2025版高考物理一轮总复习考点突破训练题第12章电磁感应第30讲法拉第电磁感应定律自感和涡流考点2导体棒切割磁感线引起的感应电动势的计算

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1．导体平动切割磁感线时四点注意事项
对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E＝Blv，应从以下几个方面理解和掌握。
(1)正交性：B、l、v三者相互垂直，不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。
(2)瞬时性：当v或l变化时，用E＝BLv计算感应电动势的瞬时值。
(3)相对性：速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系。
(4)有效性：l为导体切割磁感线的有效长度，即导体在与v垂直的方向上的投影长度，下图中有效长度分别为：
图甲：l＝eq \x\t(cd)sin β；
图乙：沿v1方向运动时，l＝eq \x\t(MN)；沿v2方向运动时，l＝0；
图丙：沿v1方向运动时，l＝eq \r(2)R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R。
2．导体转动切割磁感线时电动势的计算
当导体棒在垂直于磁场的平面内，绕导体棒上某一点以角速度ω匀速转动时，则：
(1)以导体棒中点为轴时，E＝0(相同两段的代数和)。
(2)以导体棒端点为轴时，E＝eq \f(1,2)Bωl2(平均速度取中点位置的线速度eq \f(1,2)ωl)。
(3)以导体棒上任意一点为轴时，E＝eq \f(1,2)Bω(leq \\al(2,1)－leq \\al(2,2))(不同两段的代数和，其中l1>l2)。
►考向1 平动切割磁感线
(2023·辽宁卷)如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是( C )
[解析] 如图所示。导体棒匀速转动，设速度为v，设导体棒从A到C过程，棒转过的角度为θ，则导体棒垂直磁感线方向的分速度为v⊥＝vcs θ，根据u＝BLv⊥，可知导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像为余弦图像。故选C。
►考向2 导体转动切割磁感线
(多选)在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一与磁场方向垂直、长度为L的金属杆aO，已知ab＝bc＝cO＝eq \f(L,3)，a、c与磁场中以O为圆心的同心圆(都为部分圆弧)金属轨道始终接触良好。一电容为C的电容器接在轨道上，如图所示，当金属杆在与磁场垂直的平面内以过O点与磁场平行的直线为轴、以角速度ω顺时针匀速转动时( BC )
A．Uac＝2Uab
B．UaO＝9UcO
C．电容器所带电荷量Q＝eq \f(4,9)BL2ωC
D．若在eO间连接一个电压表，则电压表示数为零
[解析] 根据导体转动切割磁感线产生感应电动势的公式E＝eq \f(1,2)Bl2ω得aO、bO、cO间的电势差分别为UaO＝eq \f(1,2)BL2ω，UbO＝eq \f(1,2)Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)L))2ω＝eq \f(2,9)BL2ω，UcO＝eq \f(1,2)Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)L))2ω＝eq \f(1,18)BL2ω，则Uac＝UaO－UcO＝eq \f(4,9)BL2ω，Uab＝UaO－UbO＝eq \f(5,18)BL2ω，可见，Uac＝1.6Uab，UaO＝9UcO，故B正确，A错误；电容器板间电压等于ac间的电势差，则电容器所带电荷量为Q＝CUac＝eq \f(4,9)BL2ωC，故C正确；若在eO间连接一个电压表，电压表与cO、内轨道ce组成的闭合回路的磁通量增加，会产生感应电动势，则电压表示数不为零，故D错误。
►考向3 感生电动势与动生电动势同时存在
(多选)(2021·湖北适应考)如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的关系为B＝kt(k为大于零的常量)。一高为a、电阻为R的正三角形金属线框向右匀速运动。在t＝0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t＝T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中( AD )
A．线框中的电流始终为逆时针方向
B．线框中的电流先逆时针方向，后顺时针方向
C．t＝eq \f(T,2)时刻，流过线框的电流大小为eq \f(\r(3)ka2,6R)
D．t＝eq \f(T,2)时刻，流过线框的电流大小为eq \f(5\r(3)ka2,12R)
[解析] 根据楞次定律可知，穿过线框的磁通量增加，则线框中的电流始终为逆时针方向，故A正确，B错误；线框运动的速度v＝eq \f(a,T)，由几何关系知，线框的边长为eq \f(2a,\r(3))，t＝eq \f(T,2)时刻，线框切割磁感线的有效长度为eq \f(a,\r(3))，则动生电动势E＝Bveq \f(a,\r(3))＝eq \f(kT,2)×v×eq \f(a,\r(3))＝eq \f(kvaT,2\r(3))＝eq \f(\r(3)ka2,6)，由法拉第电磁感应定律可知，感生电动势E′＝eq \f(B\f(T,2)S\f(T,2)－0,\f(T,2))＝eq \f(\f(kT,2)×\f(3,4)×\f(1,2)×\f(2a,\r(3))×a,\f(T,2))＝eq \f(\r(3),4)ka2，则流过线框的电流大小I＝eq \f(E＋E′,R)＝eq \f(5\r(3)ka2,12R)，故C错误，D正确。