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2024年江苏省宿迁市泗阳县致远中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年江苏省宿迁市泗阳县致远中学中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.已下列各式正确的是( )
A. |−3|=|3|B. |−3|=−|3|C. |−3|=−3D. |−3|=1−3
3.函数y=1x−3+ x−2的自变量x的取值范围是( )
A. x≥2，且x≠3B. x≥2C. x≠3D. x>2，且x≠3
4.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如果两个三角形相似比是4：9，则它们的周长比是( )
A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 16：729
6.一元一次不等式组x−1≥0x<2的解集为( )
A. B.
C. D.
7.如果点P(m,1+2m)在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A. −12−12C. m<0D. m<−12
8.如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为( )
A. 3 2
B. 3 5
C. 3 7
D. 6 2
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC=110°，则∠ADC=( )
A. 55°B. 110°C. 125°D. 70°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.正六边形的外角和是______．
12.将数字5200000用科学记数法表示为______．
13.已知圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的侧面积是______cm2．
14.如图，△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E.若S△ADES△ABC=425，BC=10，则DE=______．
15.若关于x的一元二次方程x2+2x−3=0的两根分别为x1，x2，则x1⋅x2值是______．
16.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A=30°，AB=2 3，BC=3，则OC的长度是______．
17.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y=a−1x(a>1)的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD=5，则a的值为______．
18.已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，⋯，an+1=1+an1−an，若a1=2，则a2024的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算： 4+(12)2+ 12+2024．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：a2−4a÷(1−2a)，其中a=3．
21.(本小题8分)
在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘(每个转盘都被分成3等份)一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是______；
(2)若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．
22.(本小题8分)
学校调查了某班同学上学的方式有四种：骑自行车、步行、乘坐公交车和家长接送(分别用A、B、C、D表示)，根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成)，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这个班级学生共有多少人？
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
(4)已知步行上学的同学中有3名女同学，学校将从步行上学的同学中随机选出2名同学参加交通安全知识培训，求所选2名同学恰好是一男一女的概率．
23.(本小题10分)
某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
24.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，点M、N分别为边AD、BC的中点，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线．
(1)求证：AE//CF；
(2)若AD=2AB，求证：四边形PQRS是矩形．
25.(本小题10分)
如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
26.(本小题12分)
在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．
(1)已知筝状四边形ABCD的三个顶点坐标为A(3,2)，B(5,1)，C(8,2)，则顶点D的坐标为多少．
(2)如果筝状四边形ABCD的三个顶点坐标为A(−6,−3)，B(−4,−6)，C(−2,−3)，则顶点D纵坐标y的取值范围为多少．
(3)已知面积为30的筝状四边形ABCD相邻两个顶点的坐标分别为A(3,1)，B(6,3)，其中一条对角线长为6，M，N分别是AB，BC的中点，P为对角线上一动点，连接MN，MP，NP，试求△MNP周长的最小值．
27.(本小题12分)
综合与实践
探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点(点E与点C，O，A都不重合)，过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG．
(1)初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF=BG；
(2)深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题.
A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择______题.
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且AB=4，∠BAC=60°．
A.点E在直线AC上运动的过程中，若BF=BG，则FG的长为______．
B.点E在直线AC上运动的过程中，若OF//BC，则FG的长为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】
解：A、|−3|=3和|3|=3，数值相等，符合题意；
B、|−3|=3和−|3|=−3，数值不相等，不符合题意；
C、|−3|=3≠−3，数值不相等，不符合题意；
D、|−3|=3≠1−3，数值不相等，不符合题意；
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，且x−3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故选：A．
根据被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4.【答案】C
【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、3、1．
故选：C．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵两个三角形相似比是4：9，
∴它们的周长比是4：9，
故选：B．
根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得答案．
本题考查相似三角形的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：由x−1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x<2．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得m<0①1+2m<0，
解①得m<0，
解②得m<−12．
则不等式组的解集是m<−12．
故选：D．
根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8.【答案】D
【解析】解：∵2CD=6，
∴CD=3，
∵tanC=2，
∴ADCD=2，
∴AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB= AD2+BD2= 62+62=6 2，
故选：D．
利用三角函数求出AD=6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】
解：由圆周角定理得，∠B=12∠AOC=55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠B=125°，
故选：C．
11.【答案】360°
【解析】解：六边形的外角和是360°．
故答案为：360°．
根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
12.【答案】5.2×106
【解析】解：由题意得，
5200000=5.2×106，
故答案为：5.2×106．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
13.【答案】12π
【解析】解：圆锥的侧面积=12⋅2π⋅3⋅4=12π(cm2).
