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2024年中考数学复习训练---第6天 平行四边形
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这是一份2024年中考数学复习训练---第6天 平行四边形，共96页。试卷主要包含了如图，在中，等内容，欢迎下载使用。
中考预测
满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是
A．对边平行B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角互补
2．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为
A．B．C．D．
3．（2022•安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为
A．B．C．D．
4．（2022•绵阳）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为
A．B．C．D．
5．（2022•日照）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为
A．B．C．D．
6．（2022•益阳）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为
A．5B．4C．3D．2
7．（2022•湘西州）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为
A．4B．C．8D．
8．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为
A．16B．C．D．30
9．（2022•兰州）如图，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则
A．4B．C．2D．
10．（2022•大连）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是
A．6B．3C．1.5D．1
11．（2022•青海）如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接．若，，则的长为
A．5B．4C．6D．8
12．（2022•广州）如图，正方形的面积为3，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为
A．B．C．D．
13．（2022•河池）如图，在菱形中，对角线，相交于点，下列结论中错误的是
A．B．C．D．
14．（2022•贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点在边上（与点，均不重合），点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是
A．B．
C．D．的最小值为
15．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是
A．4B．8C．12D．16
16．（2022•青岛）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为
A．B．C．D．
17．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
18．（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是
A．B．C．D．
二．填空题
19．（2022•陕西）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
20．（2022•淮安）如图，在中，，若，则的度数是 ．
21．（2022•鞍山）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为 ．
22．（2022•广州）如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为 ．
23．（2022•营口）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
24．（2022•辽宁）如图，是的角平分线，过点分别作，的平行线，交于点，交于点．若，，则四边形的周长是 ．
25．（2022•吉林）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．
26．（2022•哈尔滨）如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接．若，，，则线段的长为 ．
27．（2022•毕节市）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ．
28．（2022•黑龙江）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是 ．
三．解答题
29．（2022•无锡）如图，、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接、，求证四边形为平行四边形．
30．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
31．（2022•六盘水）如图，在平行四边形中，平分，平分．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
32．（2022•济南）已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，．求证：．
33．（2022•西宁）如图，四边形是菱形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
34．（2022•青海）如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
35．（2022•大连）如图，四边形是菱形，点，分别在，上，．求证：．
36．（2022•河池）如图，点，，，在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，，直接判断四边形的形状．
37．（2022•烟台）如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，求的度数．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线垂直B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
2．（2023•花都区一模）如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段的长度为
A．B．C．D．1
3．（2023•宁波一模）如图，在中，，、分别是、的中点，连结、．若，，则的长为
A．7B．6C．5D．4.8
4．（2023•息县模拟）如图，，为的中位线，下列添加的条件不能使四边形为菱形的是
A．B．C．D．
5．（2023•包河区一模）四边形是边长为4的正方形，点在边上，连接，为中点，连接，点在上且，连接，则的最小值为
A．B．C．D．
6．（2023•市南区一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为
A．B．C．D．
7．（2023•佳木斯一模）如图，在正方形中，为边上一点，过点作，与的延长线交于点．连接，与边交于点，与对角线交于点，与相交于点．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤连接，则．其中结论正确的序号是
A．①②④B．①②③⑤C．③④⑤D．①②③④⑤
8．（2023•河北模拟）如图，在矩形中，点从点开始，沿矩形的边运动，，，与对角线相交于点，是线段的中点，连接，则长度的最大值是
A．1B．C．2D．
9．（2023•长安区四模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为
A．5B．6C．7D．8
10．（2023•张家口二模）菱形的面积是，边．下列关于其对角线的描述正确的是
A．B．C．D．或
11．（2023•镇平县模拟）如图，在菱形中，对角线，菱形的面积为24，则菱形的周长为
A．5B．10C．20D．30
12．（2023•佳木斯一模）如图，是正方形内一点，，，，则正方形的面积是
A．B．13C．D．
13．（2023•海曙区一模）下列说法正确的是
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
14．（2023•增城区一模）如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的边长是
A．5B．6C．7D．8
15．（2023•高新区模拟）如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为
A．B．C．D．
16．（2023•中原区一模）如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为
