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2024年四川省 达州市达川区达州中学附属实验学校中考适应性考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年四川省 达州市达川区达州中学附属实验学校中考适应性考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年四川省达州市达川区达州中学附属实验学校中考适应性考试数学试题原卷版docx、2024年四川省达州市达川区达州中学附属实验学校中考适应性考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
1.答卷前，请务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在答题卡上．
2.每小题答案请写在答题卡上对应题号的位置．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题4分，共40分）
1. 2023年3月统计四川省达州市常住人口约539万，其中539万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：539万，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. a•a2＝a3B. （a+b）2＝a2+b2
C. a8÷a2＝a4D. a2+a3＝a5
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、同底数幂的除法及合并同类项的法则进行计算，然后对比结果即可确定答案．
【详解】解：A、根据同底数幂的乘法法则得，a•a2＝a3，∴原式正确；
B、根据完全平方公式得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴原式错误；
C、根据同底数幂的除法法则得，a8÷a2＝a6，∴原式错误；
D、根据合并同类项法则得，a2和a3不能合并，∴原式错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法，合并同类项和完全平方公式是关键．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体是：圆锥和圆柱的结合体.
故选C.
4. 班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六名同学，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么，这六名同学学习时间的众数与中位数分别是（ ）
A. 4小时和4.5小时B. 4.5小时和4小时C. 4小时和5小时D. 5小时和4小时
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的一个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数进行求解即可．
【详解】解：由表格可知学习时间为4小时出现了两次，出现的次数最多，
∴这六名同学学习时间的众数为4小时
把这组数据从小到大排列为3、4、4、5、6、8，处在最中间的两个数据为4小时、5小时
∴这组数据的中位数为小时，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，熟知二者的定义是解题的关键．
5. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长．
【详解】解：∵点分别是边的中点，，
∴，
∵，且，
又∵点是边的中点，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键．
6. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．
详解】解：连接、，如图所示：
正六边形内接于，
，
P是圆上任意一点，，
根据圆周角定理，，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形与圆背景下求角度问题，涉及到正六边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．
7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：2021年的快递业务量增长率）年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是( )
A. 8B. 16C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】分析：
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
又∵CD=AC，
∴AD=CD=AC，
即△ADC是等边三角形，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积
∴
∴菱形ABCD的周长为
故选A.
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，也考查了等边三角形的判定，菱形的性质等.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，将绕原点O顺时针旋转，旋转6次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，，⋯，可得，从而求得，在x轴的正半轴，，再利用锐角三角函数求得点的横坐标和纵坐标即可．
【详解】解：如图，∵，，
∴，，轴，
∴，
∴，
∵每一次旋转角是，
∴旋转6次后，正好旋转一周，点在x轴的正半轴上，
∵，
∴点在x轴的正半轴上，
∵每次旋转后，，，，⋯，
∴，，，⋯，
依次类推，，
∴，
∴，
∵在x轴的正半轴，，
∴点的横坐标为：，点的纵坐标是：，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数、规律型，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
10. 三年抗击新冠疫情取得了决定性的胜利，众所周知疫苗接种对新冠疫情防控至关重要，接种疫苗能够对个体进行有效保护，并降低感染率、重症率和病亡率．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，乙地才开始接种且平均每天比甲地少接种0.1万人．甲地经过a天后接种人数达到17万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果112天完成接种任务．乙地80天完成接种任务，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种所用时间x（天）之间的关系如图所示．
由题意得出下列结论：
①乙地每天接种0.5万人；
②a的值为20；
③当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为8万人；
④当甲乙两地接种人数相差6万人时，接种时间为第10天或第24天或第72天．
其中正确结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由接种速度接种人数接种天数可求得乙的接种速度，即可判断①；由题意可得甲的接种速度，进而可得，求解即可判断②；利用待定系数法求得当时，甲地的解析式为，再代入求解即可判断③；根据题意分则当时，，当时，，当时，，分别求解即可判断④．
【详解】解：由题意可知乙地接种速度为（万人/天），故①正确；
∵乙地才开始接种且平均每天比甲地少接种0.1万人
∴甲地接种人数达到17万人前的接种速度为（万人/天），
则，解得，故②正确；
由题意可知：乙地的解析式为：，
由题意结合图象，当时，甲地的解析式为：，
设当时，甲地的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
（万人），故③正确；
∵甲乙两地接种人数相差6万人
则当时，，得：，
当时，，得：或，
当时，，得：，
∴当甲乙两地接种人数相差6万人时，接种时间为第10天或第24天或第72天或第88天，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出, ，代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
则，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值．
13. 若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有解则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】解：
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了分式方程的解及解分式方程、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，将直线向上平移若干个单位长度得到直线，直线分别与反比例的图象和轴交于B，C两点，若，四边形的面积为18，则k的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，作轴于，轴于，则，根据题意得出，通过证得，得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，进而得出，从而求得的值．
