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江西省2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份江西省2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁，函数在上的平均变化率等于等内容，欢迎下载使用。
高二数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第一册前5章占20%，第六章和第七章占20%，选择性必修第二册第一章至第二章前5节占60%.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知函数，满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧.已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.函数在上的平均变化率等于（ ）
A. B. C. D.
7.近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，，若数列的前项和为，则所有满足的的和为（ ）
A.875 B.918 C.994 D.1015
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
10.已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知等差数列的前项和为，若，则下列各式的值恒为负的是（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列中，，若是等差数列，则________.
13.平面几何中有定理：若点为锐角的外心，直线，，分别与锐角外接圆交于另外一点，，，则.若锐角的外接圆方程为，且该圆与轴的交点分别为，，则六边形的面积的最大值为________.
14.已知数列满足，则数列的前20项之和为________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围.
16.（15分）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若抛物线：的焦点与的右焦点重合，的准线与的一个交点为，线段与交于点，求.
17.（15分）已知数列是等差数列，且，，.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式.
18.（17分）近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且.求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联.
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性.
19.（17分）若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列.
（1）已知等差数列的前n项和为，且.
①若，，求的通项公式，并写出的前5项；
②若，，求数列的前50项的和；
（2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和.
2024年高二年级下学期期中调研测试
高二数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】因为，所以.故选B.
2.【答案】C
【解析】的前6项依次为，因为，故的最小值为6.故选C.
3.【答案】D
【解析】因为，所以e.故选D.
4.【答案】B
【解析】柱头直径为.故选B.
5.【答案】A
【解析】由已知得，设异面直线与所成的角为，则.故选A.
6.【答案】D
【解析】在[1，2]上的平均变化率为.故选D.
7.【答案】B
【解析】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故，不小于500的结果有4种，故，所以.故选.
8.【答案】A
【解析】由，得的前8项依次为，从第5项起，构成周期为3的数列，，所以所有满足的的和为.故选A.
9.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】的展开式的通项为，由于的展开式中含有常数项，则有解，即，当时，成立，当时，成立，当时，不存在使得，当时，不存在使得.故选AD.
10.【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】表示的图象在点处的切线斜率，A正确；表示的图象在点处的切线斜率，错误；由图可知，故，故C正确；直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确.故选ACD.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】设的公差为，由得，所以，所以，因为，所以，.故选BCD.
12.【答案】
【解析】由，得，所以.
13.【答案】
【解析】由得六边形的面积，由题意，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离的最大值为，所以的最大值为，所以六边形的面积的最大值为.
14.【答案】
【解析】当时，；当时，因为，所以，两式相减得，所以，则，所以，所以所以数列的前20项之和为.
15.解：（1）因为，
所以，所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
（2）直线的斜率为，
所以的图象在点处的切线斜率为，
所以方程有两个不等的实根，
即有两个不等的实根，
所以，
解得且，
所以实数的取值范围是.
16.解：（1）因为的短轴长为，所以，
因为的离心率为，
所以，解得，
所以的标准方程为.
（2）的右焦点为，
所以，
所以的方程为.
的准线与的一个交点为，设，
代入得）
当时，由题意设，由三点共线得，
解得，
所以，
同理得当时，.
综上，
17.解：（1）设的公差为，
由得，
因为，所以，
所以
，
所以，
因为，所以
由得，
所以.
（2）由（1）得，所以，
故是首项为-1､公比为2的等比数列，
所以，
由得，
所以，
所以.
18.解：（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为.
（2）因为，
所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联.
（3）由的取值依次为，得，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值.
19.（1）解：设的公差为，
①由，得
解得，
所以，
的前5项依次为.
②因为，则，
当时，，
可以是任意正整数，
所以数列的第项为，
由得
解得，所以，
数列是首项为4､公差为2的等差数列，
所以的前50项和为.
