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陕西省西安市第一中学等校2023-2024学年高三下学期4月阶段性测试文科数学试题（原卷版+解析版）
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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数四则运算法则化简复数，即可得到虚部.
【详解】，所以虚部为1.
故选：B.
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的混合运算，结合常用数集的定义即可得解.
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：D
3. 某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温（单位：），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据最大温度与最小温度的差即可求.
【详解】这8天的气温的最大值为21，最小值为8，所以极差为13，
故选：C
4. 已知非零向量满足，若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算可得，即可根据不等式得，进而可判断必要性，举反例即可求解不充分性.
【详解】,
由于，所以，
故能得到，
但不一定能得到，比如，满足，但无法得到，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据流程图模拟执行程序即得.
【详解】，
输入，进入循环：
，进入循环：
，进入循环；
，进入循环；
，进入循环；
，结束循环，
所以输出的.
故选：A.
6. 社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助列举法将所有可能结果与符合要求的结果列举出来即可得.
【详解】设小明和小华为，其余3人为，
任选2人的所有可能的结果为，
，共有10种，
设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E，
则E包含的基本事件有共6种，
故．
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角公式可得，即可由求解.
【详解】由可得，
解得，或（舍去）
故，故，
故选：A
8. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据即可求解最小值时，即可求解，利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角，由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故当时，此时最小，线段的长度最小值，
由于线段的最小值为，故此时，为中点，故，
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角，
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
9. 已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，不妨设且，求得，得出直线的方程，求得的坐标，即可求解.
【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即，
又由椭圆的上顶点的坐标为，可得，
因为，可得，所以椭圆的方程为，
又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且，
将点代入椭圆的方程，可得，可得，即，
因为点为椭圆的右顶点，可得，所以，
则直线的方程为，令，可得，即，
所以.
故选：D.
10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等得到，再化简得出的值和的解析式，最后求出的单调增区间即可.
【详解】由题意可知，，所以，即，
又因为，所以，
所以，解得，即.
令，
解得，
所以的单调递增区间为
所以在上单调递增.
故选：B.
11. 一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片一致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（ ）
A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆锥的高h，将圆锥的底面圆半径用h表示，通过圆锥的高线，母线和母线在底面的射影组成直角三角形，建立圆形铁片半径的函数解析式，利用求导求其最小值即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为R．
当圆形铁片面积最小时，即最小，因为该漏斗的容积，
解得，则，（）．
设，，则，
令，可得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
故当时，取得最小值9，此时圆形铁片的面积的最小值为．
故选：D
12. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】过分别作，
则是梯形的中位线，故,
由于,
所以,
故,
,
当且仅当时取等号，
故，故的夹角最大值为，
故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 设等差数列的前项和为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合等差数列的通项与前项和公式列出方程组求解即可.
【详解】设公差为，
由，
得，解得.
故答案为：.
14. 设实数满足约束条件，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，然后平移直线，找到当直线在纵轴上的截距最大时所经过的点，把该点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，如下图所示：
平移直线，当直线经过点：时，直线在纵轴上的截距最大，
此时最小，解得点的坐标为，所以的最小值为，
故答案为：.
15. 已知直线与均与相切，点在上，则的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为.
【详解】由于直线与平行，且均与相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即，
又在上，所以为切点，
故过且与垂直的直线方程为，
联立，
所以与相切于点，
故圆心为与的中点，即圆心为，
故圆的方程为，
故答案为：
16. 对任意的实数x，记函数（表示m，n中的较小者）．若方程恰有5个不同的实根，则实数t的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，设，即或恰有5个不同的实根，画出的图像，由图像可得结果.
【详解】因为，所以或恰有5个不同的实根．
设，即或恰有5个不同的实根．
设，，，的大致图象如图：
所以的图像如下图：可知有3个不同的零点，
所以方程需有2个不同的实根，所以或，所以或．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：涉及给定函数零点（或方程根）个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合解答.
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占．
（1）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数；
（2）判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）表格见解析，6；12；
（2）有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
【解析】
【分析】（1）分别计算出男女生选择《红楼梦》和《三国演义》的人数不全列联表，根据分层抽样即可得出抽取的18人中男生和女生的人数；
（2）计算出，查询表格即可得出结论
【小问1详解】
由题意，
随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占，
∴女生选择《三国演义》的人数：，
男生选择《三国演义》的人数：，
女生选择《红楼梦》的人数：，
男生选择《红楼梦》的人数：，
列联表补充如下：
按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，
∴男生人数为，
女生人数为．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
，
∴有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
18. 设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，，即可求解公比得解，
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【小问1详解】
由以及可得，
又，故，
因此公比，
故
【小问2详解】
，
则,
,
两式相减可得，
，
，
.