详解】解：连接、，作轴于，轴于，则，
∵，，
∴，
∵四边形的面积为18，即：，
∴，
∵，，
则，，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，
∵，
则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，反比例函数系数的几何意义，求得，进而得出是解题的关键．
15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有___________．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据图象过点得到，由得到，则，即可判断③；分三种情况根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，即，
则，故②错误；
∵图象过点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故③正确；
当时，，不符合题意，
当时，∵，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
当时，，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，数形结合是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共90分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2），
【解析】
【分析】（1）分别根据求算术平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据，得，将其代入进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算及分式的化简求值，熟知实数的混合运算及分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17. 为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《达州市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
（1）表中___________，___________；
（2）扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为___________．
（3）由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是，将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽，若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）12，42；
（2）36°； （3）小华的概率，小亮的概率，这个规则对双方不公平
【解析】
【分析】（1）先利用“声乐”所对的圆心角是90°，条形统计图中参加“声乐”人数为30人求出所抽查的总人数，再根据“体锻”所占的百分比来求出a，用总人数减去其它三个课程的人数就可以求出b；
（2）用360° 乘“书法”所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
【小问1详解】
解：从扇形统计图中可知，“声乐”所对的圆心角是90°，条形统计图中参加“声乐”人数为30人，
所以总人数为：（人），
在扇形统计图中“体锻”所占的百分比为，
所以人数（人），
所以（人）．
故答案为：12，42；
【小问2详解】
解：由（1）可知，参加“书法”是12人，被抽查人数为120人，
所以扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为．
故答案为：36°．
【小问3详解】
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，
则名额给小华的概率是，名额给小亮的概率是，
∵，
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中的三个顶点均在格点上，点B的坐标为
（1）将向左平移5个单位长度，得到，画出；（不写作法）
（2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在第四象限中画出；（不写作法）
（3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（3）根据点的位置，写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
∵点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，
∴是的中点，
M的对应点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
19. 如图，在中，D是边上的一点，连接，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：．
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，求出，然后再证明三角形全等即可；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．
【小问1详解】
证明：，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形．
理由如下：
，D是的中点，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是解本题的关键．
20. 达州市达川区“三里古街”在春节灯会走红网络，成为全市游客新打卡地！某初三学生想测量该地一标志建筑物的高度，如图，他利用无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为，继续向该建筑物方向水平飞行60米到达B处，测得顶端C的俯角为，已知该无人机的飞行高度米，求这一标志建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】13.5米
【解析】
【分析】过点作，，可知四边形，四边形均为矩形，易得，，设米，可知，，由，可得，解方程，即可解决问题．
【详解】解：过点作，，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
由题意可知：，，，
设米，则，
，
∵，即：，
解得：，即：米，
∴米，
即：这一标志建筑物的高度为13.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义和俯角定义．
21. 为迎接“五一”小长假购物高潮，摩尔百货商场某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价：
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34350元，问该专卖店共有几种进货方案．
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元
（2）共有6种进货方案
【解析】
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进衬衫的数量，根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
【小问2详解】
设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，
根据题意得：
解得：
∵为整数，即：，101，102，103，104，105，
∴共有6种进货方案，
答：共有6种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，两点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式解集；
（3）点为平面内任意一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）图形结合，即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形；②如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为；③如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为；根据两直线交点与二元一次方程组综合，图形结合分析即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数得，，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，反比例函数解析式为，把点代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图像交于点，，
∴的解集为或．
【小问3详解】
