四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案）

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考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题(40分，每小题5分）
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．14B．15C．16D．18
3．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种B．36种C．64种D．81种
4．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A．B．60C．80D．160
7．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（18分，每小题6分）
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．平面
C．直线与为异面直线 D．二面角大小为
11．不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，其应用非常广泛．对于函数，定义方程的根称为的不动点．已知有唯一的不动点，则（ ）
A．B．的不动点为
C．极大值为2D．极小值为1
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分，每小题5分）
12．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
13．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ．
14．已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；（6分）
(2)当时，求的单调区间．（7分）
16已知是等差数列，，，数列的前项和为，且．(13)
(1)求、的通项公式；(7分）
(2)若，求数列的前项和．（8分）
17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点，求证：平面；（7分）
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.（8分）
18．已知椭圆：．
(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；（8分）
(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．（9分）
19．已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；（7分）
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．（10分）