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江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题原卷版docx、江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷共27题，满分100分，作答用时120分钟．
2.答题前，学生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考号等信息用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对．
3.答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．
4.学生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列交通标志为中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
2. 若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，
把点代入，得，
∴，
则反比例函数的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A. 名学生是总体的一个样本B. 每位初二年级学生的身高是个体
C. 名学生是总体D. 样本容量是名学生
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意；
B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意；
C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意；
D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 下列调查中，最适合用普查的是（ ）
A. 了解一批炮弹的杀伤力B. 全班每位同学所穿鞋子的尺码
C. 了解长江中生物的种类D. 了解一批矿泉水出厂后的质量
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、了解一批炮弹的杀伤力，调查具有破坏性,适合抽样调查，故A不符合题意；
B、全班每位同学所穿鞋子的尺码，适合普查，故B符合题意；
C、了解长江中生物的种类，调查范围广，无法普查，故C不符合题意；
D、了解一批矿泉水出厂后的质量，调查具有破坏性，适合抽样调查，故D不符合题意．
故选：B．
5. 已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的增减性得到，求出k的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，
，
，
则k的值可能为0，
故选：A．
6. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
7. 如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8. 如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，由“”可证，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，点D为边的中点，
，，，
，，
，
在与中，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，故③正确；
如图，连接，
同理可证：:，，
，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）
9. 任意时段打开电视，正在播放体育赛事，这个事件是________事件填“必然”“不可能”或“随机”）．
【答案】随机
【解析】
【分析】此题主要考查了必然事件、随机事件的概念．要理解一件事情要么是不可能发生，要么是可能发生，要么是必然发生．熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据．根据事件可能发生，也可能不发生，像这样的事件称为随机事件；一定会发生的事件为必然事件，即可求解．
【详解】解：“随时打开电视机，正在播新闻”有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件，
故答案为：随机．
10. 从3名男生和4名女生中随机抽取2024年校运动会志愿者，若抽取1名，则恰好是男生的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用男生人数除以总人数即可求解．
【详解】解：恰好是男生的概率为，
故答案为：．
11. 双曲线的一支位于第一象限，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由位于第一象限，可得，即可求解．
【详解】解：双曲线的一支位于第一象限，，
，
解得：，
故答案为：．
12. 在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形．
【答案】矩
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
13. 如图，正方形的边长为，反比例函数的图象过点，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】首先根据正方形的边长为2确定B点坐标，然后再根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案．
【详解】∵正方形ABCD的边长为2，
∴B(2,2)
∵反比例函数的图象过点B，
∴k=2×2=4.
故答案为4.
【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键.
14. 如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定，菱形的性质，与性质，根据菱形的性质得出，进而利用矩形的性质得出，得出是等边三角形，利用矩形的面积解答即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
，
矩形的面积，
故答案为：．
15. 函数的图像如图所示，则下列结论中：两个函数图像的交点A的坐标为；②当时，；③若直线与两函数图像分别交于点B、C，则线段；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，也随着x的增大而增大．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，把两个函数关系式构成方程组，解方程组即可判断①；结合交点坐标，观察两个函数图象的上下位置即可判断②；当时，可求出C、B两点坐标，进一步可得的长，据此可判断③；根据正比例函数的性质，当时，随x的增大而增大，，根据反比例函数的性质得到图象在第一象限，随x的增大而减小，可判断④．
【详解】解：相交点A点，
，
，
，
把代入，
，
点A的坐标为，故①错误；
由图可知，当时，，故②正确；
当时，，
，，
，故③正确；
由图可知当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，也随着x的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确结论的序号②③，
故答案为：②③．
16. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_____．
【答案】2.4
【解析】
【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，
∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，
解得：x＝2.4，
∴AP＝2.4；
故答案为2.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共11题，共68分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出；
（2）与关于原点O成中心对称，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，，描点连线即可得；
（2）根据题意得，，，，描点连线即可得.
【小问1详解】
解： 如图所示：△A1B1C1 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：△A2B2C2 即为所求.
【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握这些知识点.