A．B．C．D．
17．（2023•临潼区二模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，已知，，则的周长为
A．B．C．D．
18．（2023•青岛一模）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为
A．B．C．D．
二．填空题
19．（2023•海淀区一模）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为 ．
20．（2023•齐齐哈尔一模）如图，正方形中，点，分别在，上，连接，，请添加一个条件： ，使．
21．（2023•礼泉县一模）如图，在中，，点在内运动，连接，，，若，则的最大值为 ．
22．（2023•泰山区一模）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
23．（2023•香坊区一模）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是线段上一点，连接、，若，，，则线段长为 ．
24．（2023•南岗区一模）在菱形中，，，点在边上，连接，，若，则线段的长为 ．
25．（2023•九龙坡区模拟）如图，在边长为5的正方形中，点，分别是，上的两点，，，则的长为 ．
26．（2023•苏州模拟）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ．
27．（2023•大庆一模）如图，为正方形内一点，从①；②，③ 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 个．
28．（2023•武进区一模）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
三．解答题
29．（2023•徐州模拟）已知：如图，、为平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
30．（2023•深圳模拟）如图，已知平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
31．（2023•松北区一模）已知，平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使，连接、、、．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形面积的．
32．（2023•鼓楼区一模）如图，为矩形的对角线的中点，过作分别交，于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
33．（2023•崂山区一模）如图，的对角线与相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）证明四边形为平行四边形；
（2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由．
34．（2023•宜兴市一模）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接、、，与交于点，，求证：
（1）．
（2）．
35．（2023•城阳区一模）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点、．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
36．（2023•甘井子区模拟）如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且．求证：．
37．（2023•市北区一模）如图，在中，、相交于点，点，在上，．
（1）求证：；
（2）若，请判断并证明四边形是什么特殊四边形．
考前押题
一．选择题
1．如图，正方形中，，点为动线上一个动点，连接，点为上一点，且，在射线上截取点使，交于点，连接，则的最小值为
A．8B．12C．D．
2．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
3．如图，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，若，，则的长是
A．20B．21C．22D．23
二．填空题
4．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为 ．
三．解答题
5．如图，已知平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：对边平行，对角线互相平分是矩形，菱形都具有的性质，故，不符合题意，
对角互补是矩形具有，而菱形不具有的性质，故不符合题意；
菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故符合题意；
故选：．
2．【答案】
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：延长至，使，连接，
，
，
为等边三角形，
，
平分的周长，
，
，
，
，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，
如图2，
作于，作，分别交直线于和，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
，
同理证得，则，
四边形是平行四边形，
设，则，，
，
，
，
，
可得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：，
故答案为：．
5．【答案】
【解答】解：如图，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：在中，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
故选．
8．【答案】
【解答】解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，，，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形的面积．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
为的中点，，
，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：在中，
，，，
．
为中线，
．
为中点，，即点是的中点，
是的中位线，
则．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：连接，如图：
正方形的面积为3，
，
，
，，
，
，
平分，
，
在中，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
故、、正确，无法得出，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，故正确，不符合题意；
，，，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，使，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故错误，符合题意．
故选：．
15．【答案】
【解答】解：由题意可得，
小正方形的边长为，
小正方形的周长为，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：四边形为正方形，，
，
为正方形对角线的中点，为等边三角形，
，
，，
．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、度量两个角是否是，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项符合题意；
、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
18．【答案】
【解答】解：菱形的对边平行，
由两直线平行，内错角相等可得．
故选：．
二．填空题
19．【答案】．
【解答】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过作于点，过作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：．
22．【答案】21．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：21．
23．
【解答】解：这个条件可以是，理由如下：
由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
24．
【解答】解：连接交于，如图：
，，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，
，
四边形的周长是，
故答案为：16．
25．【答案】．
【解答】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：．
26．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
故答案为：．
