2024年四川省绵阳市三台中学高考数学三诊试卷（文科）（含解析）

这是一份2024年四川省绵阳市三台中学高考数学三诊试卷（文科）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={−1,0,1}，N={x∈N|−1≤x≤2}，则M∪N等于( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {x|−1≤x≤2}D. {−1,0,1,2}
2.已知复数z=a+bi的实部为2，且z⋅z−=5，则z虚部为( )
A. 1B. ±1C. 10D. 5
3.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是( )
A. 这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B. 这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C. 这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D. 这10城市地铁运营线路条数的极差是12
4.设x∈R，向量a=(1,2)，b=(x,1)，c=(4,x)，则“b/​/c”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5=2a2a4，则S4S2=( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m//β，则α⊥β；
②若m/​/α，n/​/α，则m/​/n；
③若m⊂α，n⊂α且m//β，n/​/β，则α/​/β；
④若m⊥α，n/​/β且α/​/β，则m⊥n．
其中所有正确命题的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
7.已知sinθ⋅tanθ<0，且csθ⋅sinθ<0，则θ2为( )
A. 第一或二象限角B. 第二或三象限角C. 第一或三象限角D. 第二或四象限角
8.以下最符合函数f(x)=3x2+csx2x−2−x的图像的是( )
A. B.
C. D.
9.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德⋅皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)=P1+akx+b(P>0,a>1,k<0)的形式.已知f(x)=61+3kx+b(x∈N)描述的是一种果树的高度随着栽种时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种(x=0)时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要( )
A. 3年B. 4年C. 5年D. 6年
10.已知函数f(x)=x2+ax−2b，若a，b都是区间[0,4]内的数，则使得f(1)≥0成立的概率是( )
A. 78B. 58C. 38D. 18
11.若曲线y= 1−x2与直线kx+3k−y−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. [12,23]B. (0,34)C. [12,34)D. [14,23)
12.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且F1P⋅F1F2=b2，则C的离心率为( )
A. 13B. 23C. 17−23D. 13−23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3sin2A−cs2A=1，且a2=b2−2 3bc+c2+ 3，则△ABC的面积为______．
15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=3，侧面CDD1C1的面积为6，D1C与底面ABCD所成角的正切值为23，则该长方体外接球的表面积为______．
16.若函数f(x)=x3−3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1，x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖．随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：
经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系．
(1)若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y​=b​x+a​，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？
参考公式及数据：b​=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−，i=15xiyi=1200，i=15xi2=55
18.(本小题12分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=2，{Snn}是公差为1的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：1a1a2+1a2a3+…+1anan+1<14．
19.(本小题12分)
如图：三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，M是AB上的动点，CB=CA=CC1=2．
(Ⅰ)若点M是AB中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；
(Ⅱ)判断点M到平面A1B1C的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