解：∵点，在直线的图像上，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，则直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，则直线的解析式为，
①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，
∴，
∴设所在直线的解析式为，把点代入得，
，解得，，
∴直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，把点代入得，
，解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线交于点，
∴，解得，，
∴；
②如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线解析式为，直线的解析式为，
∴，
∵直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，
∴直线是由直线向下平移个单位得到，
∴直线的解析式为，
∴，解得，，
∴；
③如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴所在直线的解析式为，
同理，，解得，，
∴；
综上所述，以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析，几何图形的性质，平行线求解析式的方法，两直线交点坐标与二元一次方程组的综合运用是解题的关键．
23. 如图，是的外接圆，为的直径，点E为上一点，交的延长线于点F，与交于点D，连接，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）连接，先根据圆周角定理及已知条件得出，进而得出，再由，根据平行线的性质得出，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．
【小问1详解】
证明：连接．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，则
又∵，
∴．
由圆周角定理可知：
∵，，则，
设的半径为，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是4．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
24. 已知正方形，E，F为平面内两点．
【问题发现】
（1）如图1，当点E在边上时，作，交的延长线于点F．连接，则与的数量关系是________；
【类比探究】
（2）如图2，当点E在正方形外部时，作，交的延长线于点F．当时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，当点E在正方形外部时，作于E，作，，且D，E，F三点共线，若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）结合正方形的性质，可得，由“”可证，可得，易知为等腰直角三角形，进而可得；
（2）结合正方形的性质，可得，，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）过点作垂直于，交延长线于，类比（2）可知是等腰直角三角形，可得，，，，再由勾股定理可求的长，得到的长，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）过点作垂直于，交延长线于，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
25. 如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值．
【答案】（1），；
（2）最大面积为：，；
（3），最小值为：．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可；
（3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴
∵抛物线和一次函数的图象都经过点、
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：，
【小问2详解】
如图，过作轴，交轴于点，交于点，
设，则，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴当时，面积最大，最大值为，
此时，即点；
【小问3详解】
如图，过作轴，交轴于点，交于点，过作于点，
由（2）可知：，∴，
∴，
由得：当时，，∴，
则有，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，，
则当点三点共线时有最小值，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数、图形面积计算等，解题的关键是如何找到等线段．姓名
丽丽
明明
莹莹
华华
乐乐
凯凯
学习时间（小时）
5
3
6
4
4
8
课程
人数
声乐
30
书法
科创
36
体锻
衬衫价格
甲
乙
进价（元/件）
售价（元/件）
260
180
1.答卷前，请务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在答题卡上．
2.每小题答案请写在答题卡上对应题号的位置．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题4分，共40分）
1. 2023年3月统计四川省达州市常住人口约539万，其中539万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：539万，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. a•a2＝a3B. （a+b）2＝a2+b2
C. a8÷a2＝a4D. a2+a3＝a5
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、同底数幂的除法及合并同类项的法则进行计算，然后对比结果即可确定答案．
【详解】解：A、根据同底数幂的乘法法则得，a•a2＝a3，∴原式正确；
B、根据完全平方公式得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴原式错误；
C、根据同底数幂的除法法则得，a8÷a2＝a6，∴原式错误；
D、根据合并同类项法则得，a2和a3不能合并，∴原式错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法，合并同类项和完全平方公式是关键．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体是：圆锥和圆柱的结合体.
故选C.
4. 班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六名同学，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么，这六名同学学习时间的众数与中位数分别是（ ）
A. 4小时和4.5小时B. 4.5小时和4小时C. 4小时和5小时D. 5小时和4小时
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的一个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数进行求解即可．
【详解】解：由表格可知学习时间为4小时出现了两次，出现的次数最多，
∴这六名同学学习时间的众数为4小时
把这组数据从小到大排列为3、4、4、5、6、8，处在最中间的两个数据为4小时、5小时
∴这组数据的中位数为小时，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，熟知二者的定义是解题的关键．
5. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长．
【详解】解：∵点分别是边的中点，，
∴，
∵，且，
又∵点是边的中点，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键．
6. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．
详解】解：连接、，如图所示：
正六边形内接于，
，
P是圆上任意一点，，
根据圆周角定理，，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形与圆背景下求角度问题，涉及到正六边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．
7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：2021年的快递业务量增长率）年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是( )
A. 8B. 16C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】分析：
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
又∵CD=AC，
∴AD=CD=AC，
即△ADC是等边三角形，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积
∴
∴菱形ABCD的周长为
故选A.