27．【答案】．
【解答】解：方法一：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
△，
，
，
，
则的最小值为，
方法二：过点作垂足为 当时，符合题意，则四边形是矩形，
．
故答案为：．
28．
【解答】解：连接，过点作，垂足为，并延长到点，使，连接交直线于点，连接，
是的垂直平分线，
，
，
此时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
29．【答案】（1）（2）证明解解答过程．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
（2）如图：
由（1）知，
，，
，
四边形为平行四边形．
30．【答案】（1）证明见解析；
（2）菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
31．【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分、平分，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，平分，
，
，
平行四边形是矩形．
32．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
33．【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：设菱形的边长为，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
菱形的边长是5．
34．【答案】（1）见解答过程；
（2）见解答过程．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，
，
；
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
．
35．【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
．
36．【答案】（1）证明见解析；
（2）平行四边形．
【解答】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，，
，
又，
四边形是平行四边形．
37．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图所示，
依题意，，，，，
，
，
即，
解得：，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
又是直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，为的中位线，
，，，，
四边形是平行四边形，
、，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
、，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
、，四边形是平行四边形，
平行四边形为矩形，故选项符合题意；
、，
，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
故选：．
5．【答案】
【解答】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
又，
点在半径为的上，
，
取的中点，则，
在上，
当，，三点共线时，取得最小值，
最小值为，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：如图1，连接交于，
四边形为菱形，
，，平分，
，
，
，
如图2，四边形为正方形，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故①符合题意；
，
，
，
根据勾股定理，得，
故②符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
故④符合题意；
连接，如图所示，
，，
又，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
故⑤符合题意，
综上所述，正确的有①②③④⑤，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：由题意可知，当点与点重合时，的值最大，
、是、的中点，
，
，
长度的最大值是2．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：作于点，则，
于点，
，
四边形是边长为4的正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积为6，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：如图，当为较长边时，连接，交于点，过点作于，
四边形是菱形，
，，，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
当为较短边时，同理可得，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：连接交于，
四边形是菱形，对角线，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
菱形的周长，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接、，
则，，，，，，，
△和△均为等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，即、、在同一条直线上，
，
，，
，
△是直角三角形，，
．
．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项不符合题意；
故选：．
14．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，
点为的中点，，
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
由题意可知，，
，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，
四边形是菱形，，
为等边三角形，
，，，，
，，，
，
为中点，
，
，
故选：．
17．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
的周长，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：如图，
由题意得：，
根据矩形的性质推出，
，，
，
．
故选：．
二．填空题
19．【答案】．
【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：添加，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：连接，作的外接圆，
在中，，
是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
在上取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
当为的直径时，的值最大，
此时，，
，
故的最大值为，
故答案为：．
22．【答案】．
【解答】解：连接，作于点，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值等于，
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：，
，
，，
，，
，，
，
又，
，
平行四边形的对角线、相交于点，，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
24．【答案】．
【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，
四边形是菱形，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：过作交于，交于，
则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
，
，
．
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．
延长至，是，连接，，
，
，，
，
是的中点，
，
当时，最小，此时，
的最小值为：，
故答案为：．
27．【答案】3．
【解答】解：①②③是真命题，
理由：作于，于，设，则，
，
在中，，
，根据对称性可知，
是等边三角形，可得；
①③②是真命题，
理由：首先证明是等边三角形，推出，推出，可得结论．
②③①是真命题，
理由：首先证明：，是等边三角形，即可推出结论．
故答案为：3．
28．【答案】．
【解答】解：如图，连接，，
四边形是菱形中，，
，，，
是等边三角形，
过点作于点，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
29．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，，
，
四边形是平行四边形．
