42异面直线所成的角、线面角、二面角的证明140题（8种常见考法+培优争分练）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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专题03异面直线所成的角、线面角、二面角的证明140题（8种常见考法+培优争分练）考法一：利用异面直线所成的角证明异面直线垂直考法二：求异面直线所成的角 考法三：由异面直线所成的角求其它量考法四：求线面角考法五：由线面角的大小求长度 考法六：求二面角考法七：由二面角的大小求长度或距离考法八：由二面角的大小求异面直线所成的角考法一：利用异面直线所成的角证明异面直线垂直1．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.2．（2023高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：.4．（2022·安徽蚌埠·三模）《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除中，是边长为1的正方形，且，均为正三角形，棱平行于平面，.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.5．（2022高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持，在图中画出点的运动轨迹．6．（21-22高一下·安徽·阶段练习）《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2．(1)求证：AE⊥CF；(2)求三棱锥A-BCE的体积．7．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.(1)求证：平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.8．如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.9．（2022·河南郑州·二模）如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且.(1)求证；(2)求三棱锥的体积.10．（21-22高一上·陕西商洛·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，．(1)证明：．(2)若，求四棱锥的体积．11．（21-22高一上·陕西延安·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面．考法二：求异面直线所成的角12．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，为侧面的中心，是平面的中心，求和所成的角．  13．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：  (1)点到的距离；(2)求异面直线与所成的角.14．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在三棱锥中，分别为的中点，求与所成的角．15．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，若分别是的中点，且和所成的角为，求和所成的角．  16．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．  (1)求证：E、F、C、四点共面：(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．17．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．(1)求异面直线与所成角的正切值；(2)求三棱锥的全面积.18．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.  (1)求证：；(2)若，求异面直线与所成的角的大小.19．（20-21高一上·河南许昌·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.  (1)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；(2)在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.20．（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.  (1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.21．（22-23高一下·新疆昌吉·阶段练习）如图，平面四边形中，，，，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，且.  (1)若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；(2)证明：平面平面；考法三：由异面直线所成的角求其它量22．（21-22高一下·上海闵行·期末）在空间四边形中，、分别为、的中点.(1)当异面直线与所成角为，求的长；(2)当时，求异面直线与所成角的大小.23．（20-21高一下·四川成都·阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.(1)求异面直线BE和所成角的正切值.(2)求三棱锥的体积.24．（22-23高一下·全国·课时练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.  25．（21-22高一·全国·课时练习）如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长．26．（21-22高一·全国·课后作业）圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米，已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°，求：(1)直线与圆柱的轴所成角的正切值；(2)线段的长．27．（22-23高一·全国·课时练习）已知圆锥底面积半径，半径与母线垂直，是的中点，与所成角的大小为，求圆锥的体积．28．（22-23高一·全国·课时练习）如图，是圆柱的母线，线段的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴所成的角为，且，轴到平面的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积.29．（2023·陕西·模拟预测）如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.30．（2023·江西南昌·三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．31．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．  (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．32．（2022·新疆克拉玛依·三模）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若与所成角为，求三棱锥的体积.33．（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）（1）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点.求证：平面平面.（2）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长度.34．（21-22高一下·湖南·期末）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.(1)证明：平面；(2)若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.35．（21-22高一·全国·课时练习）如图，在空间四边形中，已知，，，对角线，，、分别为、的中点．(1)求线段的长度；(2)求直线和所成角．36．（2023·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．(1)求证：平面；(2)若直线与所成的角大小为，求的长．考法四：求线面角37．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求证：；(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．38．（23-24高二上·重庆·期末）在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．(1)证明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．39．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.  40．（23-24高二上·云南玉溪·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，M为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．41．（22-23高三下·全国·阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.42．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．43．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.44．（22-23高二下·湖南岳阳·期中）在四棱锥中，，，，，，平面，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．45．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.  (1)求三棱锥的体积；(2)求证：BC⊥平面；(3)求直线PC与平面所成角的正切值.46．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，直三棱柱体积为，为的中点，的面积为.(1)求到平面的距离；(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.47．（2023·陕西·模拟预测）三棱柱中，为中点，．  (1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．48．（21-22高二上·天津静海·阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的余弦值．49．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，棱长为3的正四面体中，D，M分别为AB，PC的中点.  (1)证明：平面平面；(2)若过点A，M的平面与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ与平面ABC夹角的正弦值.50．（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为，为的中点，在线段上，平面．(1)记五棱锥的体积为，四面体的体积为，求；(2)求与平面所成角的正弦值．51．（2023高二上·山西·学业考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．52．（2023·四川凉山·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．53．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．