2023-2024学年江苏省南京市浦口区桥林中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市浦口区桥林中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列代数式中ab2，xy+z2，−3a2bc5，−π，4x−5y6，57中，单项式( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为( )
A. 3000x=4200x+80B. 3000x+80=4200x
C. 4200x=3000x−80D. 3000x=4200x−80
4.一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙(墙长12m)的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为( )
A. x(27−x2)=80B. x(26−2x)=80C. x(26−x2)=80D. x(27−2x)=80
5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于( )
A. 90°
B. 120°
C. 180°
D. 360°
6.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )
A. π+ 3
B. π− 3
C. 2π− 3
D. 2π−2 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是______．
8.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______．
9.如图，∠A=∠B，AB=60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为3：7，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为______．
10.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠COD=______°.
11.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作(3,3,3,3,3,3)；3个正三角形和两个正方形，记作(3,3,3,4,4)；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 ．
12.如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=17，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于______．
13.如图，△ABC中，∠C=90°.将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′.若BC′=3，AC=4，则AA′=______．
14.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A(32,0)，B(0,2)，则点A2023的坐标是______．
15.如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，∠A=30°，AC=2，AB= 3，若点P是AB上的一个动点，则CP+12AP的最小值为______．
16.阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方.因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长.例如：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，由定理得AC2+BC2=AB2，代入数据计算求得AB=5．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，∠C=90°，AB/​/CD，AB=5，CD=11，AC=8，点E是BD的中点，那么AE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：3(a3−3a2+5b)−(a2+7b)，其中a=−1，b=−2．
18.(本小题5分)
计算：x 3x+3 6x⋅ x22− 24x2+ 2x．
19.(本小题5分)
计算：(−2x2)3+3x⋅x2⋅x3+(−x3)2．
20.(本小题8分)
如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2.2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
21.(本小题6分)
如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子(图中所有的点、线都在同一平面内)求证：△ABE∽△DCA．
22.(本小题11分)
如图，二次函数y=−mx2+2mx+3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.联结AC，BD，已知tan∠ACO=13．
(1)求m的值；
(2)求∠CBD的正切值；
(3)若点P在线段BD上，且∠FPB=∠CAB，请直接写出点P的坐标．
23.(本小题11分)
如图，抛物线y=ax2+32x+c经过点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC，AC，对称轴l与BC交于点D，连接AD．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得S△ACDS△BPD=35？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)E是对称轴l上一点，F是抛物线上一点，若以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形的定义：轴对称图形沿一条直线对折两边能够完全重合可知，
选项A、B、D中的图形都是轴对称图形，
只有选项C中的图形不是轴对称图形，符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，进而判断得出答案．
【解答】
解：代数式中ab2，xy+z2，−3a2bc5，−π，4x−5y6，57，单项式ab2，−3a2bc5，−π，57共4个．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，
依题意，得：3000x=4200x+80．
故选：A．
设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(27−2x)m，
根据题意得：x(27−2x)=80．
故答案为：D．
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为(27−2x)m，根据长方形花园面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形花园的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠EFD=180°，∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∠DFE=∠BFC，
∴∠D+∠E=∠FBC+∠FCB，
∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E
=∠A+∠ABE+∠ACD+∠FBC+∠FCB
=∠A+∠ABC+∠ACB
=180°，
故选：C．