20.(本小题12分)
设F为抛物线H：y2=2px(p>0)的焦点，点P在H上，点M(7p2,0)，若|PF|=|PM|=5．
(Ⅰ)求H的方程；
(Ⅱ)过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO(O为坐标原点)与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求|GB||GC|的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+ax+b，a，b∈R．
(1)若f(x)是R上的单调递增函数，求a的取值范围；
(2)当a=0时，f(x)+sinx>0对x∈R恒成立，求b的取值范围．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点P是曲线C1：x=3+3csty=3sint(t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，点M的坐标为(8,π2)，射线l：θ=π3(ρ>0)与曲线C1、C2分别交于A，B两点，求△MAB的面积．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x+3|+|x−9|，m为f(x)的最小值．
(1)求m的值，
(2)已知实数n，p，q满足n≠0，q≠0，且4n2+9p2+12q2=m，证明：1n2+2p2+1p2+3q2+1q2≥3．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合M={−1,0,1}，N={x∈N|−1≤x≤2}={0,1,2}，
则M∪N={−1,0,1,2}．
故选：D．
结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由条件可知，z=2+bi，则z−=2−bi，
则z⋅z−=4+b2=5，则b=±1，
所以z的虚部为±1．
故选：B．
根据复数的计算公式，结合复数的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
于是B，地铁运营里程的中位数是558.6+5162=537.3公里，B错误；
对于C，地铁运营线路条数的平均数为20+27+18+14+17+12+14+10+14+810=15.4，C正确；
对于D，地铁运营线路条数的极差是27−8=19，D错误．
故选：C．
根据给定的条形图，逐项分析判断即得．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(x,1)，c=(4,x)，
当b/​/c时，x2=4，即x=2或x=−2，
当a⊥b时，x+2=0，即x=−2，
故b/​/c是a⊥b的必要不充分条件．
故选：B．
先分别求出b/​/c及a⊥b时x的值，即可判断充分及必要性．
本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a3a5=2a2a4，即a3a5a2a4=q2=2，
故S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1+q2=3．
故选：C．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得a3a5a2a4=q2=2，又由S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1+q2，计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中，α与β相交或平行；在④中，由线面垂直的性质定理得m⊥n．
【解答】
解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：
在①中，若m⊥α，m//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；
在②中，若m/​/α，n/​/α，则m与n相交、平行或异面，故②错误；
在③中，若m⊂α，n⊂α且m//β，n/​/β，则α与β相交或平行，故③错误；
在④中，若m⊥α，n/​/β且α/​/β，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故④正确．
∴其中所有正确命题的序号是①④．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：sinθ⋅tanθ<0，即sin2θcsθ<0，θ在二三象限，
csθ⋅sinθ<0，θ在二四象限，
因此θ在第二象限，即2kπ+π2<θ<2kπ+π，k∈Z，
则kπ+π4<θ2故选：C．
根据已知条件判断出θ所在象限，进而可得θ2的象限．
本题考查三角函数值的符号的判断，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=3x2+csx2x−2−x，
由于2x≠2−x，解可得x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A；
又由f(−x)=3(−x)2+cs(−x)2−x−2x=−3x2+csx2x−2−x=−f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称，故排除D；
f(3)=27+cs38−18>3，故排除B，满足条件的只有C．
故选：C．
根据题意，由函数的定义域排除A，由函数的奇偶性排除D，由f(3)的值排除B，即可得答案．
本题考查函数的图像分析，涉及函数的奇偶性、定义域的分析，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
f(0)=51+2b=1f(1)=51+2k+b=2.5⇒k=−2b=2，故f(x)=51+2−2x+2，
由f(x)=51+2−2x+2>4.8，解得x>52+12lg23≈3.3，