(1)求证：平面平面；(2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．54．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，平面．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．55．（22-23高一下·江苏·阶段练习）如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．  (1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的大小．考法五：由线面角的大小求长度 56．（22-23高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，，，．  (1)求证：；(2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值．57．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．  (1)证明：平面平面；(2)设平面平面于直线l，证明：；(3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为．58．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．  (1)平面平面，证明：．(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．59．（22-23高一下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.  (1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.60．（2023高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？  61．（2023高一·全国·专题练习）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．62．（20-21高一下·湖南株洲·期中）如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点．  (1)求证：；(2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积．63．（22-23高一·全国·随堂练习）某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）．上面为花篮，支架为三根细钢管．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①支架高度为108cm，②架面是边长为30cm的正三角形，③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面．  (1)三只支架与地面所成的角均为60°，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01）(2)节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度．（精确到0.1cm）64．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，E，F分别为棱PC，BA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD．  (1)求证：平面.；(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．65．（22-23高一下·河北·期末）如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点．(1)证明：；(2)若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．66．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上（异于A，B），F为DE的中点.  (1)证明：平面；(2)若直线DE与平面所成的角为时，证明：平面平面.67．（22-23高一下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点.  (1)证明：平面ABE；(2)若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值.68．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，，.  (1)设平面与平面的交线为l，判断l与的位置关系，并证明；(2)若与平面所成的角为，求三棱锥内切球的表面积S.69．（22-23高一下·广东肇庆·期末）如图所示，在一块面积为的圆心角为的扇形空地中（如图1：扇形，），要建设一座长方体的高楼（如图2：长方体）.由于建设需求，点需在弧上（如图3）.为了消防安全，楼层建设不能太高，与地面所成的角最大为.  (1)求楼高的最大值；(2)求这座高楼体积的最大值.70．（22-23高一下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，侧面底面.  (1)若，求证：；(2)若与平面所成角为，求点A到直线的距离.71．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.    (1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.72．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.考法六：求二面角一、解答题73．（2024高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：  (1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．74．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．    (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．75．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．76．（2024高三·全国·专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：  (1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？77．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．(1)若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；(2)若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．78．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．79．（2024高三·全国·专题练习）在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．80．（23-24高二上·广东广州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．  (1)求证：平面平面；(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．81．（23-24高三下·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.(1)证明：.(2)若，求二面角的余弦值.82．（23-24高二上·浙江·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．(1)若的中点为，求证：平面；(2)求二面角的正弦值．83．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．84．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知菱形的边长为2，，如图1，沿对角线将向上折起至，连接，构成一个四面体，如图2.   (1)求证：；(2)若，点是的中点，求平面与平面所成角的大小.85．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．86．（2023·四川宜宾·一模）如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.87．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图1，在梯形中，，，，.现将梯形沿对角线折成直二面角，如图2.(1)求证：平面；(2)求二面角的正切值.88．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点．(1)证明：；(2)证明：平面；(3)求二面角的余弦值．89．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.  (1)求点C到平面的距离.(2)求二面角的余弦值.90．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面体中，已知，．(1)证明：平面；(2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．91．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，，二面角的大小为，则，如图2，四棱柱中，，，且，.(1)证明二面角为直二面角，并求的余弦值；(2)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．92．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．93．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，．  (1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．考法七：由二面角的大小求长度或距离94．（2023高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的点，且 ，二面角的大小为，求实数的值．  95．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点．(1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明；(2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离．96．（23-24高二上·上海·期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.  (1)若，试计算底面面积的最大值;(2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面(3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值.97．（23-24高二上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．  (1)证明：平面平面；(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．98．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．  99．