30．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
，即，
解得，
的长为．
31．【答案】（1）证明见解析；
（2）、、、．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
、、、四个三角形，每个三角形面积都等于面积的．
32．【答案】（1）见解析；
（2）45．
【解答】（1）证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：设，则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
即，
，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积．
33．【答案】（1）见解析过程；
（2）添加，使得四边形为菱形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：，，
四边形为平行四边形；
（2）解：添加，使得四边形为菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
平行四边形是菱形．
34．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）平行四边形中，，，
，
，
，，
，
，
又，
，
；
（2）由（1）得，
，
．
35．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）四边形是矩形，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
连接、，如图，
四边形是平行四边形，
，，
由（1）知，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形．
36．【答案】见解答．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
37．【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形是菱形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形，
，
平行四边形是菱形．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：如图，过点作于点，
则，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上，
，，
，
，
，
当点运动到与半圆的交点处时最小，此时，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
．
故选：．
二．填空题
4．【答案】．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
5．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
，即，
解得，
的长为．平行四边形是中考考查重点，年年都会考查,分值为18分左右，预计2023年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的、利用四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
预测分值：18分左右
难度指数：★★★
必考指数：★★★★★
平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形性质与判定的综合
平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．
由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．
中考预测
满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是
A．对边平行B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角互补
2．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为
A．B．C．D．
3．（2022•安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为
A．B．C．D．
4．（2022•绵阳）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为
A．B．C．D．
5．（2022•日照）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为
A．B．C．D．
6．（2022•益阳）如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为
A．5B．4C．3D．2
7．（2022•湘西州）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为
A．4B．C．8D．
8．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为
A．16B．C．D．30
9．（2022•兰州）如图，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则
A．4B．C．2D．
10．（2022•大连）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是
A．6B．3C．1.5D．1
11．（2022•青海）如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接．若，，则的长为
A．5B．4C．6D．8
12．（2022•广州）如图，正方形的面积为3，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为
A．B．C．D．
13．（2022•河池）如图，在菱形中，对角线，相交于点，下列结论中错误的是
A．B．C．D．
14．（2022•贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点在边上（与点，均不重合），点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是
A．B．
C．D．的最小值为
15．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是
A．4B．8C．12D．16
16．（2022•青岛）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为
A．B．C．D．
17．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
18．（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是
A．B．C．D．
二．填空题
19．（2022•陕西）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
20．（2022•淮安）如图，在中，，若，则的度数是 ．
21．（2022•鞍山）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为 ．
22．（2022•广州）如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为 ．
23．（2022•营口）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
24．（2022•辽宁）如图，是的角平分线，过点分别作，的平行线，交于点，交于点．若，，则四边形的周长是 ．
25．（2022•吉林）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．
26．（2022•哈尔滨）如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接．若，，，则线段的长为 ．
27．（2022•毕节市）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ．
28．（2022•黑龙江）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是 ．
三．解答题
29．（2022•无锡）如图，、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接、，求证四边形为平行四边形．
30．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
31．（2022•六盘水）如图，在平行四边形中，平分，平分．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
32．（2022•济南）已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，．求证：．
