， eq \f(1,2)]，
所以z＝ eq \f(|x|,\r(x2＋2xy＋y2))的取值范围是[ eq \f(1,4)， eq \f(1,2)].
答案：[ eq \f(1,4)， eq \f(1,2)]
考点四
1．解析：由题意得，第一条线段与第二条线段所夹的角θ1＝60°，由此类推，θ2＝90°，θ3＝90°，θ4＝108°，θ5＝108°，θ6＝108°，θ7＝120°，θ8＝120°，θ9＝120°，θ10＝120°，…，
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有2个90°，正五边形有3个108°，正六边形有4个120°，…，
所以正k边形有k－2个 eq \f(180°（k－2）,k).
要使θk>174°，需使 eq \f(180°（k－2）,k)>174°，解得k>60，所以k的最小值为61，
又观察图形可得正三角形画2条线段，正方形画2条线段，正五边形画3条线段，正六边形画4条线段，…，正k边形画k－2条线段，所以画完正k边形时，画线段的条数为m＝2＋2＋3＋4＋…＋（k－2）＝2＋ eq \f(k（k－3）,2)，
当k＝60时，可得m＝1 712，
所以从第1 712条线段与第1 713条线段所夹的角开始都满足θn>174°，
即满足θn>174°的最小n值为1 712.
答案：1 712
2．解析：根据题意，分析题干所给的等式可得：
13＋23＝（1＋2）2＝32，
13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62，
13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2＝102，
则13＋23＋33＋43＋…＋n3＝（1＋2＋3＋4＋…＋n）2＝[ eq \f(n（n＋1）,2)]2，
故第九个等式为：
13＋23＋33＋43＋…＋103＝（ eq \f(10×11,2)）2＝552.
答案：13＋23＋33＋43＋…＋103＝552
3．解析：设第n层的个数为an，根据题意可得an＋1－an＝n＋1，
所以a100＝（a100－a99）＋（a99－a98）＋（a98－a97）＋…（a2－a1）＋a1＝100＋99＋98＋…＋2＋1＝ eq \f(100×（100＋1）,2)＝5 050.
答案：5 050
4．解析：如果四面体A­BCD，其内切球球心为O，
则V＝VO­ABC＋VO­ADC＋VO­ABD＋VO­BCD
＝ eq \f(1,3)S1R＋ eq \f(1,3)S2R＋ eq \f(1,3)S3R＋ eq \f(1,3)S4R
＝ eq \f(1,3)（S1＋S2＋S3＋S4）R.
答案： eq \f(1,3)（S1＋S2＋S3＋S4）R
5．解析：根据题意，有
因此获得冠军的国家是中国．
答案：中国
6．解析：根据题意，四种初始状态变化如下：
（1）保持初始状态不变，不符合条件；
（2） 符合条件；
（3）符合条件；
（4）不再变化，不符合条件．
答案：（2）（3）
导向性
考查数学运算的学科素养．
原则性
考查基础知识，与集合等知识相结合．
导向性
综合性强，考查转化思想．
原则性
核心考点，多在知识交汇处命题．注意构造法的应用．
导向性
考查数形结合思想．
原则性
考查单一，但属高频考点．
导向性
考查逻辑推理的学科素养．
原则性
与数式、图形、解析几何、数列、数学文化交汇，属冷考点．
当代细
胞状态
存活
存活
存活
死亡
死亡
周围存
活细胞数
0或1
2或3
≥4
3
≠3
迭代后
细胞状态
死亡
存活
死亡
存活
死亡
模拟
规律
个体由于得不到同伴的照应而走向死亡
既有充足的资源，又有同伴的扶持，保持存活
种群过度繁殖，争夺资源，导致个体数量下降
模拟
繁殖
冠军
甲
乙
丙
中国
对
不对
对
美国
对
对
对
德国
对
对
对
巴西
对
不对
不对
西班牙
不对
不对
对
法国
不对
不对
对