故答案为12π．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】4
【解析】【分析】
先证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到(DEBC)2=425，则DEBC=25，然后把BC=10代入可计算出DE．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=425，
∴DEBC=25，
∴DE=25×10=4．
故答案为4．
15.【答案】−3
【解析】解：∵方程x2+2x−3=0的两根分别为x1，x2，
∴x1⋅x2=−31=−3．
故答案为：−3．
根据根与系数关系求解．
本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】 13
【解析】解：如图，连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
在Rt△ABO中，∠A=30°，AB=2 3，
又∵tan∠A=OBAB，
∴OB=AB⋅tan∠A=AB⋅tan30°=2 3× 33=2，
在Rt△ABO中，BC=3，OB=2，
∴OC= OB2+BC2= 22+32= 13，
故答案为： 13．
连接OB，由∠A的正切值求出OB，再根据勾股定理求出OC即可．
本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
17.【答案】11
【解析】解：设B(m,a−1m)，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD=12m⋅a−1m=5，
解得：a=11，
故答案为：11．
设B(m,a−1m)，由S△BCD=12m⋅a−1m即可求解．
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
18.【答案】13
【解析】解：由题知，
因为a1=2，
则a2=1+21−2=−3，
a3=1−31+3=−12，
a4=1−121+12=13，
a5=1+131−13=2，
…，
由此可见，
这一列数按2，−3，−12，13循环出现，
且2024÷4=506，
所以a2024=13．
故答案为：13．
分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，−3，−12，13循环出现是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2+14+2 3+2024
=202614+2 3．
【解析】先计算乘方、化简二次根式的性质，然后再计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算、乘方、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a+2)(a−2)a÷a−2a
=(a+2)(a−2)a⋅aa−2
=a+2，
当a=3时，
原式=3+2=5．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值并代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)∵转动转盘①一共有3种可能，
∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：13；
故答案为：13；
(2)分别转动两个转盘一次，列表：
共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，
所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”(记为事件A)的结果有2种，
所以他演唱歌曲“1”和“4”的概率P(A)=29．
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；
(2)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验，列举出所有情况，求出即可．
22.【答案】解：(1)24÷40%=60，
答：这个班级学生共有60人；
(2)C类人数为60−18−6−24=12(人)，
A类所占的百分比为1860×100%=30%，
C类所占的百分比为1260×100%=20%，
两幅不完整的图补充为：
(3)扇形统计图中C所对圆心角的度数=360°×20%=72°；
(4)画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中所选2名同学恰好是一男一女的结果数为18，
所以所选2名同学恰好是一男一女的概率=1830=35．
【解析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计算事件A的概率．也考查了统计图．
(1)用D类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
(2)先计算出C类人数，再分别计算出A、C所占的百分比，然后补全两个统计图；
(3)用360°乘以C类所占的百分比得到扇形统计图中C所对圆心角的度数；
(4)画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出所选2名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，
由题意可得，30x+20(2x−40)=9000，
70x=9800，
x=140，
则购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；
(2)设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，
根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，
10y≤30，
y≤3；
则y的非负整数解是0，1，2，3，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；
【解析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，根据题意确定不等式是解题的关键．
(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，由题意可得，30x+20(2x−40)=9000；
(2)设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，根据y的范围确定购买方案即可．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，同法可证：CD=DF，
∴AF=CE，∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DM=12AD，BN=12BC，
∴DM=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BM//DN，∵AE//CF，