根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得答案．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是正确解答的前提．
6.【答案】D
【解析】【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD= 3BD= 3，
∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2× 3= 3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2× 3=2π−2 3，
故选：D．
7.【答案】(−5,−1)
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
8.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF−EC=8−5=3．
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9.【答案】18或70
【解析】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60−3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60−3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70．
故答案为：18或70．
设BE=3t，则BF=7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B可知，分两种情况：情况一：当BE=AG，BF=AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE=AE，BF=AG时，列方程解得t，可得AG．
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
10.【答案】25
【解析】解：设∠COD=x，
∵OC=CD=DE，
∴∠COD=∠CDO=x，∠DCE=∠DEC，
∵∠DCE=∠COD+∠CDO=2x，
∴∠DEC=2x，
∵∠BDE=∠DEC+∠COD=3x，
∴3x=75°，
∴x=25°，
故答案为：25．
由等腰三角形的性质分别求出∠COD，∠DEC的度数，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】(3,3,3,3,6)或(3,3,6,6)(写出一个方案即可)
【解析】【分析】
此题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；两种或两种以上的正多边形能组成镶嵌，同一顶点处的几个角之和为360°．
一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为360°的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°，找到这样的正多边形或组合即可．
【解答】
解：正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，1个正六边形能组成镶嵌，记做(3,3,3,3,6)；或者2个正三角形，2个正六边形能组成镶嵌，记作(3,3,6,6)．
故答案为：(3,3,3,3,6)或(3,3,6,6)(写出一个方案即可)．
12.【答案】17
【解析】解：BE⊥AC于E，交AD于P，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP=CP，
根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE，即此时CP+EP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，
∴BE=AD=17，
即CP+EP的最小值为17，
故答案为：17．
作BE⊥AC于E，交AD于P，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP=CP，根据垂线段最短得出CP+EP=BP+EP=BE=AD，即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴AB=A′B，∠ABA′=60°，BC=BC′=3，
∴△ABA′是等边三角形，
∴AB=AA′，
∵∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2= 9+16=5，
∴AA′=AB=5，
故答案为：5．
由旋转的性质可得AB=A′B，∠ABA′=60°，BC=BC′=3，可证△ABA′是等边三角形，可得AB=AA′，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】(6072,32)
【解析】解：∵A(32,0)，B(0,2)，
∴OA=32，OB=2，
∴AB= OA2+OB2=52，
∴OA+AB1+B1C2=32+52+2=6，
∴A1(6,32)，A3(12,32)，A5(18,32)，……，
∵2024÷2=1012，
∴1012×6=6072，
∴A2023(6072,32).
故答案为：(6072,32).
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，A1(6,32)，A3(12,32)，A5(18,32)，……，根据这个规律可以求得A2023的坐标．
本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】 3
【解析】解：过点A在△ABC外作射线AD，使得∠BAD=30°，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接CQ，则PQ=12AP，
∴CP+12AP=CP+PQ≥CQ，
当C、P、Q三点共线，且CQ⊥AD时，CP+12AP=CP+PQ=CQ的值最小，
∵∠CAQ=30°+30°=60°，
∴∠ACQ=30°，
∴AQ=12AC=1，
∴CQ= AC2−AQ2= 3，
故CP+12AP的最小值为： 3，
故答案为： 3．
过点A在△ABC外作射线AD，使得∠BAD=30°，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接CQ，则CP+12AP=CP+PQ≥CQ，当C、P、Q三点共线，且CQ⊥AD时，CP+12AP=CP+PQ=CQ的值最小，求出此时的CQ便可．
本题考查了垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质，关键在于作辅助线，构造12AP，应用垂线段最短原理解题．
16.【答案】5
【解析】解：作EG⊥AC，垂足为G．
∵AB/​/CD
∴△ABF∽△CDF，
∴AFCF=ABBC，
∵AB=5，DC=11，
∴AFCF=511，
∴AF=516AC=516×8=52；
∴FC=8−2.5=112，
∴BF= 52+(52)2=5 52，
DF= 112+(112)2=11 52，
∴EB=12×(5 52+11 52)=4 5，
∴EF=4 5−5 52=3 52．
易得，△ABF∽△GEF，
∴EGAB=EFFB，FGAF=EFFB，
∴EG5=3 525 52=35，FG52=35，
∴EG=3，FG=32，
∴AG=52+32=4，
在Rt△AEG中，AE= 32+42=5．
故答案为：5．
作EG⊥AC，垂足为G.根据△ABF∽△CDF，求出AF=516AC=516×8=52，FC=112，然后利用勾股定理求出BF，DF，然后求出EB，EF.根据△ABF∽△GEF，求出EG、FG，然后利用勾股定理求出AE的长．
本题考查了勾股定理和相似三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式=3a3−9a2+15b−a2−7b