故该果树的高度超过4.8，至少需要4年．
故选：B．
首先根据已知条件求出f(x)，然后求不等式f(x)>4.8即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，a，b都是区间[0,4]内的数，则实数a、b对应的区域为如图的正方形，
函数f(x)=x2+ax−2b，若f(1)=1+a−2b≥0，即a−2b+1≥0，
则有0≤a≤40≤b≤4a−2b+1≥0，
其对应区域为正方形内部，直线AB的下方，其中A(0,12)，B(4,52)，
故使得f(1)≥0成立的概率P=(12+52)×4×124×4=38．
故选：C．
根据题意，坐标系中，画出f(1)>0对应的区域以及a、b都是在区间[0,4]内表示的区域，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，涉及线性规划的知识，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：曲线y= 1−x2得x2+y2=1(y≥0)是以原点为圆心半径为1的上半个圆，
直线kx+3k−y−1=0过定点P(−3,−1)，斜率为k，如图所示，
由图知，当直线经过A(−1,0)点时恰与曲线有两个交点，逆时针旋转到与曲线相切时交点变为一个，
由直线与圆相切得d=|3k−1| k2+1=1，由切点在第二象限解得k=34，kAP=−1−3−(−1)=12，
曲线y= 1−x2与直线kx+3k−y−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是[12,34)．
故选：C．
曲线y= 1−x2是半圆，直线kx+3k−y−1=0恒过定点P(−3,−1)，画出图形，求解两个交点时直线的斜率及过定点与半圆相切的直线的斜率，数形结合得答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由题意直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，可得|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a−2c，
cs∠F1PF2=4c2+4c2−(2a−2c)22⋅2c⋅2c=4c2+8ac−4a28c2，
∵F1P⋅F1F2=b2，∴2c×2c×4c2+8ac−4a28c2=b2，
∴4c2+8ac−4a2=2a2−2c2，∴3a2−4ac−3c2=0，
∴3e2+4e−3=0，e∈(0,1)，∴e= 13−23．
故选：D．
由题意可得|PF1|=|F1F2|=2c，推出|PF2|=2a−2c，求得cs∠F1PF2，进而由F1P⋅F1F2=b2，可求离心率．
本题考查椭圆的离心率，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】138
【解析】解：x=1，y=1
第一次循环，z=1+1=2，z<20成立，x=1，y=2，
第二次循环，z=1+2=3，z<20成立，x=2，y=3，
第三次循环，z=2+3=5，z<20成立，x=3，y=5，
第四次循环，z=3+5=8，z<20成立，x=5，y=8，
第五次循环，z=5+8=13，z<20成立，x=8，y=13，
第六次循环，z=8+13=21，z<20不成立，跳出循环，输出138．
故答案为：138．
结合程序框图的含义，以及执行该步骤，即可求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
14.【答案】14
【解析】解：因为 3sin2A−cs2A=1，即2(sin2Acsπ6−cs2Asinπ6)=1，可得2sin(2A+π6)=1，所以2sin(2A−π6)=1，即sin(2A−π6)=12，
结合A∈(0,π)，得2A−π6∈(−π6,11π6)，所以2A−π6=π6或2A−π6=5π6，即A=π6或A=π2，
因为a2=b2−2 3bc+c2+ 3，所以b2+c2−2bccsA=b2−2 3bc+c2+ 3，整理得2 3bc−2bccsA= 3，
当A=π6时，bc=1，所以S△ABC=12bcsinA=14；当A=π2时，bc=12，所以S△ABC=12bcsinA=14．
综上所述，△ABC的面积为14．
故答案为：14．
先根据三角恒等变换公式求出角A，然后根据a2=b2−2 3bc+c2+ 3，利用余弦定理求出bc，最后根据三角形的面积公式算出答案．
本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】22π
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为侧面CDD1C1的面积为6，
所以CD⋅DD1=6，
因为D1C与底面ABCD所成角的正切值为23，
所以DD1CD=23，结合CD⋅DD1=6，可得DD1=2，CD=3，
所以该长方体外接球的半径为r= AD2+CD2+DD122= 9+9+42= 222，
表面积S=4πr2=22π．
故答案为：22π．
根据题意得到方程组，求出DD1=2，CD=3，求出外接球半径，进而得到外接球表面积．
本题主要考查了长方体的结构特征，考查了长方体外接球问题，属于中档题．
16.【答案】(−∞,16)
【解析】解：由题意知：f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2−6ax+12=3(x2−2ax+4)，
因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以x1，x2为f′(x)=0的两根，
所以Δ=36a2−144>0，又a>0，解得：a>2；
所以x1+x2=2a，x1x2=4，
所以f(x1)+f(x2)=x13−3ax12+12x1+x23−3ax22+12x2
=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)−3a(x12+x22)+12(x1+x2)