∴四边形RSPQ是平行四边形，
∵AD=2AB，AM=DM，
∴AM=AB，∵PA平分∠BAD，
∴PA⊥BM，
∴∠QPS=90°，
∴四边形RSPQ是矩形．
【解析】(1)只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；
(2)首先证明四边形RSPQ是平行四边形，再证明∠QPS=90°即可；
本题考查矩形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：∵B(2,−4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=2×(−4)=−8，
∴反比例函数解析式为：y=−8x，
把A(−4,n)代入y=−8x，
得−4n=−8，解得n=2，
则A点坐标为(−4,2)．
把A(−4,2)，B(2,−4)分别代入y=kx+b，
得−4k+b=22k+b=−4，解得k=−1b=−2，
∴一次函数的解析式为y=−x−2；
(2)∵y=−x−2，
∴当−x−2=0时，x=−2，
∴点C的坐标为：(−2,0)，
△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
=12×2×2+12×2×4
=6；
(3)由图象可知，当−42时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【解析】(1)先把B点坐标代入代入y=mx，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积=S△AOC+S△BOC进行计算；
(3)观察函数图象得到当−42时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
26.【答案】解：(1)如图1中，
由题意AC垂直平分线段线段BD，可知B、D关于直线AC对称，
∵A(3,2)，B(5,1)，C(8,2)，
∴D(5,3)．
(2)如图2中，
由题意可知，BD垂直平分线段AC，
∵四边形ABCD是凸四边形，A(−6,−3)，B(−4,−6)，C(−2,−3)，
∴顶点D纵坐标y的取值范围：y>−3．
(3)如图3中，
①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．
由题意A(3,1)，B(6,3)，
∵对角线BD=6，
∴D(0,3)，
∵12×6×AC=30，
∴AC=10，
∴C(3,11)，
∴M(4.5,2)，N(4.5,7)，K(1.5,2)
∴MN=5，KN= 32+52= 34，
△PMN的周长的最小值为 34+5．
②当M，N分别是AB，BC′的中点，P′为对角线AC′上一动点，同法可求△P′M′N′周长的最小值为3+ 13．
∴△PMN的周长的最小值问题 34+5或3+ 13．
【解析】(1)根据“筝状四边形”的定义即可求出点D坐标．
(2)画出图形，即可判定点D的纵坐标y的取值范围．
(3)分两种情形讨论①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．②当点P在对角线BD上时，△PMN的周长的最小值不存在．
本题考查三角形综合题、轴对称−最短问题、“筝状四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考创新题目．
27.【答案】A，B A，B 4 3 2 6+2 2或2 6−2 2
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠CBG=90°．
∵CG⊥BE，
∴∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
∠ABF=∠BCG∠AFB=∠BGC=90°AB=BC，
∴△ABF≌△BCG(AAS)，
∴AF=BG；
(2)解：我选择A，故答案为：A．
OF与OG的数量关系为：OF=OG，理由：
连接OB，如图，
∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OB=OC，OB⊥AC，
∴∠OEB+∠OBE=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠AEF+∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠OBE．
由(1)知：AF=BG，
在△AFO和△BGO中，
AF=BG∠FAE=∠OBGOA=OB，
∴△AFO≌△BGO(SAS)，
∴OF=OG；
B.OF与OG的数量关系为OF=OG，理由：
延长GO，交FA的延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC．
∵AF⊥EF，CG⊥EF，
∴HF//CG，
∴∠H=∠OGC．
在△AHO和△CGO中，
∠H=∠CGO∠AOU=∠COGOA=OC，
∴△AHO≌△CGO(AAS)，
∴OH=OG，
∵∠HFG=90°，
∴OF为Rt△HFG斜边上的中线，
∴OF=OG=12HG．
∴OF=OG；
(3)解：A.连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠OBA=60°．
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴AF//CG，
∵OA=OC，BF=BG，
∴OB为梯形AFGC的中位线，
∴OB//AF，
∴OB⊥FG，
∴∠ABF=30°，
∴AF=12AB=2，
∴BF= AB2−AF2=2 3，
∴FG=2BF=4 3；
故答案为：4 3；
B.①设OF交AB于点H，如图，
∵OA=OC，OF//BC，AB⊥BC，
∴AH=BH，OF⊥AB，
∴OF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴△AFB为等腰直角三角形，
∴BF= 22AB=2 2．
∵∠ABF=45°，∠ABC=90°，
∴∠GBC=45°，
∴△GBC为等腰直角三角形，
∴BG= 22BC．
∵AB=4，∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴BC= 3AB=4 3，
∴BG= 22×4 3=2 6．
∴FG=BF+BG=2 2+2 6．
②如下图，用同样的方法可求：BF=2 2，BG=2 6，
∴FG=BG−BF=2 6−2 2．
综上，点E在直线AC上运动的过程中，若OF//BC，则FG的长为2 6+2 2或2 6−2 2．
故答案为：2 6+2 2或2 6−2 2．
(1)利用正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)A.连接OB，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
B.延长GO，交FA的延长线于点H，利用平行线的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质得到OH=OG，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