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，也考查了等边三角形的判定，菱形的性质等.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，将绕原点O顺时针旋转，旋转6次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，，⋯，可得，从而求得，在x轴的正半轴，，再利用锐角三角函数求得点的横坐标和纵坐标即可．
【详解】解：如图，∵，，
∴，，轴，
∴，
∴，
∵每一次旋转角是，
∴旋转6次后，正好旋转一周，点在x轴的正半轴上，
∵，
∴点在x轴的正半轴上，
∵每次旋转后，，，，⋯，
∴，，，⋯，
依次类推，，
∴，
∴，
∵在x轴的正半轴，，
∴点的横坐标为：，点的纵坐标是：，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数、规律型，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
10. 三年抗击新冠疫情取得了决定性的胜利，众所周知疫苗接种对新冠疫情防控至关重要，接种疫苗能够对个体进行有效保护，并降低感染率、重症率和病亡率．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，乙地才开始接种且平均每天比甲地少接种0.1万人．甲地经过a天后接种人数达到17万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果112天完成接种任务．乙地80天完成接种任务，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种所用时间x（天）之间的关系如图所示．
由题意得出下列结论：
①乙地每天接种0.5万人；
②a的值为20；
③当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为8万人；
④当甲乙两地接种人数相差6万人时，接种时间为第10天或第24天或第72天．
其中正确结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由接种速度接种人数接种天数可求得乙的接种速度，即可判断①；由题意可得甲的接种速度，进而可得，求解即可判断②；利用待定系数法求得当时，甲地的解析式为，再代入求解即可判断③；根据题意分则当时，，当时，，当时，，分别求解即可判断④．
【详解】解：由题意可知乙地接种速度为（万人/天），故①正确；
∵乙地才开始接种且平均每天比甲地少接种0.1万人
∴甲地接种人数达到17万人前的接种速度为（万人/天），
则，解得，故②正确；
由题意可知：乙地的解析式为：，
由题意结合图象，当时，甲地的解析式为：，
设当时，甲地的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
（万人），故③正确；
∵甲乙两地接种人数相差6万人
则当时，，得：，
当时，，得：或，
当时，，得：，
∴当甲乙两地接种人数相差6万人时，接种时间为第10天或第24天或第72天或第88天，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出, ，代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
则，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值．
13. 若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有解则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】解：
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了分式方程的解及解分式方程、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，将直线向上平移若干个单位长度得到直线，直线分别与反比例的图象和轴交于B，C两点，若，四边形的面积为18，则k的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，作轴于，轴于，则，根据题意得出，通过证得，得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，进而得出，从而求得的值．
详解】解：连接、，作轴于，轴于，则，
∵，，
∴，
∵四边形的面积为18，即：，
∴，
∵，，
则，，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，
∵，
则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，反比例函数系数的几何意义，求得，进而得出是解题的关键．
15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有___________．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据图象过点得到，由得到，则，即可判断③；分三种情况根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，即，
则，故②错误；
∵图象过点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故③正确；
当时，，不符合题意，
当时，∵，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
当时，，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，数形结合是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共90分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2），
【解析】
【分析】（1）分别根据求算术平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据，得，将其代入进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算及分式的化简求值，熟知实数的混合运算及分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17. 为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《达州市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
（1）表中___________，___________；
（2）扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为___________．
（3）由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是，将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽，若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）12，42；
（2）36°； （3）小华的概率，小亮的概率，这个规则对双方不公平
【解析】
【分析】（1）先利用“声乐”所对的圆心角是90°，条形统计图中参加“声乐”人数为30人求出所抽查的总人数，再根据“体锻”所占的百分比来求出a，用总人数减去其它三个课程的人数就可以求出b；
（2）用360° 乘“书法”所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
【小问1详解】
解：从扇形统计图中可知，“声乐”所对的圆心角是90°，条形统计图中参加“声乐”人数为30人，
所以总人数为：（人），
在扇形统计图中“体锻”所占的百分比为，
所以人数（人），
所以（人）．
故答案为：12，42；
【小问2详解】
解：由（1）可知，参加“书法”是12人，被抽查人数为120人，
所以扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为．
故答案为：36°．
【小问3详解】
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，
则名额给小华的概率是，名额给小亮的概率是，
∵，
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中的三个顶点均在格点上，点B的坐标为
（1）将向左平移5个单位长度，得到，画出；（不写作法）
（2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在第四象限中画出；（不写作法）
（3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（3）根据点的位置，写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
∵点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，
∴是的中点，
M的对应点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