=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3a[(x1+x2)2−2x1x2]+12(x1+x2)
=2a(4a2−12)−3a(4a2−8)+24a=−4a3+24a；
令g(a)=−4a3+24a(a>2)，
则g′(a)=−12a2+24=−12(a+ 2)(a− 2)，
所以当a>2时，g′(a)<0恒成立，
所以g(a)在(2,+∞)上单调递减，
所以g(a)则f(x1)+f(x2)的取值范围为(−∞,16)．
故答案为：(−∞,16)．
根据极值点定义可知x1，x2为f′(x)=0的两根，由Δ>0可求得a>2，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将f(x1)+f(x2)化简为−4a3+24a，令g(a)=−4a3+24a(a>2)，利用导数可求得g(a)单调性，由此可得g(a)的范围，即为所求范围．
本题主要考查利用导数求极值点，属于难题．
17.【答案】解：(1)设第i天的人数为yi(i=1,2,3,4,5)，从这5天中随机抽取2天的情况为：
(y1,y2)，(y1,y3)，(y1,y4)，(y1,y5)，(y2,y3)，(y2,y4)，(y2,y5)，(y3,y4)，(y3,y5)，(y4,y5)，
共10种结果；
这5天中只有第4，5天的人数超70人，至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：(y1,y4)，(y1,y5)，(y2,y4)，(y2,y5)，(y3,y4)，(y3,y5)，(y4,y5)共7种结果．
则所求事件的概率为P=710；
(2)依题意x−=1+2+3+4+55=3，y−=50+60+70+80+1005=72，
i=15xiyi=1×50+2×60+3×70+4×80+5×100=1200，
i=15xi2=12+22+32+42+52=55，
∴b =1200−5×3×7255−5×32=12，a =72−12×3=36，
∴y =12x+36，
当x=6时，y​=108，x=7时时，y =120，
则此次活动参加抽奖的人数约为50+60+70+80+100+108+120=588．
∴线性回归方程y =12x+36，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖．
【解析】(1)列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解；
(2)求出x−，y−的值，结合题中条件，求出b​，代入即可求出回归直线方程，并预测第6，7天参与抽奖的人数，即可求出总人数．
本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，考查计算能力，是中档题．
18.【答案】(1)解：数列{an}中，a1=2，{Snn}是公差为1的等差数列，且首项为S1=2，
所以Snn=2+(n−1)=n+1，Sn=n(n+1)=n2+n，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n2+n)−[(n−1)2+(n−1)]=2n，
n=1时，a1=2，满足an=2n；
所以数列{an}的通项公式为an=2n；
(2)证明：1a1a2+1a2a3+...+1anan+1
=12×4+14×6+...+12n⋅2(n+1)
=14×[11×2+12×3+...+1n(n+1)]
=14×(1−12+12−13+...+1n−1n+1)
=14×(1−1n+1)
=14−14(n+1)<14．
【解析】(1)根据{Snn}是等差数列求出Snn，得出Sn，再利用n≥2时an=Sn−Sn−1求解即可；
(2)利用通项公式和裂项法求解即可．
本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的定义应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
19.【答案】证明：(Ⅰ)∵BC=AC，M是AB中点，∴CM⊥AB，
∵AA1⊥平面ABC，CM⊂平面图ABC，∴CM⊥AA1，
∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1=A，
∴CM⊥平面ABB1A1，
∵CM⊂平面MCC1，
∴平面MCC1⊥平面ABB1A1．
解：(Ⅱ)∵AB/​/A1B1，A1B1⊂平面A1B1C，AB⊄平面A1B1C，
∴AB/​/平面A1B1C，
∴点M到平面A1B1C的距离是定值，
令点M平分AB，作A1B1的中点M1，
连结MM1，C1M1，CM1，
过M作MO⊥CM1，垂足为O，
由题意知C、M、M1、C1共面，
∵AB⊥平面MCC1M1，AB/​/A1B1，
∴A1B1⊥平面MCC1M1，
∵MO⊂平面MCC1M1，∴A1B1⊥MO，
又∵MO⊥CM1，CM1⊂平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴MO⊥平面A1B1C，即MO是点M到平面A1B1C的距离，
∵CB=CA=CC1=2，BC⊥AC，∴AB= CA2+CB2=2 2，
∴CM= BC2−BM2= 2，∴CM1= CM2+MM12= 6，
∵12⋅MO⋅CM1=12⋅CM⋅MM1，∴MO= 2⋅2 6=2 33，
∴点M到平面A1B1C的距离为定值2 33．
【解析】(Ⅰ)推导出CM⊥AB，CM⊥AA1，从而CM⊥平面ABB1A1，由此能证明平面MCC1⊥平面ABB1A1．
(Ⅱ)推导出AB/​/平面A1B1C，从而点M到平面A1B1C的距离是定值，令点M平分AB，作A1B1的中点M1，过M作MO⊥CM1，垂足为O，推导出MO是点M到平面A1B1C的距离，由此能示出点M到平面A1B1C的距离．
本题考查面面垂直的证明，考查点到面的距离是否是定值的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点F的坐标为(p2,0)，又M(7p2,0)，|PF|=|PM|=5，