(3)A.连接OB，利用平行线的判定，梯形的中位线的性质和含30°角的直角三角形的性质求得BF即可得出结论；
B.利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设OF交AB于点H，利用平行线的性质，矩形的性质和线段垂直平分线的性质得到△AFB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得BF，同样求得BG，则FG=BF+BG；②如图，用同样的方法求得BF，BG，则FG=BG−BF．
本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握特殊四边形的性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．4
5
6
1
1，4
1，5
1，6
2
2，4
2，5
2，6
3
3，4
3，5
3，6
1.2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.已下列各式正确的是( )
A. |−3|=|3|B. |−3|=−|3|C. |−3|=−3D. |−3|=1−3
3.函数y=1x−3+ x−2的自变量x的取值范围是( )
A. x≥2，且x≠3B. x≥2C. x≠3D. x>2，且x≠3
4.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如果两个三角形相似比是4：9，则它们的周长比是( )
A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 16：729
6.一元一次不等式组x−1≥0x<2的解集为( )
A. B.
C. D.
7.如果点P(m,1+2m)在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A. −12
8.如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为( )
A. 3 2
B. 3 5
C. 3 7
D. 6 2
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC=110°，则∠ADC=( )
A. 55°B. 110°C. 125°D. 70°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.正六边形的外角和是______．
12.将数字5200000用科学记数法表示为______．
13.已知圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的侧面积是______cm2．
14.如图，△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E.若S△ADES△ABC=425，BC=10，则DE=______．
15.若关于x的一元二次方程x2+2x−3=0的两根分别为x1，x2，则x1⋅x2值是______．
16.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A=30°，AB=2 3，BC=3，则OC的长度是______．
17.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y=a−1x(a>1)的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD=5，则a的值为______．
18.已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，⋯，an+1=1+an1−an，若a1=2，则a2024的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算： 4+(12)2+ 12+2024．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：a2−4a÷(1−2a)，其中a=3．
21.(本小题8分)
在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘(每个转盘都被分成3等份)一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是______；
(2)若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．
22.(本小题8分)
学校调查了某班同学上学的方式有四种：骑自行车、步行、乘坐公交车和家长接送(分别用A、B、C、D表示)，根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成)，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这个班级学生共有多少人？
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
(4)已知步行上学的同学中有3名女同学，学校将从步行上学的同学中随机选出2名同学参加交通安全知识培训，求所选2名同学恰好是一男一女的概率．
23.(本小题10分)
某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
24.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，点M、N分别为边AD、BC的中点，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线．
(1)求证：AE//CF；
(2)若AD=2AB，求证：四边形PQRS是矩形．
25.(本小题10分)
如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
26.(本小题12分)
在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．
(1)已知筝状四边形ABCD的三个顶点坐标为A(3,2)，B(5,1)，C(8,2)，则顶点D的坐标为多少．
(2)如果筝状四边形ABCD的三个顶点坐标为A(−6,−3)，B(−4,−6)，C(−2,−3)，则顶点D纵坐标y的取值范围为多少．
(3)已知面积为30的筝状四边形ABCD相邻两个顶点的坐标分别为A(3,1)，B(6,3)，其中一条对角线长为6，M，N分别是AB，BC的中点，P为对角线上一动点，连接MN，MP，NP，试求△MNP周长的最小值．
27.(本小题12分)
综合与实践
探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点(点E与点C，O，A都不重合)，过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG．
(1)初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF=BG；
(2)深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题.