19. 如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为等边三角形，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到平面，再由圆台的性质得到，即可得到平面，从而得证；
（2）由利用等体积法求出点到平面的距离．
【小问1详解】
因为，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以，
又平面，平面，
故平面．
又，，平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
在等腰梯形中，易知，所以．
所以．
易知，，所以．
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，即点到平面的距离为．
20. 已知函数．
（1）求曲线在处切线方程；
（2）若，，，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由函数解析式求切点坐标，利用导数切点处切线的斜率，可求曲线在处的切线方程；
（2）问题转化为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求最值的方法求解.
【小问1详解】
由题可知，则，又，
则在处的切点坐标为，切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由题意，不等式即．
当时，有，又，所以．
下面证明：当时，在上恒成立．
令，则，
令，可得．
①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
于是．
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
于是．
令，，则，所以在上单调递增，
于是，所以恒成立．
综上可知，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：
利用导数不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21. 已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
（1）判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
（2）若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
【答案】（1）过定点.
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等式，再通过斜率之间的关系即可得出，即可得出定点坐标.
（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于的等式，从而得到定直线方程.
【小问1详解】
由题意可知，设直线的方程为.
由消去，可得，
则，，即，
.
因为
，
所以，
故直线的方程为，恒过点.
【小问2详解】
由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
所以，故点在定直线上.
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆的两个交点分别为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）消去参数可得普通方程，再将代入方程即可求解；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，再由的几何含义表达出，代入化简计算即可求出最大值.
【小问1详解】
消去参数，可得圆的普通方程为，
即.
将代入可得圆的极坐标方程为.
【小问2详解】
将直线的参数方程代入圆的普通方程可得，
所以.
易知直线过定点，设对应的参数分别为.
如图，可知，所以，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最小值为2，证明：.
【答案】（1）
（2）证据见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，再解不等式；
（2）先根据绝对值的三角不等式求出函数的最小值，即可得出的关系，再根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
，
当且仅当时取等号，
又因为的最小值为2，所以，
则，
故
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
110
200
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数四则运算法则化简复数，即可得到虚部.
【详解】，所以虚部为1.
故选：B.
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的混合运算，结合常用数集的定义即可得解.
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：D
3. 某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温（单位：），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据最大温度与最小温度的差即可求.
【详解】这8天的气温的最大值为21，最小值为8，所以极差为13，
故选：C
4. 已知非零向量满足，若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算可得，即可根据不等式得，进而可判断必要性，举反例即可求解不充分性.
【详解】,
由于，所以，
故能得到，
但不一定能得到，比如，满足，但无法得到，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据流程图模拟执行程序即得.
【详解】，
输入，进入循环：
，进入循环：
，进入循环；
，进入循环；
，进入循环；
，结束循环，
所以输出的.
故选：A.
6. 社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助列举法将所有可能结果与符合要求的结果列举出来即可得.
【详解】设小明和小华为，其余3人为，
任选2人的所有可能的结果为，
，共有10种，
设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E，
则E包含的基本事件有共6种，
故．
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角公式可得，即可由求解.
【详解】由可得，
解得，或（舍去）
故，故，
故选：A
8. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据即可求解最小值时，即可求解，利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角，由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故当时，此时最小，线段的长度最小值，
由于线段的最小值为，故此时，为中点，故，
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角，
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
9. 已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，不妨设且，求得，得出直线的方程，求得的坐标，即可求解.
【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即，
又由椭圆的上顶点的坐标为，可得，
因为，可得，所以椭圆的方程为，
又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且，
将点代入椭圆的方程，可得，可得，即，
因为点为椭圆的右顶点，可得，所以，
则直线的方程为，令，可得，即，
所以.
故选：D.
10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等得到，再化简得出的值和的解析式，最后求出的单调增区间即可.
【详解】由题意可知，，所以，即，
又因为，所以，
所以，解得，即.
令，
解得，
所以的单调递增区间为
所以在上单调递增.
故选：B.
