2025版高考物理一轮总复习考点突破训练题第11章磁场专题强化14带电粒子在磁场中运动的临界问题与多解问题考点2带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

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►考向1 磁场方向不确定形成多解
(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( BD )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
[解析] 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,B1q)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。
►考向2 带电粒子电性不确定形成多解
如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？
[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。
①若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN′相切的eq \f(1,4)圆弧，轨迹半径R＝eq \f(mv,Bq)
又d＝R－Rcs 45°
解得v＝eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)。
②若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN′相切的eq \f(3,4)圆弧，则有
R′＝eq \f(mv′,Bq)，d＝R′＋R′cs 45°，
解得v′＝eq \f(2－\r(2)Bqd,m)。
[答案] eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)(q为正电荷)或eq \f(2－\r(2)Bqd,m)(q为负电荷)
►考向3 临界条件不确定引起多解
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( AB )
A．使粒子的速度vB．使粒子的速度v>eq \f(5Bql,4m)
C．使粒子的速度v>eq \f(Bql,m)
D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)[解析] 如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有req \\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1－\f(l,2)))2＋l2，又因为r1＝eq \f(mv1,Bq)，解得v1＝eq \f(5Bql,4m)；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝eq \f(l,4)＝eq \f(mv2,Bq)，解得v2＝eq \f(Bql,4m)。欲使粒子不打在极板上，应使veq \f(5Bql,4m)，故A、B正确，C、D错误。
►考向4 运动的往复性形成多解
[解析] 若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有R＝L，qvB＝meq \f(v2,R)，
可得v＝eq \f(qBL,m)＝kBL，
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝eq \f(1,2)L，
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)，
可得v＝eq \f(qBL,2m)＝eq \f(1,2)kBL，
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
v＝eq \f(qBL,2n－1m)＝eq \f(1,2n－1)kBL(n＝1,2,3，…)，
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
v＝eq \f(qBL,2nm)＝eq \f(1,2n)kBL(n＝1,2,3，…)，
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
故B、C正确，A、D错误。故选BC。
求解有界磁场中多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。磁场方向不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度的大小，而未说明磁感应强度的方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同的初速度时，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b
运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图所示