A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择______题.
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且AB=4，∠BAC=60°．
A.点E在直线AC上运动的过程中，若BF=BG，则FG的长为______．
B.点E在直线AC上运动的过程中，若OF//BC，则FG的长为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】
解：A、|−3|=3和|3|=3，数值相等，符合题意；
B、|−3|=3和−|3|=−3，数值不相等，不符合题意；
C、|−3|=3≠−3，数值不相等，不符合题意；
D、|−3|=3≠1−3，数值不相等，不符合题意；
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，且x−3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故选：A．
根据被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4.【答案】C
【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、3、1．
故选：C．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵两个三角形相似比是4：9，
∴它们的周长比是4：9，
故选：B．
根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得答案．
本题考查相似三角形的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：由x−1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x<2．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得m<0①1+2m<0，
解①得m<0，
解②得m<−12．
则不等式组的解集是m<−12．
故选：D．
根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8.【答案】D
【解析】解：∵2CD=6，
∴CD=3，
∵tanC=2，
∴ADCD=2，
∴AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB= AD2+BD2= 62+62=6 2，
故选：D．
利用三角函数求出AD=6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】
解：由圆周角定理得，∠B=12∠AOC=55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠B=125°，
故选：C．
11.【答案】360°
【解析】解：六边形的外角和是360°．
故答案为：360°．
根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
12.【答案】5.2×106
【解析】解：由题意得，
5200000=5.2×106，
故答案为：5.2×106．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
13.【答案】12π
【解析】解：圆锥的侧面积=12⋅2π⋅3⋅4=12π(cm2).
故答案为12π．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】4
【解析】【分析】
先证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到(DEBC)2=425，则DEBC=25，然后把BC=10代入可计算出DE．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=425，
∴DEBC=25，
∴DE=25×10=4．
故答案为4．
15.【答案】−3
【解析】解：∵方程x2+2x−3=0的两根分别为x1，x2，
∴x1⋅x2=−31=−3．
故答案为：−3．
根据根与系数关系求解．
本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】 13
【解析】解：如图，连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
在Rt△ABO中，∠A=30°，AB=2 3，
又∵tan∠A=OBAB，
∴OB=AB⋅tan∠A=AB⋅tan30°=2 3× 33=2，
在Rt△ABO中，BC=3，OB=2，
∴OC= OB2+BC2= 22+32= 13，
故答案为： 13．
连接OB，由∠A的正切值求出OB，再根据勾股定理求出OC即可．
本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
17.【答案】11
【解析】解：设B(m,a−1m)，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD=12m⋅a−1m=5，
解得：a=11，
故答案为：11．
设B(m,a−1m)，由S△BCD=12m⋅a−1m即可求解．
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
18.【答案】13
【解析】解：由题知，
因为a1=2，
则a2=1+21−2=−3，
a3=1−31+3=−12，
a4=1−121+12=13，
a5=1+131−13=2，
…，
由此可见，
这一列数按2，−3，−12，13循环出现，
且2024÷4=506，
所以a2024=13．
故答案为：13．
分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，−3，−12，13循环出现是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2+14+2 3+2024
=202614+2 3．
