福建省2024年中考数学模拟卷 原卷+解析卷

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选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列选项中，比小的数是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键．
根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【详解】解：，
比小的数是，
故选：D．
2．在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为 米，用科学计数法表示为，则n的值为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
所以．
故选：C．
3．如图是某几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的三视图、由三视图还原几何体，根据主视图和俯视图分别是从正面、上面看到的图形，即可作答．
【详解】解：∵俯视图的圆的直径是跟长方体的宽是等长的
∴这个几何体是
故选：C．
4．多项式提取公因式后，剩下的因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的． 通过观察知公因式为，提取后得即可判断．
【详解】解：
∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是．
故选C
5．如图，的周长是，，于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据“三线合一”可得，由题意求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，于点D，
∴点D为的中点，，
∵的周长是20，，
∴，
∴，
故选：C．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是
，
故选：B．
7．无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题．
【详解】解：由题知，因为二次函数的值始终为正数，且，
所以，
解得，．
故选：D．
8．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是根据切线的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即的度数是．
故选：A．
9．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影以及解直角三角形，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键．
由于太阳光线为平行光线，根据切线的性质得到为皮球的直径，，，在中，利用正弦的定义可计算出的长，从而得到皮球的直径．
【详解】为方便描述取点A、B、C、D、E，如图，点A与点B为太阳光线与球的切点，
即，，
则有四边形是矩形，
根据太阳光的特点可知，即，
则为皮球的直径，，
在中，
即，
即皮球的直径为15，
故选：B．
10．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，垂直平分，则，可判断A的正误；由，，，，可得，可判断B的正误；证明，则，即，可得，进而可判断C的正误；证明，可得，进而可判断D的正误．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，A正确，故不符合要求；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，B正确，故不符合要求；
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，C正确，故不符合要求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，D错误，故符合要求；
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．数轴上点A对应的数是，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数加法、数轴上数的表示以及数轴上点的变化规律：左减右加；列出算式，据此计算即可；
【详解】解：，
故答案为：1
12．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了概率的公式，根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求得答案．
【详解】解：∵不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个绿球，
∴从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则m n（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．
将和两点代入反比例函数求得m和n的值，再比较大小即可
【详解】解：∵点A和B在反比例函数图象上，
∴，
∴，
故答案为：
14．如图，将绕点B逆时针旋转得到，且D，B，C三点共线，若恰好平分，则旋转角的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查旋转性质、角平分线的定义，根据旋转性质得到，再根据角平分线的定义证得，进而利用平角定义可求解．
【详解】解：∵由逆时针旋转得到，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵D，B，C三点共线，
∴，
即旋转角的度数为，
故答案为：．
15．观察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
…
猜想13+23+33+…+83＝ ．
【答案】
【分析】通过观察得到规律：左边是从1开始的连续自然数的立方和，右边是底数是从1开始的连续自然数的和，指数为2；根据此规律即可计算结果．
【详解】由题意得：
故答案为：．
16．如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：-14+-（-）-3．
【答案】9
【详解】解 -14+-(-)-3=-1+2-（-8）=-1+2+8=9．
18．如图，在和中，点在上，，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．由可得，再结合已知条件用两角夹边证即可．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
．
19．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
整理得：，
∴，
解得：，
当时，，
∴是原方程的增根，舍去；
当时，，
∴是原方程的解．
20．某校“数学智多星”比赛由小论文、说题比赛、其他荣誉、现场考核四部分组成，各部分在总分中占比分别为，，，．九（1）班小鹿、小诚两位同学前三项的得分如下表．

(1)在首次现场考核模拟中，小鹿得到91分，小诚得到98分，请分别计算两位同学首次模拟后的总分．
(2)两位同学先后5次现场考核模拟的成绩情况如图所示，根据所学的统计知识，你推荐哪位同学参加校级“数学智多星”比赛？请说明理由．
【答案】(1)小鹿总分为分，小诚总分为分
(2)推荐小鹿同学参加校级“数学智多星”比赛，理由见解析
【分析】本题考查了数据的波动程度、加权平均数．掌握加权平均数的定义是关键.
（1）根据小论文、说题比赛、其它荣誉、现场考核在总分中占比分别计算相加即可．
（2）先计算平均数，再结合统计图比较即可．
【详解】（1），
，
答：小鹿总分为76.4分，小诚总分为79.2分．
（2）小鹿现场考核分数：，
小诚现场考核分数：．
小鹿其他项的得分为，小诚其他项的得分为，两人平均分相同的情况下，由图象知：小诚的成绩波动大，小鹿的成绩比较平稳，
推荐小鹿同学参加校级“数学智多星”比赛．
21．如图，已知中，，，
(1)利用直尺和圆规，作，且点M在直线的上方（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若射线和的延长线交于点D，试求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了画一个角等于已知角，三角形的内角和性质以及角的和差运算
（1）延长，因为，所以，以A为圆心，为半径，画两弧，其中一弧交于一点E，以C为圆心，同样长度为半径画两弧，其中一弧交于一点F，再以点E为圆心，画弧交于点N，以点F为圆心，长为半径画弧交于点M，即可作答．
（2）运用角的和差以及领补角得出，，再结合三角形内角和性质，列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
∵已知中，，，
∵，
∴
∵
∴
在中，
22．如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题．
（1）连接，利用已知条件求证，即可求解；
（2）根据已知条件可求证，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
23．课本呈现：
直觉的误差
有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，，，
，
．
∵，
，
．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求出直线的解析式，判断即可．
（2）设剪开的矩形短边长为，长边长为，根据题意可列，即可求解．
【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，
设的解析式为
∴
直线的解析式为，
当时，，
点不在直线上，
在中，，
在直角梯形中，，
、、三点共线不共线，
所以拼合的长方形内部有空隙；
（2）解：设剪开的矩形短边长为，长边长为，
如图，拼后的矩形面积为，
原正方形的面积为，
这四块图形恰能拼成一个矩形，
，
解得或（舍，
，
．
【点睛】本题考查图形的简拼，直角三角形，直角梯形，二次根式的混合运算，一元二次方程的综合知识；能够将问题转化为一元二次方程求解是解决问题的关键．
24．如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，G恰好是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，结合可得是的中位线，即可求证；
（2）连接由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证是矩形，在根据结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）连接如图：
由(1)得∶，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
，
，
在中：，
，
．
25．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴相交于C，已知抛物线对称轴为直线，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一个点D（不与点C重合），使得，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E是直线上一动点，过E作x轴的垂线交抛物线于F点，连接，将沿折叠，如果点E对应的点M恰好落在y轴上，求此时点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由直线的解析式求出、点的坐标，由对称轴得，代入抛物线的解析式，解方程组，即可求解；
（2）作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于，由对称的性质得，，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，解方程组，即可求解；
（3）①当在轴下方时，由平行线的性质及折叠的性质得，，由等腰三角形的判定方法得，设，则，求出和，即可求解；②当在轴上方时，同理可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
当时，，
，；
设抛物线的解析式为，则有
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于，
，，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
联立直线和抛物线的解析式得：
，
解得：或，
．
（3）解：①如图，当在轴下方时，
轴，
，
由折叠得：，
，
，
设，
则，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
；
②如图，当在轴上方时，
同理可证：，
设，
则，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
，
综上所述：E的坐标为或．姓名
小论文
说题比赛
其他荣誉
小鹿
80分
90分
30分
小诚
90分
85分
25分