18. 某中学为迎接第53届世乒赛，在九年级举行了“乒乓球知识竞赛”，从全年级600名学生的成绩中随机抽选了100名学生的成绩，根据测试成绩绘制成以下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
频率分布表：
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值：
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于90分的同学可以获得第53届世乒赛吉祥物“乒宝”，请你估计该校九年级有多少位同学可以获得“乒宝”？
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）名
【解析】
【分析】（1）用抽样的总数减去第1组、第2组、第4组和第5组的频数即可求得a值；
（2）根据（1）中求得的a值和第4组的频数补全统计图即可；
（3）用全年级的总人数乘以抽样中成绩不低于90分的百分比即可得出答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校九年级有名同学可以获得“乒宝”．
【点睛】本题考查读频数分布直方图能力和利用统计图获取信息的能力、用样本估计总体．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
19. 在一只不透明口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是_________（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】（1），.（2）0.6. （3）8个.
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率．
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【详解】（1）=0.59，.
（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；.
（3）（个）.答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.
【点睛】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系.
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义即可得出∠BAE=∠BEA，∠DFC=∠DCF，再根据等角对等边得出，，从而得出BE=DF，然后根据线段的和差关系得出AF=CE，最后根据一组对边平行且相等即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠D=∠B，，
∴∠DAE=∠BEA，∠BCF=∠DFC，
又 ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BAE，∠BCF=∠DCF，
∴∠BAE=∠BEA，∠DFC=∠DCF，
∴，
∴BE=DF
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）首先可根据DEAC，CEBD判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形；
（2）连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
【详解】解：（1）四边形是菱形．
∵DEAC，CEBD，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
（2）连接．由菱形得：，
又，
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），
又，
四边形是平行四边形；
，
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法．
22. 已知是的反比例函数，且当时，．
（1）直接写出函数与之间的关系式为 ；
（2）借助函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
（1）设函数与之间的关系式为，根据当时，，求出，即可求解；
（2）画出反比例函数得到图像，结合图像分析即可求解．
【小问1详解】
解：设函数与之间的关系式为，
设函数与之间的关系式为，
，
函数与之间的关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，，当时，，
根据函数图像可得：当时，随的增大而增大，
当时，的取值范围为．
23. 为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
（2）当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【答案】（1），
（2）分钟
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定反比例函数的解析式．
（1）药物燃烧后与的函数关系式为，将点代入即可求解；
（2）将代入反比例函数的解析式，求出对应的值，即可求解．
小问1详解】
解：药物燃烧后与的函数关系式为，
将点代入得：，
药物燃烧后与的函数关系式为，自变量取值范围是，
故答案为：，；
【小问2详解】
当时，，
解得：，
从消毒开始，至少需要分钟后，学生才能回到教室．
24. 如图，已知， 是一次函数图像与反比例函数图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；
（3）请结合图像直接写出不等式的解集为 ．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2），的面积为
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的图像与性质．
（1）先根据点求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，最后将点、的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）结合图像即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，得：，
反比例函数的解析式为：，
将代入，得：，
，
将、代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
在中，令，则，
，
，
；
【小问3详解】
，
，即求一次函数图像在反比例函数图像下方时的自变量取值范围，
或，
故答案为：或．
25. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，交于点G，连接．
（1）若，求的长；
（2）若点F在直线上，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，中位线的性质，角平分线定义，熟练掌握相关性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形三线合一可得，从而得到是的中位线，即可求出结果；
（2）根据等腰三角形三线合一可得，从而得到是的中位线，即可求出的长度，进而求出结果．
【小问1详解】
解：，
，
平分，
，
，
是的中位线，
；
【小问2详解】
，平分交于点D，
，
，
是的中位线，
，
，
．
26. 如图，反比例函数y=（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE.记△OAD、△OCE的面积分别为S、S .
（1）①点B的坐标为 ；②S S（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E的坐标；
（3）当S+S=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积.