=3a3−10a2+8b，
当a=−1，b=−2时，
原式=3×(−1)3−10×(−1)2+8×(−2)
=−3−10−16
=−29．
【解析】根据整式的加减运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】解：原式=x⋅ 3xx+3⋅ 6x⋅x22−2x 6+ 2x
= 3x+3 3x−2x 6+ 2x
=4 3x−2x 6+ 2x．
【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】解：(−2x2)3+3x⋅x2⋅x3+(−x3)2
=−8x6+3x6+x6
=−4x6．
【解析】先根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法进行化简，再根据合并同类项法则将同类项进行合并即可求解．
本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和合并同类项，掌握幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和合并同类项的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴BD=12AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=(r−2.4)m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r−2.4)2+3.62，
解得r=3.9．
拱桥的半径为3.9米；
(2)连接ON，
∵CD=2.4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB=2.2m，
∴CE=2.4−2.2=0.2(m)，
∴OE=r−CE=3.9−0.2=3.7(m)，
在Rt△OEN中，EN2=ON2−OE2=3.92−3.72=7.6×0.2=1.52，
∴EN= 1.52(m)．
∴MN=2EN=2× 1.52≈2.46m<3m．
∴此货船不能顺利通过这座拱桥．
【解析】(1)根据垂径定理和勾股定理求解；
(2)连接ON，OB，通过求距离水面2.2米高处即ED长为2.2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过(MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过).先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
21.【答案】证明：∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠AFG=45°，
∴∠BAE=∠ADE=45°+∠BAD；
∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，
∴△ADE∽△BAE；
同理，可得△CDA∽△ADE．
∴△BAE∽△CDA．
【解析】此题考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
由于△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，因此∠B=∠AFG=45°，可得出∠BAE=∠ADE=45°+∠BAD；已知了△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，可得出△ADE∽△BAE，同理，可得△CDA∽△ADE.由此即可得证．
22.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
∴tan∠ACO=13，
∴AOCO=13，
∴AO=1，
∴A(−1,0)，
将A点代入y=−mx2+2mx+3中，
∴−m−2m+3=0，
解得m=1；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴D(1,4)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x=−1或x=3，
∴B(3,0)，
连接CD，
∵B(3,0)，D(1,4)，C(0,3)，
∴BC=3 2，CD= 2，BD=2 5，
∴BD2=BC2+CD2，
∴∠CDB=90°，
∴tan∠CBD=CDBD= 23 2=13；
(3)过点F作FM⊥BD交于点M，
∵B(3,0)，D(1,4)，C(0,3)，
∴DF=4，BF=2，BD=2 5，
∴S△BDF=12×BF×DF=12×BD×FM，
∴2×4=2 5FM，
解得FM=4 55，
∵∠CAB=∠FPB，∠AOC=∠PMF=90°，
∴∠ACO=∠PFM，
∴13=PMFM，
∴PM=4 515，
∴FP=4 23，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0k+b=4，
解得k=−2b=6，
∴y=−2x+6，
设P(m,−2m+6)，
∴4 23= (1−m)2+(2m−6)2，
解得m=73或m=4315，
当P点在M点下方时，∠FPB是钝角，
∴m=4315(舍)，
∴P(73,43).
【解析】(1)利用tan∠ACO=13，求出A点坐标，再将A点代入y=−mx2+2mx+3中，即可求m的值；
(2)连接CD，利用勾股定理判断出∠CDB=90°，再求tan∠CBD=CDBD=13；
(3)过点F作FM⊥BD交于点P，利用等积法S△BDF=12×BF×DF=12×BD×FM，求出FM=4 55，再由∠ACO=∠PFM，求出FP=4 23，设P(m,−2m+6)，根据4 23= (1−m)2+(2m−6)2，解出m的值即可求点P的坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角形函数值，勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+32x+c中，得a−32+c=016a+6+c=0，
解得：a=−12c=2，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+32x+2；
(2)∵B(4,0)，C(0,2)，
∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，
抛物线的对称轴是：x=−1+42=32，
∴D(32,54)，
∵A(−1,0)，
∴AD的解析式为：y=12x+12，
如图1，

∵OC/​/DE，
∴BDCD=BEOE=4−3232=53，
∴S△ACDS△ABD=35，
∵S△ACDS△BPD=35，
∴S△ABD=S△BPD，
如图2，过点A作AP/​/BC，交抛物线于点P，

设PA的解析式为：y=−12x+m，
把点A(−1,0)代入得：−12×(−1)+m=0，
∴m=−12，
∴PA的解析式为：y=−12x−12，
∴−12x2+32x+2=−12x−12，
解得：x1=−1(舍)，x2=5，
此时点P的坐标为(5,−3)；
(3)分两种情况：
①如图4，四边形ACEF是平行四边形，

∵A(−1,0)，C(0,2)，点E的横坐标为32，
∴点F的横坐标为12，
∴F(12,218)；
②如图5，四边形ACFE是平行四边形，

由平移得：F的横坐标为52，
∴F(52,218)；
综上，点F的坐标为(12,218)或(52,218).
【解析】(1)将A、B的坐标代入抛物线y=ax2+32x+c中列方程组即可求得解析式；
(2)先根据已知计算△ABD的面积=△BPD的面积，过顶点A作BD的平行线，交抛物线于点P，列方程可解答；
(3)存在两种情况，根据平移的性质可得点F的坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，在解决本题时要根据不同情况进行分类讨论是解本题的关键．