【解析】先计算乘方、化简二次根式的性质，然后再计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算、乘方、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a+2)(a−2)a÷a−2a
=(a+2)(a−2)a⋅aa−2
=a+2，
当a=3时，
原式=3+2=5．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值并代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)∵转动转盘①一共有3种可能，
∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：13；
故答案为：13；
(2)分别转动两个转盘一次，列表：
共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，
所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”(记为事件A)的结果有2种，
所以他演唱歌曲“1”和“4”的概率P(A)=29．
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；
(2)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验，列举出所有情况，求出即可．
22.【答案】解：(1)24÷40%=60，
答：这个班级学生共有60人；
(2)C类人数为60−18−6−24=12(人)，
A类所占的百分比为1860×100%=30%，
C类所占的百分比为1260×100%=20%，
两幅不完整的图补充为：
(3)扇形统计图中C所对圆心角的度数=360°×20%=72°；
(4)画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中所选2名同学恰好是一男一女的结果数为18，
所以所选2名同学恰好是一男一女的概率=1830=35．
【解析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计算事件A的概率．也考查了统计图．
(1)用D类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
(2)先计算出C类人数，再分别计算出A、C所占的百分比，然后补全两个统计图；
(3)用360°乘以C类所占的百分比得到扇形统计图中C所对圆心角的度数；
(4)画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出所选2名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，
由题意可得，30x+20(2x−40)=9000，
70x=9800，
x=140，
则购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；
(2)设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，
根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，
10y≤30，
y≤3；
则y的非负整数解是0，1，2，3，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；
【解析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，根据题意确定不等式是解题的关键．
(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x−40)棵，由题意可得，30x+20(2x−40)=9000；
(2)设购买甲树苗y棵，乙树苗(10−y)棵，根据题意可得，30y+20(10−y)≤230，根据y的范围确定购买方案即可．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，同法可证：CD=DF，
∴AF=CE，∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DM=12AD，BN=12BC，
∴DM=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BM//DN，∵AE//CF，
∴四边形RSPQ是平行四边形，
∵AD=2AB，AM=DM，
∴AM=AB，∵PA平分∠BAD，
∴PA⊥BM，
∴∠QPS=90°，
∴四边形RSPQ是矩形．
【解析】(1)只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；
(2)首先证明四边形RSPQ是平行四边形，再证明∠QPS=90°即可；
本题考查矩形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：∵B(2,−4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=2×(−4)=−8，
∴反比例函数解析式为：y=−8x，
把A(−4,n)代入y=−8x，
得−4n=−8，解得n=2，
则A点坐标为(−4,2)．
把A(−4,2)，B(2,−4)分别代入y=kx+b，
得−4k+b=22k+b=−4，解得k=−1b=−2，
∴一次函数的解析式为y=−x−2；
(2)∵y=−x−2，
∴当−x−2=0时，x=−2，
∴点C的坐标为：(−2,0)，
△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
=12×2×2+12×2×4
=6；
(3)由图象可知，当−4
【解析】(1)先把B点坐标代入代入y=mx，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积=S△AOC+S△BOC进行计算；
(3)观察函数图象得到当−4
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
26.【答案】解：(1)如图1中，
由题意AC垂直平分线段线段BD，可知B、D关于直线AC对称，
∵A(3,2)，B(5,1)，C(8,2)，
∴D(5,3)．