【答案】（1）点B的坐标为（4,2），= ；
（2）k的值为4，点E的坐标为（4，1） ；
（3）△ODE为直角三角形，
【解析】
【分析】（1）根据OA=2，OC=4可直接得到点B坐标；②根据反比例函k的意义可知S1、S2都等于|k|，即可得到答案；
（2）当点D为AB中点时，AD=2，得出D的坐标是（2，2），，进而可得解；
（3）根据当S1+S2=2时，由（1）得出S1=S2=1，进而得出BD，BE的长，进而得出DO2+DE2=OE2，△ODE是直角三角形，进而得出三角形面积．
【详解】（1）矩形OABC，AB=OC，BC=OA；OA=2，OC=4，B点在第一象限
所以点B的坐标为（4,2）；
反比例函数y=（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，
设D、E两点的坐标分别为，
得；
D、E在第一象限， 记△OAD、△OCE的面积分别为、，，
所以=
（2）当点D为线段AB的中点时，D点的坐标（2，2），由（1）知，
解得k=4，
,
所以点E的坐标为（4，1）
(3) 当+S=2时，由（1）得;
=1，;;
在矩形OABC，BD=AB-AD=3；BE=BC-CE=；
都是直角三角形，由勾股定理得
∵
∴△ODE为直角三角形，
∴OD·DE=××
考点：反比例函数，矩形，勾股定理
点评：本题考查反比例函数，矩形，勾股定理，解本题需要熟悉反比例函数的性质，矩形的性质，掌握勾股定理的内容
27. 已知矩形中，，的垂直平分线分别交于点E、F，垂足为O．
图1 图2 备用图
（1）如图1，连接，直接写出的长 ；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿 和各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中：
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，），以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求得的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，垂足为O，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得：，
，
故答案为：；
【小问2详解】
①显然当P点在上，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形，
因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
，
，即，
，
解得：；
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，；
②由题意得，四边形是平行四边形时，点在互相平行的对应边上，分三种情况：
如图1，当P点在上、Q点在上时，，即，得；
如图2，当P点在上、Q点在上时，，即，得；
如图3，当P点在上、Q点在上时，，即，得，
综上所述，a与b满足的数量关系式是．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，注意分类思想的应用是解答本题的关键．组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
59
96
295
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.59
0.60
0601
注意事项：
1.本卷共27题，满分100分，作答用时120分钟．
2.答题前，学生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考号等信息用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对．
3.答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．
4.学生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列交通标志为中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
2. 若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，
把点代入，得，
∴，
则反比例函数的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A. 名学生是总体的一个样本B. 每位初二年级学生的身高是个体
C. 名学生是总体D. 样本容量是名学生
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意；
B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意；
C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意；
D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 下列调查中，最适合用普查的是（ ）
A. 了解一批炮弹的杀伤力B. 全班每位同学所穿鞋子的尺码
C. 了解长江中生物的种类D. 了解一批矿泉水出厂后的质量
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、了解一批炮弹的杀伤力，调查具有破坏性,适合抽样调查，故A不符合题意；
B、全班每位同学所穿鞋子的尺码，适合普查，故B符合题意；
C、了解长江中生物的种类，调查范围广，无法普查，故C不符合题意；
D、了解一批矿泉水出厂后的质量，调查具有破坏性，适合抽样调查，故D不符合题意．
故选：B．
5. 已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的增减性得到，求出k的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，
，
，
则k的值可能为0，
故选：A．
6. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
7. 如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8. 如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，由“”可证，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，点D为边的中点，
，，，
，，
，
在与中，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，故③正确；
如图，连接，
同理可证：:，，
，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）
9. 任意时段打开电视，正在播放体育赛事，这个事件是________事件填“必然”“不可能”或“随机”）．
【答案】随机
【解析】
【分析】此题主要考查了必然事件、随机事件的概念．要理解一件事情要么是不可能发生，要么是可能发生，要么是必然发生．熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据．根据事件可能发生，也可能不发生，像这样的事件称为随机事件；一定会发生的事件为必然事件，即可求解．
【详解】解：“随时打开电视机，正在播新闻”有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件，
故答案为：随机．
10. 从3名男生和4名女生中随机抽取2024年校运动会志愿者，若抽取1名，则恰好是男生的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用男生人数除以总人数即可求解．
【详解】解：恰好是男生的概率为，
故答案为：．
11. 双曲线的一支位于第一象限，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由位于第一象限，可得，即可求解．
【详解】解：双曲线的一支位于第一象限，，
，
解得：，
故答案为：．
12. 在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形．
【答案】矩
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
13. 如图，正方形的边长为，反比例函数的图象过点，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】首先根据正方形的边长为2确定B点坐标，然后再根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案．
【详解】∵正方形ABCD的边长为2，
∴B(2,2)
∵反比例函数的图象过点B，
∴k=2×2=4.