所以点P的横坐标为12(p2+7p2)=2p，
由抛物线的定义得PF|=2p+p2=5，所以p=2，
所以抛物线H的方程为y2=4x．
(Ⅱ)如图，由(Ⅰ)知点F的坐标为(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+1y2=4x，消去x得y2−4my−4=0，易知Δ>0，
则y1+y2=4m，y1y2=−4，故x1x2=y12y2216=1，
因为H的准线为x=−1，因为直线BC平行于x轴，
所以点C的坐标为C(−1,y2)，则直线CF的斜率为kCF=−y22，
所以直线AD的斜率为2y2，其方程为y−y1=2y2(x−x1)，
因为点G的纵坐标为y2，
所以点G的横坐标为xG=x1+y222−y1y22=x1+2x2+2，
所以|GB||GC|=x1+2x2+2−x2x1+2x2+2+1=x1+x2+2x1+2x2+3
=x12+x1x2+2x1x12+2x1x2+3x1=x12+2x1+1x12+3x1+2
=x1+1x1+2=1−1x1+2，
因为x1>0，则0<1x1+2<12，所以12<1−1x1+2<1，
即|GB||GC|的取值范围是(12,1)．
【解析】(Ⅰ)先由|PF|=|PM|得点P的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解；
(Ⅱ)联立直线l与抛物线l的方程，得到y1+y2，y1y2，x1x2，再根据题意依次求得点C与点G的坐标，从而将|GB||GC|转化为关于x1的表达式，从而得解．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=ex+ax+b，a，b∈R，所以f′(x)=ex+a，
若f(x)是R上的单调递增函数，则在R上有f′(x)≥0恒成立，
即ex+a≥0，所以有a≥−ex(x∈R)，令g(x)=−ex，
根据指数函数y=ex的性质，可得ex>0，则−ex<0，
所以g(x)∈(−∞,0)(x∈R)，所以a≥0，
综上，a的取值范围为{a|a≥0}．
(2)当a=0时，令F(x)=f(x)+sinx=ex+sinx+b，
f(x)+sinx>0对x∈R恒成立，即F(x)>0对x∈R恒成立，
F(x)=ex+sinx+b≥ex+b−1≥b−1，
当b≥1时，F(x)>0对x∈R恒成立，即f(x)+sinx>0对x∈R恒成立；
当b<1时，令x=(2k−12)π,F[(2k−12)π]=e(2k−12)π+b−1，
因为F[(2k−12)π]为单调递增函数，
令e(2k−12)π+b−1=0，解得k=12[ln(1−b)π+12]，
此时，F(x)>0不恒成立，即f(x)+sinx>0不恒成立；
综上，b的取值范围为{b|b≥1}．
【解析】(1)根据函数解析式，求出函数导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可；
(2)根据已知条件先对函数放缩，探究b≥1时，f(x)+sinx>0对x∈R恒成立；再利用换元法探究当b≥1与b<1时的情况，从而求得b的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求参数的取值范围，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)将曲线C1：x=3+3csty=3sint(t为参数)转化为直角坐标方程，
得(x−3)2+y2=9，
又x=ρcsθy=ρsinθ，所以(ρcsθ−3)2+ρ2sin2θ=9，
整理得ρ=6csθ，即曲线C1的极坐标方程为ρ=6csθ，
以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90°得到OQ，
设Q点的极坐标为(ρ,θ)，则P点的极坐标为(ρ,θ−π2)，
又点P在曲线C1上，所以ρ=6cs(θ−π2)=6sinθ
即曲线C2的极坐标方程为ρ=6sinθ；
(2)由题意点M到射线l：θ=π3(ρ>0)的距离d=8sinπ6=4，
联立θ=π3ρ=6csθ，解得ρA=3，
联立θ=π3ρ=6sinθ，解得ρB=3 3，
故|AB|=|ρB−ρA|=3( 3−1)，
所以△MAB的面积为12d|AB|=6( 3−1)．
【解析】(1)先求出曲线C1的普通方程，再根据x=ρcsθy=ρsinθ即可求出曲线C1的极坐标方程，结合已知，即可求得曲线C2的极坐标方程；
(2)先求出点M到射线l：θ=π3(ρ>0)的距离，再分别求出ρA，ρB，即可求出|AB|，进而可得出答案．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=|x+3|+|x−9|，
当x≤−3时，f(x)=−(x+3)−(x−9)=−2x+6，此时f(x)min=f(−3)=12；
当−3当x≥9时，f(x)=(x+3)+(x−9)=2x−6，此时f(x)min=f(9)=12；
综上所述，f(x)min=12，即m=12；
(2)证明：设a=n2+2p2，b=p2+3q2，c=q2，
则n2=a−2b+6c，p2=b−3c，q2=c，
因为4n2+9p2+12q2=m，m=12，
所以4(a−2b+6c)+9(b−3c)+12c=12，即4a+b+9c=12，
则1n2+2p2+1p2+3q2+1q2=1a+1b+1c=112⋅(1a+1b+1c)(4a+b+9c)≥112⋅( 1a⋅4a+ 1b⋅b+ 1c⋅9c)2=3，
当且仅当2a=b=3c=2时，即a=1，b=2，c=23时，等号成立，
故原不等式得证．
【解析】(1)由零点分段法分类讨论去绝对值，并每种情况下分别求出函数的最小值即可；
(2)由题设a=n2+2p2，b=p2+3q2，c=z2，结合题中条件可得4a+b+9c=12，再由“1”的整体代换和柯西不等式计算即可证明．
本题考查含绝对值的函数的最值和应用柯西不等式证明不等式成立，属于中档题．x
1
2
3
4
5
y
50
60
70
80
100