19. 如图，在中，D是边上的一点，连接，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：．
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，求出，然后再证明三角形全等即可；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．
【小问1详解】
证明：，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形．
理由如下：
，D是的中点，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是解本题的关键．
20. 达州市达川区“三里古街”在春节灯会走红网络，成为全市游客新打卡地！某初三学生想测量该地一标志建筑物的高度，如图，他利用无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为，继续向该建筑物方向水平飞行60米到达B处，测得顶端C的俯角为，已知该无人机的飞行高度米，求这一标志建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】13.5米
【解析】
【分析】过点作，，可知四边形，四边形均为矩形，易得，，设米，可知，，由，可得，解方程，即可解决问题．
【详解】解：过点作，，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
由题意可知：，，，
设米，则，
，
∵，即：，
解得：，即：米，
∴米，
即：这一标志建筑物的高度为13.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义和俯角定义．
21. 为迎接“五一”小长假购物高潮，摩尔百货商场某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价：
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34350元，问该专卖店共有几种进货方案．
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元
（2）共有6种进货方案
【解析】
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进衬衫的数量，根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
【小问2详解】
设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，
根据题意得：
解得：
∵为整数，即：，101，102，103，104，105，
∴共有6种进货方案，
答：共有6种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，两点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式解集；
（3）点为平面内任意一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）图形结合，即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形；②如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为；③如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为；根据两直线交点与二元一次方程组综合，图形结合分析即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数得，，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，反比例函数解析式为，把点代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图像交于点，，
∴的解集为或．
【小问3详解】
解：∵点，在直线的图像上，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，则直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，则直线的解析式为，
①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，
∴，
∴设所在直线的解析式为，把点代入得，
，解得，，
∴直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，把点代入得，
，解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线交于点，
∴，解得，，
∴；
②如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线解析式为，直线的解析式为，
∴，
∵直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，
∴直线是由直线向下平移个单位得到，
∴直线的解析式为，
∴，解得，，
∴；
③如图所示，以为边，四边形是平行四边形，且直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴所在直线的解析式为，
同理，，解得，，
∴；
综上所述，以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析，几何图形的性质，平行线求解析式的方法，两直线交点坐标与二元一次方程组的综合运用是解题的关键．
23. 如图，是的外接圆，为的直径，点E为上一点，交的延长线于点F，与交于点D，连接，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）连接，先根据圆周角定理及已知条件得出，进而得出，再由，根据平行线的性质得出，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．
【小问1详解】
证明：连接．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，则
又∵，
∴．
由圆周角定理可知：
∵，，则，
设的半径为，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是4．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
24. 已知正方形，E，F为平面内两点．
【问题发现】
（1）如图1，当点E在边上时，作，交的延长线于点F．连接，则与的数量关系是________；
【类比探究】
（2）如图2，当点E在正方形外部时，作，交的延长线于点F．当时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，当点E在正方形外部时，作于E，作，，且D，E，F三点共线，若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）结合正方形的性质，可得，由“”可证，可得，易知为等腰直角三角形，进而可得；
（2）结合正方形的性质，可得，，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）过点作垂直于，交延长线于，类比（2）可知是等腰直角三角形，可得，，，，再由勾股定理可求的长，得到的长，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）过点作垂直于，交延长线于，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
25. 如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值．
【答案】（1），；
（2）最大面积为：，；
（3），最小值为：．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可；
（3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴
∵抛物线和一次函数的图象都经过点、
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：，
【小问2详解】
如图，过作轴，交轴于点，交于点，
设，则，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴当时，面积最大，最大值为，
此时，即点；
【小问3详解】
如图，过作轴，交轴于点，交于点，过作于点，
由（2）可知：，∴，
∴，
由得：当时，，∴，
则有，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，，
则当点三点共线时有最小值，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数、图形面积计算等，解题的关键是如何找到等线段．姓名
丽丽
明明
莹莹
华华
乐乐
凯凯
学习时间（小时）
5
3
6
4
4
8
课程
人数
声乐
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书法
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36
体锻
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