故答案为4.
【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键.
14. 如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定，菱形的性质，与性质，根据菱形的性质得出，进而利用矩形的性质得出，得出是等边三角形，利用矩形的面积解答即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
，
矩形的面积，
故答案为：．
15. 函数的图像如图所示，则下列结论中：两个函数图像的交点A的坐标为；②当时，；③若直线与两函数图像分别交于点B、C，则线段；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，也随着x的增大而增大．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，把两个函数关系式构成方程组，解方程组即可判断①；结合交点坐标，观察两个函数图象的上下位置即可判断②；当时，可求出C、B两点坐标，进一步可得的长，据此可判断③；根据正比例函数的性质，当时，随x的增大而增大，，根据反比例函数的性质得到图象在第一象限，随x的增大而减小，可判断④．
【详解】解：相交点A点，
，
，
，
把代入，
，
点A的坐标为，故①错误；
由图可知，当时，，故②正确；
当时，，
，，
，故③正确；
由图可知当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，也随着x的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确结论的序号②③，
故答案为：②③．
16. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_____．
【答案】2.4
【解析】
【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，
∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，
解得：x＝2.4，
∴AP＝2.4；
故答案为2.4．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共11题，共68分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出；
（2）与关于原点O成中心对称，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，，描点连线即可得；
（2）根据题意得，，，，描点连线即可得.
【小问1详解】
解： 如图所示：△A1B1C1 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：△A2B2C2 即为所求.
【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握这些知识点.
18. 某中学为迎接第53届世乒赛，在九年级举行了“乒乓球知识竞赛”，从全年级600名学生的成绩中随机抽选了100名学生的成绩，根据测试成绩绘制成以下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
频率分布表：
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值：
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于90分的同学可以获得第53届世乒赛吉祥物“乒宝”，请你估计该校九年级有多少位同学可以获得“乒宝”？
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）名
【解析】
【分析】（1）用抽样的总数减去第1组、第2组、第4组和第5组的频数即可求得a值；
（2）根据（1）中求得的a值和第4组的频数补全统计图即可；
（3）用全年级的总人数乘以抽样中成绩不低于90分的百分比即可得出答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校九年级有名同学可以获得“乒宝”．
【点睛】本题考查读频数分布直方图能力和利用统计图获取信息的能力、用样本估计总体．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
19. 在一只不透明口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是_________（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】（1），.（2）0.6. （3）8个.
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率．
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【详解】（1）=0.59，.
（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；.
（3）（个）.答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.
【点睛】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系.