（2）证明：假设存在或使得，
当且时，因为，所以，得，这与矛盾，
同理且时也不成立，
当且时，设，因为，
所以，
左边为奇数，右边为偶数，所以，
综上得，对任意或
所以数列的所有项的和为.成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200
高二数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第一册前5章占20%，第六章和第七章占20%，选择性必修第二册第一章至第二章前5节占60%.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知函数，满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧.已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.函数在上的平均变化率等于（ ）
A. B. C. D.
7.近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，，若数列的前项和为，则所有满足的的和为（ ）
A.875 B.918 C.994 D.1015
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
10.已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知等差数列的前项和为，若，则下列各式的值恒为负的是（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列中，，若是等差数列，则________.
13.平面几何中有定理：若点为锐角的外心，直线，，分别与锐角外接圆交于另外一点，，，则.若锐角的外接圆方程为，且该圆与轴的交点分别为，，则六边形的面积的最大值为________.
14.已知数列满足，则数列的前20项之和为________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围.
16.（15分）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若抛物线：的焦点与的右焦点重合，的准线与的一个交点为，线段与交于点，求.
17.（15分）已知数列是等差数列，且，，.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式.
18.（17分）近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且.求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联.
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性.
19.（17分）若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列.
（1）已知等差数列的前n项和为，且.
①若，，求的通项公式，并写出的前5项；
②若，，求数列的前50项的和；
（2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和.
2024年高二年级下学期期中调研测试
高二数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】因为，所以.故选B.
2.【答案】C
【解析】的前6项依次为，因为，故的最小值为6.故选C.
3.【答案】D
【解析】因为，所以e.故选D.
4.【答案】B
【解析】柱头直径为.故选B.
5.【答案】A
【解析】由已知得，设异面直线与所成的角为，则.故选A.
6.【答案】D
【解析】在[1，2]上的平均变化率为.故选D.
7.【答案】B
【解析】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故，不小于500的结果有4种，故，所以.故选.
8.【答案】A
【解析】由，得的前8项依次为，从第5项起，构成周期为3的数列，，所以所有满足的的和为.故选A.
9.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】的展开式的通项为，由于的展开式中含有常数项，则有解，即，当时，成立，当时，成立，当时，不存在使得，当时，不存在使得.故选AD.
10.【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】表示的图象在点处的切线斜率，A正确；表示的图象在点处的切线斜率，错误；由图可知，故，故C正确；直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确.故选ACD.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】设的公差为，由得，所以，所以，因为，所以，.故选BCD.
12.【答案】
【解析】由，得，所以.
13.【答案】
【解析】由得六边形的面积，由题意，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离的最大值为，所以的最大值为，所以六边形的面积的最大值为.
14.【答案】
【解析】当时，；当时，因为，所以，两式相减得，所以，则，所以，所以所以数列的前20项之和为.
15.解：（1）因为，
所以，所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
（2）直线的斜率为，
所以的图象在点处的切线斜率为，
所以方程有两个不等的实根，
即有两个不等的实根，
所以，
解得且，
所以实数的取值范围是.
16.解：（1）因为的短轴长为，所以，
因为的离心率为，
所以，解得，
所以的标准方程为.
（2）的右焦点为，
所以，
所以的方程为.
的准线与的一个交点为，设，
代入得）
当时，由题意设，由三点共线得，
解得，
所以，
同理得当时，.
综上，
17.解：（1）设的公差为，
由得，
因为，所以，
所以
，
所以，
因为，所以
由得，
所以.
（2）由（1）得，所以，
故是首项为-1､公比为2的等比数列，
所以，
由得，
所以，
所以.
18.解：（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为.
（2）因为，
所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联.
（3）由的取值依次为，得，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值.
19.（1）解：设的公差为，
①由，得
解得，
所以，
的前5项依次为.
②因为，则，
当时，，
可以是任意正整数，
所以数列的第项为，
由得
解得，所以，
数列是首项为4､公差为2的等差数列，
所以的前50项和为.
（2）证明：假设存在或使得，
当且时，因为，所以，得，这与矛盾，
同理且时也不成立，
当且时，设，因为，
所以，
左边为奇数，右边为偶数，所以，
综上得，对任意或
所以数列的所有项的和为.成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
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62
40
102
合计
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