2024天津市八校高三下学期4月二模联考试题数学含答案

这是一份2024天津市八校高三下学期4月二模联考试题数学含答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）
参考公式：三棱锥的体积公式V=13Sℎ，其中S表示棱锥的底面积，ℎ表示棱锥的高.
如果事件A,B互斥，那么PA∪B=PA+PB.
如果事件A,B相互独立，那么PAB=PAPB.
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A={−3,2,5},B={0,1,6},C={−1,4,5}，则A∩C∪B=（ ）.
A．{5,6}B．{−3,0,1,5}C．{0,1,5,6}D．{0,2,4}
2．已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设a=20.1,b=12−0.5,c=lg32，则a,b,c的大小关系为（ ）.
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a
4．已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）.
A．fx=ex+1ex−1B．fx=ex−1ex+1C．fx=x​23x​4−1D．fx=x3x​4−1
5．已知数列{an}为不单调的等比数列，a2=14,a4=116，数列{bn}满足bn=1−an+1，则数列{bn}的最大项为（ ）.
A．34B．78C．98D．54
6．有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高y（单位：cm）与父亲的身高x（单位：cm）的经验回归方程为y=0.839x+28.957，根据以上信息，下列判断正确的为（ ）.
A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数r=0.839
B．父亲的身高为170cm，儿子成年时的身高一定在171cm到172cm之间
C．父亲的身高每增加1cm，儿子成年时的身高平均增加0.839cm
D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高
7．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积为36π，点E为棱AB的中点，则三棱锥C1−AED的体积为（ ）.
A．23B．23C．423D．163
8．将函数fx=cs​2x−sinxcsx−12的图象向左平移π8个单位长度得到函数gx的图象，下列结论正确的是（ ）.
A．gx是最小正周期为π的偶函数B．点π4,0是gx的对称中心
C．gx在区间[−π12,π3]上的最大值为12D．gx在区间{0,π4}上单调递减
9．已知抛物线y​2=2pxp>0的焦点为F，抛物线上的点M4,y0到F的距离为6，双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点F1在抛物线的准线上，过点F1向双曲线的渐近线作垂线，垂足为H，则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）.
A．2B．3C．5D．3
第Ⅱ卷（本卷共11小题，共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．i为虚数单位，则3−2i1−2i= .
11．在x3−2x8的展开式中，x​3的系数为 .
12．已知直线y=2x+1与圆x​2+y​2+2ax+2y+1=0a≠0交于A,B两点，直线mx+y+2=0垂直平分弦AB，则a的值为 .
13．两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 .
14．在四边形ABCD中，∠A=120∘,AC=1,AB=2DC,M为AD中点. 记AD=a,AB=b，用a,b表示BM= ；若AN=14DC，则ND⋅BM的最大值为 .
15．设a∈R，函数fx=2∣x+a∣,x<0,∣x2−5x+4∣,x≥0.若函数y=fx−ax恰有4个零点，则实数a的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知a=3,b=22,△ABC的面积为3.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求sinB的值；
（Ⅲ）求sin2B−C的值.
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,F为B1C1的中点，点D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1,CE=2.
（Ⅰ）求证：A1F//平面BDE;
（Ⅱ）求平面ACC1A1与平面BDE夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点A1到平面BDE的距离.
18．（本小题满分15分）
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P的坐标为a,b，且线段OP的长是长轴长的74.
（Ⅰ）求椭圆的离心率e;
（Ⅱ）若直线PF2交椭圆于M,N两点（M在N的上方），过F2作PN的垂线l交y轴于点D，若线段DF2延长线上的一个点H满足△DPH的面积为433c​2.
（ⅰ）证明四边形DPHN是菱形；
（ⅱ）若DF2=43，求椭圆的方程.
19．（本小题满分15分）
已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列. a1=1，且a3−b1=1,a4−b1=b3−a6.
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若ck=ak−1akbk,k为奇数,a2n+1−k+1a2n+1−kb2n+1−k,k为偶数.
（ⅰ）当k为奇数，求ck+c2n+1−k；
（ⅱ）求∑​k=1​2nck.
20．（本小题满分16分）
已知fx=x+ax⋅lnxa∈R，
（Ⅰ）当a=2时，求fx在点e,fe处的切线方程；
（Ⅱ）讨论fx的单调性；
（Ⅲ）若函数fx存在极大值，且极大值为1，求证：fx≤e−x+x2.
【参考答案】
天津八校高三年级联合模拟考试
第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A
第Ⅱ卷（本卷共11小题，共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．75+45i
11．224
12．2
13．25； 0.42
14．12a−b； 3316
15．−1三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（Ⅰ） 解：∵S△ABC=12absinC=32sinC=3,
∴sinC=22，又△ABC是锐角三角形，
∴C=π4，又c2=a2+b2−2abcsC=5,
∴c=5.
（Ⅱ） ∵bsinB=csinC，
∴sinB=22×225=255.
（Ⅲ） ∵B∈0,π2,∴csB=55，
∴sin2B=2sinBcsB=2×255×55=45，
cs2B=cs​2B−sin​2B=15−45=−35，
∴sin2B−C=sin2BcsC−cs2BsinC=45×22−−35×22=7210.
17．（Ⅰ） 证明：取BE的中点G，连接FG,DG（图略）则FG//CC1//AA1，且FG=C1E+BB12=1+32=2,∴FG//A1D且FG=A1D，
∴四边形A1DGF为平行四边形，
∴A1F//DG.
又A1F⊄平面BDE,DG⊂平面BDE,
∴A1F//平面BDE.