（22-23高二上·广东·阶段练习）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点的位置，连接，O为AC的中点.(1)若平面平面ABC，求点O到平面的距离；(2)不考虑点与点B重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.100．（22-23高一下·广东佛山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．  (1)证明：平面平面；(2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．101．（22-23高一下·河北沧州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）．  (1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．102．（22-23高一下·广东茂名·期末）如图所示，平行四边形中，，，点E为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，得到四棱锥.在翻折过程中，  (1)求四棱锥体积的最大值；(2)若棱的中点为F，求的长；(3)若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值.103．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．  (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值．104．（22-23高一下·山东烟台·期末）如图，在圆锥中，为顶点，为底面圆的圆心，，为底面圆周上的两个相异动点，且，．  (1)求面积的最大值；(2)已知为圆的内接正三角形，为线段上一动点，若二面角的余弦值为，试确定点的位置．105．（22-23高一下·山东青岛·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.106．（22-23高一下·山东日照·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，．  (1)证明：平面平面；(2)当二面角的平面角的余弦值为时，求直线与平面夹角的正弦值．107．（22-23高一下·陕西咸阳·期末）如图，是直角梯形底边的中点，，，，将沿折起形成四棱锥.  (1)求证：平面；(2)若二面角为，求二面角的余弦值.108．（22-23高一下·湖南永州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，点O为BD的中点．  (1)证明：；(2)若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．109．（22-23高一下·贵州贵阳·期末）如图，四面体中，，，，点在上，为的中点.  (1)证明：平面平面；(2)若，，四面体的体积为，若恰为二面角的平面角，求的面积.110．（22-23高一下·四川成都·期末）如图1，在中，，，，是中点，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，，如图2.  (1)若，求证：；(2)若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长.111．（22-23高一下·江西吉安·期末）已知E，F分别为的重心和外心，D是BC的中点，，．  (1)求BE；(2)如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4．①求证：；②求三棱锥的外接球的体积．112．（22-23高一下·贵州安顺·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.  (1)求证：平面平面；(2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由.113．（2024高一下·全国·专题练习）如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．(1)证明：Q是AC的中点；(2)证明：平面BEQ；(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．114．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）在如图所示的七面体中，底面为正方形，，，面．已知，．  (1)设平面平面，证明：平面；(2)若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．115．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，是直角梯形底边的中点，，将沿折起形成四棱锥.  (1)求证：平面；(2)若二面角为60°，求二面角的余弦值.116．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）在直角梯形中，，∥，，，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.(1)求证：∥平面；(2)若二面角为，判断所在的位置；(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.117．（2023高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点．问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．  118 ．（2023高一·全国·专题练习）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由．119．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．  (1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．120．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，(1)若，证明：⊥；(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.121．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.  (1)当为线段的中点时，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.122．（22-23高一下·山东泰安·期末）如图1，在边长为4的菱形中，，，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：；(2)为线段上一个动点（不与端点重合），设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值．123．（22-23高一下·江西·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的动点，在上，且满足.现延长至点，使得.  (1)若二面角的平面角为，求的长；(2)若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.124．（22-23高一下·辽宁大连·期末）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.  (1)求证：平面；(2)若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：(3)当平面平面时，求四面体体积的最大值.125．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.  (1)证明：∥平面；(2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.126．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．  (1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．考法八：由二面角的大小求异面直线所成的角127．（2023高一·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且；128．（21-22高二上·上海金山·期中）如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面与半平面所成二面角大小为，设线段中点为，求异面直线与所成角的余弦值.129．（22-23高三·全国·课后作业）如图1，AD是直角斜边上的高，沿AD把的两部分折成如图2所示的直二面角，且DF⊥AC于点F．(1)证明：BF⊥AC；(2)设，AB与平面BDF所成的角为，二面角B-FA-D的大小为，试用，表示．130．（23-24高三上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.(1)证明：.(2)若二面角的大小为，求的长.1．（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．    (1)求证：平面平面；(2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值．2．（22-23高一下·重庆渝中·期末）如图；在三棱柱中；侧面为矩形．  (1)若面；，，求证：；(2)若二面角的大小为；，且；设直线和平面所成角为；问当变化过程中能否取到；若能；请证明；若不能请说明理由．3．（22-23高一下·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．  (1)若平面平面，求证：；(2)若，设和平面所成角为，求的最大值．4．（22-23高一下·四川宜宾·期末）如图，在几何体中，平面平面，四边形是平行四边形，，.   (1)证明：；(2)若，，，G为DE上一动点，求直线CG与平面ABF所成角的正弦值的取值范围.5．（22-23高一下·吉林长春·期末）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.      (1)证明：平面平面；(2)若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值.6．（22-23高一下·辽宁大连·期末）在正三棱台中，，，为中点，在上，.  (1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；(2)求直线与平面所成角的正弦值.7．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.    (1)当点M与端点D重合时，证明：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值；(3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.8．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，点M、N分别是正四面体棱、上的点，正四面体的边长为3,设，直线与直线所成的角为.(1)若，求三棱锥体积的最大值；(2)若，求的取值范围.9．（22-23高一下·福建泉州·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.  (1)试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）(2)已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.10．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．  (1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．