广东省广州市增城区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共6页，满分120分，考试时间90分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 下列四个数是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数和无理数，熟知这两个定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数，据此判断即可．
【详解】解：A、是无限循环小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、0有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限点的坐标的特点解答．
【详解】解：点P（−2，1）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）是解题的关键．
3. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 同位角相等B. 对顶角相等C. 同旁内角互补D. 内错角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题真假判定、平行线的性质以及对顶角的性质，根据平行线的性质及对顶角的性质对选项进行判断，即可解题．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A为假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C为假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，所以D为假命题，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，直线与相交于点O，若，则（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据邻补角定义和对顶角性质求得和的度数，然后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查邻补角定义、对顶角性质等知识点，掌握对顶角的性质是解答本题的关键．
5. 如图所示，在象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据点确定坐标系，从而确定点的坐标．根据“帅”、“象”的位置可确定平面直角坐标系的坐标轴所在的位置，从而可确定“炮”的位置即坐标．
【详解】解：如图所示：“炮”位于点．
故选：D．
6. 如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据点到直线的距离，垂线段最短分析即可．
【详解】解：图中过点到直线的所有线段中，，
最短的一条是，
故选：B．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、绝对值、算术平方根，根据立方根、二次根式的性质、绝对值、算术平方的计算方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
8. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 将一副三角板按如图方式放置，使，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设BC与EF交于点G，由平行和对顶角的性质可求出，再由三角形外角的性质即可求出．
【详解】如图，设BC与EF交于点G．
∵，
∴．
∴．
∵，．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角板的认识，三角形外角的性质，平行线的性质以及对顶角相等．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……依此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A. （505，1010）B. （-506，1010）C. （-506，1011）D. （506，1011）
【答案】B
【解析】
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“(-n-1，2n)，(-n-1，2n+1)，(n+1，2n+1)，(n+1，2n+2)(n为自然数)”，依此规律结合2020 = 5054，即可得出点的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点，观察发现：A(-1，0)，
(-1，1)，(1，1)，(1，2)，(-2，2)，
(-2，3)，(2，3)，(2，4)，(-3，4)，
……
(-n-1，2n)，(-n-1，2n+1)，(n+1，2n+1)，(n+1，2n+2)(n为自然数)，
2020 = 5054，
，即(-506，1010)．
故选B．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“(-n-1，2n)，(-n-1，2n+1)，(n+1，2n+1)，(n+1，2n+2)(n为自然数)”是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 9的算术平方根是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式加减运算，根据和属于同类二次根式，所以可以加减计算即可求出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 命题“如果，那么”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】根据真假命题的概念直接进行解答即可．
【详解】由，则有，所以命题“如果，那么”是真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查命题，正确理解真假命题是解题的关键．
14. 如图，已知，，，要使，则需添加__________（只填出一种即可）的条件．

【答案】或或（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
若，则，
；
，，
，则，
若，则，
；
综上所述，添加或或，，
故答案为：或或（答案不唯一）．
15 如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则_____度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：116．
16. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则P点的坐标为___________．
【答案】（，3）或（，-3）
【解析】
【分析】直接利用某个“和谐点”到x轴的距离为3，得出y的值，进而求出x的值求出答案．
【详解】解：∵某个“和谐点”到x轴的距离为3，
∴y=±3，
∵x+y=xy，
∴x+3=3x或x-3=-3x，
解得：x=或x=．
则P点的坐标为：（，3）或（，-3）．
故答案为：（，3）或（，-3）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的化简，根据定义计算即可．
【详解】
．
18. 已知：如图，，平分．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
根据角平分线的定义，利用等量代换证明，利用平行线的判定定理证明．
【详解】解：∵平分，即，
又∵，
19. 已知一个正数的两个平方根是和，求的值和这个正数．
【答案】，这个正数为
【解析】
【分析】本题考查了平方根应用，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数求出，即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
这个正数为：．
20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出把先向右平移4个单位，再向下平移3个单位后所得到的；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换，求三角形面积，熟练掌握平移变换的性质是解此题的关键．
（1）根据平移变化的性质找出对应点即可得解；
（2）利用割补法求三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
；
【小问2详解】
解：．
21. 如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD=∠ACB.
（1）求证：EF∥CD；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据垂直于同一条直线的两直线互相平行判断EF∥CD；（2）根据∠AGD=∠ACB得出DG//BC，再得出∠1＝∠DCB，又根据CD//EF可得出∠2＝∠DCB，即可得出∠1=∠2；
试题解析：
（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D（已知），
∴ED//CD（垂直于同一条直线的两直线互相平行）；
（2）∵∠AGD=∠ACB（已知），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），
又∵CD//EF（已证），
∴∠2＝∠DCB（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．
22. 已知平面直角坐标系中一点．
（1）当点P在y轴上时，求出m的值；
（2）当平行于x轴，且，求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】此题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特点，根据点的坐标特征列出方程是解题的关键．
（1）根据点P在y轴上得到，即可得到m的值；
（2）根据平行于x轴，点A的坐标为，则，解得，即可得到点P的坐标；
（3）根据题意得到或．分别求出m的值，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵点P在y轴上，
∴，
解得．
小问2详解】
∵平行于x轴，
∴直线上所有点的纵坐标相等．
又∵点A的坐标为，
∴，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
【小问3详解】
∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴或．
当时，
解得，
∴．
此时点P的坐标为．
当时，
解得，
∴．
此时点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
23. 如图，在三角形中，D为线段上一点，为线段上一点，为线段上一点，平分，平分，．
（1）求证：；
（2）过点作，求证：；
（3）探究，，的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）证明，由角平分线的定义得出，计算出，即可得证；
（2）由平行线的性质可得，由（1）得，从而得出，由角平分线的定义得出，令，则，求出即可得证；
（3）过点作，则，由平行线的性质可得，从而得出，进而得出，即可得解．
【小问1详解】
证明：，，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，过点作，
则，
由（1）得，
，
平分，
，
令，则，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
证明如下：
如图，过点作，
则，
，
，
，
．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中满足：．平移线段得到线段，使得两点分别落在轴和轴上．
（1）点坐标__________，点坐标__________；
（2）如图1，将点向下移动1个单位得到点，连接、，在轴上是否存在点，使得与面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，点是射线上一动点，与点不重合，连接不过点，若与的平分线交于点，直接写出与的数量关系．
【答案】（1），
（2）点的坐标为或
（3）当点在射线上时，；当点在线段上时，
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质、平移的性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由非负数的性质求出，，得到，，由题意得出线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，即可得出答案；
（2）由题意得点，连接，由得出，结合得，从而即可得解；
（3）分两种情况：当点在射线上时；当点在线段上时；分别利用角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，，，
，，
，，
解得：，，
，，
平移线段得到线段，使得两点分别落在轴和轴上，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：将点向下移动1个单位得到点，
点，
由（1）得：，，
如图，连接，
，
则
，
，
，
，
，，
点的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，当点在射线上时，延长交于，令交于，
，
平分，平分，
，，
，
，，
，
，
，，
，
；
当点在线段上时，同理可得：．
25. 如图1，，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，，，与交于点，求的度数；
（3）如图3，过作于点，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键．
（1）延长交于点，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（2）由题意得出，，由（1）知，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案；
（3）求出，由题意得，由结合，得出，即可得解．
【小问1详解】
解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
由（1）知，，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
．