（Ⅱ） 解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC. 以C为原点，以CA,CB,CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），
则B0,2,0,E0,0,2,D2,0,1,∴BE=0,−2,2,BD=2,−2,1,
设平面BDE的一个法向量为n=x,y,z,
则n⋅BE→=0,n⋅BD→=0,
即−2y+2z=0,2x−2y+z=0,令y=1，得到平面BDE的一个法向量n=12,1,1.
易知平面ACC1A1的一个法向量为m=0,1,0.
设平面ACC1A1与平面BDE的夹角为θ，
则csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=12×0+1×1+1×014+1+1=23，
∴平面ACC1A1与平面BDE夹角的余弦值为23.
（Ⅲ） 解：∵A12,0,3,A1D=0,0,−2,
∴点A1到平面BDE的距离d=A1D⋅nn=−232=43.
18．（Ⅰ） 解：由已知得a​2+b​22a=74，得3a​2=4b2，从而a​2=4c​2,∴e=12.
（Ⅱ） （ⅰ） 证明：由（Ⅰ）知a​2=4c​2，得b​2=3c​2，椭圆方程为x​24c​2+y​23c​2=1,
P2c,3c,F2c,0,
∴kPF2=3cc=3，
故直线DH的方程为y=−33x−c,
令x=0，则y=33c,∴D0,3c3，于是DF2=23c3,PF2=2c,
∴S△PDF2=12⋅2c⋅23c3=23c23,S△PDF2=12S△PDH,∴DF2=F2H,①
直线PN的方程为y=3x−c,
联立方程组y=3x−c,x​24c​2+y​23c​2=1,
得15x​2−24cx=0,
解得x1=0,x2=8c5,
∵M在N的上方，∴N0,−3c,NF2=2c,
又PF2=2c，即NF2=PF2,②
由①②得，四边形DPHN的对角线互相平分，又因为四边形DPHN的对角线互相垂直，因此，四边形DPHN是菱形.
（ⅱ） 解：由DF2=23c3=43，解得c=233，从而a=433,b=2,∴椭圆的方程为3x​216+y​24=1.
19．（Ⅰ） 解：设数列{an}的公差为d,∵{bn}的公比为2,a1=1,
由a3−b1=1,a4−b1=b3−a6，得b1=2,d=1,
∴an=n,bn=2​n.
（Ⅱ） （ⅰ） ∵k为奇数，∴2n+1−k为偶数.
∴ck+c2n+1−k
=ak−1akbk+a2n+1−2n+1−k+1a2n+1−2n+1−k⋅b2n+1−2n+1−k
=ak−1akbk+ak+1akbk
=2akbk=2k⋅2​k.
（ⅱ） 令S2n=∑2nk=1ck.
∵S2n=c1+c2+⋯+c2n−1+c2n,
即S2n=c2n+c2n−1+⋯+c2+c1，
∴2S2n=c1+c2n+c2+c2n−1+⋯+c2n−1+c2+c2n+c1, ∴2S2n=2c1+c2n+2c3+c2n−2+⋯+2c2n−1+c2.
即S2n=c1+c2n+c3+c2n−2+⋯+c2n−1+c2,
故S2n=2×1×21+2×3×23+⋯+2×2n−3⋅22n−3+2×2n−122n−1,
4S2n=2×1×23+2×3×25+⋯+2×2n−3⋅22n−1+2×2n−1×22n+1,
所以−3S2n=4+423+25+⋯+22n−1−2×2n−1×22n+1，即−3S2n=4+48−22n+11−4−2×2n−1×22n+1,
整理得S2n=209+12n−109×22n+1.
20．（Ⅰ） 解：当a=2时，fx=x+2xlnx，则fe=e+2e=3e，又f′x=3+2lnx,∴切线的斜率k=f′e=5,∴所求切线方程为y−3e=5x−e，即y=5x−2e.
（Ⅱ） 解：函数fx的定义域为0,+∞，
∵f′x=1+alnx+ax⋅1x=1+a+alnx.
①当a=0时，f​′x=1>0,∴fx在0,+∞上单调递增.
②当a>0时，x∈e−1+1a,+∞时，f​′x>0,
∴函数fx在e−1+1a,+∞上单调递增；x∈0,e−1+1a时，f​′x<0，∴函数fx在0,e−1+1a上单调递减.
③当a<0时，x∈0,e−1+1a时，f​′x>0,∴函数fx在0,e−1+1a上单调递增；
x∈e−1+1a,+∞时，f​′x<0,∴函数fx在e−1+1a,+∞上单调递减.
（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）可知，当a<0时，fx存在极大值，且极大值为fe−1+1a=1,
则e−1+1a+ae−1+1a⋅lne−1+1a=1，即e−1+1a[1−a1+1a]=1，整理得e−1+1a⋅−a=1，从而e−1+1a=−1a，设−1a=t，则et−1=t. 令gt=et−1−tt>0，所以g′t=et−1−1,当0当t>1时，g​′t>0，所以gt在1,+∞上单调递增.
而g1=e0−1=0，所以et−1−t=0的根为t=1. 从而a=−1.
因此fx=x−xlnx，即证x−xlnx≤e−x+x2x>0成立，
也就是证1−lnx≤e−xx+x，即证1−x−lnx≤e−xelnx=e−x−lnx，
也就是证e−x−lnx≥−x−lnx+1，设u=−x−lnx，即证eu≥u+1.
设Hu=eu−u−1,∴H′u=eu−1,
当u∈−∞,0时，H​′u<0,∴Hu在−∞,0上单调递减；
当u∈0,+∞时，H​′u>0,∴Hu在0,+∞上单调递增.
Hu≥H0=0，即eu−u−1≥0恒成立，
∴fx≤e−x+x2恒成立.