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义即可得出∠BAE=∠BEA，∠DFC=∠DCF，再根据等角对等边得出，，从而得出BE=DF，然后根据线段的和差关系得出AF=CE，最后根据一组对边平行且相等即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠D=∠B，，
∴∠DAE=∠BEA，∠BCF=∠DFC，
又 ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BAE，∠BCF=∠DCF，
∴∠BAE=∠BEA，∠DFC=∠DCF，
∴，
∴BE=DF
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）首先可根据DEAC，CEBD判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形；
（2）连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
【详解】解：（1）四边形是菱形．
∵DEAC，CEBD，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
（2）连接．由菱形得：，
又，
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），
又，
四边形是平行四边形；
，
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法．
22. 已知是的反比例函数，且当时，．
（1）直接写出函数与之间的关系式为 ；
（2）借助函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
（1）设函数与之间的关系式为，根据当时，，求出，即可求解；
（2）画出反比例函数得到图像，结合图像分析即可求解．
【小问1详解】
解：设函数与之间的关系式为，
设函数与之间的关系式为，
，
函数与之间的关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，，当时，，
根据函数图像可得：当时，随的增大而增大，
当时，的取值范围为．
23. 为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
（2）当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【答案】（1），
（2）分钟
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定反比例函数的解析式．
（1）药物燃烧后与的函数关系式为，将点代入即可求解；
（2）将代入反比例函数的解析式，求出对应的值，即可求解．
小问1详解】
解：药物燃烧后与的函数关系式为，
将点代入得：，
药物燃烧后与的函数关系式为，自变量取值范围是，
故答案为：，；
【小问2详解】
当时，，
解得：，
从消毒开始，至少需要分钟后，学生才能回到教室．
24. 如图，已知， 是一次函数图像与反比例函数图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；
（3）请结合图像直接写出不等式的解集为 ．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2），的面积为
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的图像与性质．
（1）先根据点求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，最后将点、的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）结合图像即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，得：，
反比例函数的解析式为：，
将代入，得：，
，
将、代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
在中，令，则，
，
，
；
【小问3详解】
，
，即求一次函数图像在反比例函数图像下方时的自变量取值范围，
或，
故答案为：或．
25. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，交于点G，连接．
（1）若，求的长；
（2）若点F在直线上，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，中位线的性质，角平分线定义，熟练掌握相关性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形三线合一可得，从而得到是的中位线，即可求出结果；
（2）根据等腰三角形三线合一可得，从而得到是的中位线，即可求出的长度，进而求出结果．
【小问1详解】
解：，
，
平分，
，
，
是的中位线，
；
【小问2详解】
，平分交于点D，
，
，
是的中位线，
，
，
．
26. 如图，反比例函数y=（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE.记△OAD、△OCE的面积分别为S、S .
（1）①点B的坐标为 ；②S S（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E的坐标；
（3）当S+S=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积.
【答案】（1）点B的坐标为（4,2），= ；
（2）k的值为4，点E的坐标为（4，1） ；
（3）△ODE为直角三角形，
【解析】
【分析】（1）根据OA=2，OC=4可直接得到点B坐标；②根据反比例函k的意义可知S1、S2都等于|k|，即可得到答案；
（2）当点D为AB中点时，AD=2，得出D的坐标是（2，2），，进而可得解；
（3）根据当S1+S2=2时，由（1）得出S1=S2=1，进而得出BD，BE的长，进而得出DO2+DE2=OE2，△ODE是直角三角形，进而得出三角形面积．
【详解】（1）矩形OABC，AB=OC，BC=OA；OA=2，OC=4，B点在第一象限
所以点B的坐标为（4,2）；
反比例函数y=（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，
设D、E两点的坐标分别为，
得；
D、E在第一象限， 记△OAD、△OCE的面积分别为、，，
所以=
（2）当点D为线段AB的中点时，D点的坐标（2，2），由（1）知，
解得k=4，
,
所以点E的坐标为（4，1）
(3) 当+S=2时，由（1）得;
=1，;;
在矩形OABC，BD=AB-AD=3；BE=BC-CE=；
都是直角三角形，由勾股定理得
∵
∴△ODE为直角三角形，
∴OD·DE=××
考点：反比例函数，矩形，勾股定理
点评：本题考查反比例函数，矩形，勾股定理，解本题需要熟悉反比例函数的性质，矩形的性质，掌握勾股定理的内容
27. 已知矩形中，，的垂直平分线分别交于点E、F，垂足为O．
图1 图2 备用图
（1）如图1，连接，直接写出的长 ；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿 和各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中：
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，），以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求得的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，垂足为O，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得：，
，
故答案为：；
【小问2详解】
①显然当P点在上，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形，
因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
，
，即，
，
解得：；
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，；
②由题意得，四边形是平行四边形时，点在互相平行的对应边上，分三种情况：
如图1，当P点在上、Q点在上时，，即，得；
如图2，当P点在上、Q点在上时，，即，得；
如图3，当P点在上、Q点在上时，，即，得，
综上所述，a与b满足的数量关系式是．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，注意分类思想的应用是解答本题的关键．组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
59
96
295
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.59
0.60
0601
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