11. 一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片一致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（ ）
A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆锥的高h，将圆锥的底面圆半径用h表示，通过圆锥的高线，母线和母线在底面的射影组成直角三角形，建立圆形铁片半径的函数解析式，利用求导求其最小值即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为R．
当圆形铁片面积最小时，即最小，因为该漏斗的容积，
解得，则，（）．
设，，则，
令，可得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
故当时，取得最小值9，此时圆形铁片的面积的最小值为．
故选：D
12. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】过分别作，
则是梯形的中位线，故,
由于,
所以,
故,
,
当且仅当时取等号，
故，故的夹角最大值为，
故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 设等差数列的前项和为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合等差数列的通项与前项和公式列出方程组求解即可.
【详解】设公差为，
由，
得，解得.
故答案为：.
14. 设实数满足约束条件，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，然后平移直线，找到当直线在纵轴上的截距最大时所经过的点，把该点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，如下图所示：
平移直线，当直线经过点：时，直线在纵轴上的截距最大，
此时最小，解得点的坐标为，所以的最小值为，
故答案为：.
15. 已知直线与均与相切，点在上，则的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为.
【详解】由于直线与平行，且均与相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即，
又在上，所以为切点，
故过且与垂直的直线方程为，
联立，
所以与相切于点，
故圆心为与的中点，即圆心为，
故圆的方程为，
故答案为：
16. 对任意的实数x，记函数（表示m，n中的较小者）．若方程恰有5个不同的实根，则实数t的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，设，即或恰有5个不同的实根，画出的图像，由图像可得结果.
【详解】因为，所以或恰有5个不同的实根．
设，即或恰有5个不同的实根．
设，，，的大致图象如图：
所以的图像如下图：可知有3个不同的零点，
所以方程需有2个不同的实根，所以或，所以或．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：涉及给定函数零点（或方程根）个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合解答.
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占．
（1）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数；
（2）判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）表格见解析，6；12；
（2）有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
【解析】
【分析】（1）分别计算出男女生选择《红楼梦》和《三国演义》的人数不全列联表，根据分层抽样即可得出抽取的18人中男生和女生的人数；
（2）计算出，查询表格即可得出结论
【小问1详解】
由题意，
随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占，
∴女生选择《三国演义》的人数：，
男生选择《三国演义》的人数：，
女生选择《红楼梦》的人数：，
男生选择《红楼梦》的人数：，
列联表补充如下：
按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，
∴男生人数为，
女生人数为．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
，
∴有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
18. 设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，，即可求解公比得解，
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【小问1详解】
由以及可得，
又，故，
因此公比，
故
【小问2详解】
，
则,
,
两式相减可得，
，
，
.
19. 如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为等边三角形，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到平面，再由圆台的性质得到，即可得到平面，从而得证；
（2）由利用等体积法求出点到平面的距离．
【小问1详解】
因为，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以，
又平面，平面，
故平面．
又，，平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
在等腰梯形中，易知，所以．
所以．
易知，，所以．
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，即点到平面的距离为．
20. 已知函数．
（1）求曲线在处切线方程；
（2）若，，，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由函数解析式求切点坐标，利用导数切点处切线的斜率，可求曲线在处的切线方程；
（2）问题转化为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求最值的方法求解.
【小问1详解】
由题可知，则，又，
则在处的切点坐标为，切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由题意，不等式即．
当时，有，又，所以．
下面证明：当时，在上恒成立．
令，则，
令，可得．
①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
于是．
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
于是．
令，，则，所以在上单调递增，
于是，所以恒成立．
综上可知，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：
利用导数不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21. 已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
（1）判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
（2）若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
【答案】（1）过定点.
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等式，再通过斜率之间的关系即可得出，即可得出定点坐标.
（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于的等式，从而得到定直线方程.
【小问1详解】
由题意可知，设直线的方程为.
由消去，可得，
则，，即，
.
因为
，
所以，
故直线的方程为，恒过点.
【小问2详解】
由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
所以，故点在定直线上.
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆的两个交点分别为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）消去参数可得普通方程，再将代入方程即可求解；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，再由的几何含义表达出，代入化简计算即可求出最大值.
【小问1详解】
消去参数，可得圆的普通方程为，
即.
将代入可得圆的极坐标方程为.
【小问2详解】
将直线的参数方程代入圆的普通方程可得，
所以.
易知直线过定点，设对应的参数分别为.
如图，可知，所以，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最小值为2，证明：.
【答案】（1）
（2）证据见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，再解不等式；
（2）先根据绝对值的三角不等式求出函数的最小值，即可得出的关系，再根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
，
当且仅当时取等号，
又因为的最小值为2，所以，
则，
故
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
110
200
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