(2)如图2中，
由题意可知，BD垂直平分线段AC，
∵四边形ABCD是凸四边形，A(−6,−3)，B(−4,−6)，C(−2,−3)，
∴顶点D纵坐标y的取值范围：y>−3．
(3)如图3中，
①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．
由题意A(3,1)，B(6,3)，
∵对角线BD=6，
∴D(0,3)，
∵12×6×AC=30，
∴AC=10，
∴C(3,11)，
∴M(4.5,2)，N(4.5,7)，K(1.5,2)
∴MN=5，KN= 32+52= 34，
△PMN的周长的最小值为 34+5．
②当M，N分别是AB，BC′的中点，P′为对角线AC′上一动点，同法可求△P′M′N′周长的最小值为3+ 13．
∴△PMN的周长的最小值问题 34+5或3+ 13．
【解析】(1)根据“筝状四边形”的定义即可求出点D坐标．
(2)画出图形，即可判定点D的纵坐标y的取值范围．
(3)分两种情形讨论①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．②当点P在对角线BD上时，△PMN的周长的最小值不存在．
本题考查三角形综合题、轴对称−最短问题、“筝状四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考创新题目．
27.【答案】A，B A，B 4 3 2 6+2 2或2 6−2 2
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠CBG=90°．
∵CG⊥BE，
∴∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
∠ABF=∠BCG∠AFB=∠BGC=90°AB=BC，
∴△ABF≌△BCG(AAS)，
∴AF=BG；
(2)解：我选择A，故答案为：A．
OF与OG的数量关系为：OF=OG，理由：
连接OB，如图，
∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OB=OC，OB⊥AC，
∴∠OEB+∠OBE=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠AEF+∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠OBE．
由(1)知：AF=BG，
在△AFO和△BGO中，
AF=BG∠FAE=∠OBGOA=OB，
∴△AFO≌△BGO(SAS)，
∴OF=OG；
B.OF与OG的数量关系为OF=OG，理由：
延长GO，交FA的延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC．
∵AF⊥EF，CG⊥EF，
∴HF//CG，
∴∠H=∠OGC．
在△AHO和△CGO中，
∠H=∠CGO∠AOU=∠COGOA=OC，
∴△AHO≌△CGO(AAS)，
∴OH=OG，
∵∠HFG=90°，
∴OF为Rt△HFG斜边上的中线，
∴OF=OG=12HG．
∴OF=OG；
(3)解：A.连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，点O是对角线AC的中点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠OBA=60°．
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴AF//CG，
∵OA=OC，BF=BG，
∴OB为梯形AFGC的中位线，
∴OB//AF，
∴OB⊥FG，
∴∠ABF=30°，
∴AF=12AB=2，
∴BF= AB2−AF2=2 3，
∴FG=2BF=4 3；
故答案为：4 3；
B.①设OF交AB于点H，如图，
∵OA=OC，OF//BC，AB⊥BC，
∴AH=BH，OF⊥AB，
∴OF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴△AFB为等腰直角三角形，
∴BF= 22AB=2 2．
∵∠ABF=45°，∠ABC=90°，
∴∠GBC=45°，
∴△GBC为等腰直角三角形，
∴BG= 22BC．
∵AB=4，∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴BC= 3AB=4 3，
∴BG= 22×4 3=2 6．
∴FG=BF+BG=2 2+2 6．
②如下图，用同样的方法可求：BF=2 2，BG=2 6，
∴FG=BG−BF=2 6−2 2．
综上，点E在直线AC上运动的过程中，若OF//BC，则FG的长为2 6+2 2或2 6−2 2．
故答案为：2 6+2 2或2 6−2 2．
(1)利用正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)A.连接OB，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
B.延长GO，交FA的延长线于点H，利用平行线的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质得到OH=OG，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
(3)A.连接OB，利用平行线的判定，梯形的中位线的性质和含30°角的直角三角形的性质求得BF即可得出结论；
B.利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设OF交AB于点H，利用平行线的性质，矩形的性质和线段垂直平分线的性质得到△AFB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得BF，同样求得BG，则FG=BF+BG；②如图，用同样的方法求得BF，BG，则FG=BG−BF．
本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握特殊四边形的性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．4
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