33．（2022•西宁）如图，四边形是菱形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
34．（2022•青海）如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
35．（2022•大连）如图，四边形是菱形，点，分别在，上，．求证：．
36．（2022•河池）如图，点，，，在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，，直接判断四边形的形状．
37．（2022•烟台）如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，求的度数．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线垂直B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
2．（2023•花都区一模）如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段的长度为
A．B．C．D．1
3．（2023•宁波一模）如图，在中，，、分别是、的中点，连结、．若，，则的长为
A．7B．6C．5D．4.8
4．（2023•息县模拟）如图，，为的中位线，下列添加的条件不能使四边形为菱形的是
A．B．C．D．
5．（2023•包河区一模）四边形是边长为4的正方形，点在边上，连接，为中点，连接，点在上且，连接，则的最小值为
A．B．C．D．
6．（2023•市南区一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为
A．B．C．D．
7．（2023•佳木斯一模）如图，在正方形中，为边上一点，过点作，与的延长线交于点．连接，与边交于点，与对角线交于点，与相交于点．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤连接，则．其中结论正确的序号是
A．①②④B．①②③⑤C．③④⑤D．①②③④⑤
8．（2023•河北模拟）如图，在矩形中，点从点开始，沿矩形的边运动，，，与对角线相交于点，是线段的中点，连接，则长度的最大值是
A．1B．C．2D．
9．（2023•长安区四模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为
A．5B．6C．7D．8
10．（2023•张家口二模）菱形的面积是，边．下列关于其对角线的描述正确的是
A．B．C．D．或
11．（2023•镇平县模拟）如图，在菱形中，对角线，菱形的面积为24，则菱形的周长为
A．5B．10C．20D．30
12．（2023•佳木斯一模）如图，是正方形内一点，，，，则正方形的面积是
A．B．13C．D．
13．（2023•海曙区一模）下列说法正确的是
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
14．（2023•增城区一模）如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的边长是
A．5B．6C．7D．8
15．（2023•高新区模拟）如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为
A．B．C．D．
16．（2023•中原区一模）如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为
A．B．C．D．
17．（2023•临潼区二模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，已知，，则的周长为
A．B．C．D．
18．（2023•青岛一模）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为
A．B．C．D．
二．填空题
19．（2023•海淀区一模）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为 ．
20．（2023•齐齐哈尔一模）如图，正方形中，点，分别在，上，连接，，请添加一个条件： ，使．
21．（2023•礼泉县一模）如图，在中，，点在内运动，连接，，，若，则的最大值为 ．
22．（2023•泰山区一模）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
23．（2023•香坊区一模）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是线段上一点，连接、，若，，，则线段长为 ．
24．（2023•南岗区一模）在菱形中，，，点在边上，连接，，若，则线段的长为 ．
25．（2023•九龙坡区模拟）如图，在边长为5的正方形中，点，分别是，上的两点，，，则的长为 ．
26．（2023•苏州模拟）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ．
27．（2023•大庆一模）如图，为正方形内一点，从①；②，③ 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 个．
28．（2023•武进区一模）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
三．解答题
29．（2023•徐州模拟）已知：如图，、为平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
30．（2023•深圳模拟）如图，已知平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
31．（2023•松北区一模）已知，平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使，连接、、、．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形面积的．
32．（2023•鼓楼区一模）如图，为矩形的对角线的中点，过作分别交，于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
33．（2023•崂山区一模）如图，的对角线与相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）证明四边形为平行四边形；
（2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由．
34．（2023•宜兴市一模）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接、、，与交于点，，求证：
（1）．
（2）．
35．（2023•城阳区一模）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点、．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
36．（2023•甘井子区模拟）如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且．求证：．
37．（2023•市北区一模）如图，在中，、相交于点，点，在上，．
（1）求证：；
（2）若，请判断并证明四边形是什么特殊四边形．
考前押题
一．选择题
1．如图，正方形中，，点为动线上一个动点，连接，点为上一点，且，在射线上截取点使，交于点，连接，则的最小值为
A．8B．12C．D．
2．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
3．如图，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，若，，则的长是
A．20B．21C．22D．23
二．填空题
4．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为 ．
三．解答题
5．如图，已知平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平行四边形的面积是18，求的长．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：对边平行，对角线互相平分是矩形，菱形都具有的性质，故，不符合题意，
对角互补是矩形具有，而菱形不具有的性质，故不符合题意；
菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故符合题意；
故选：．
2．【答案】
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：延长至，使，连接，
，
，
为等边三角形，
，
平分的周长，
，
，
，
，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，
如图2，
作于，作，分别交直线于和，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
，
同理证得，则，
四边形是平行四边形，
设，则，，
，
，
，
，
可得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：，
故答案为：．
5．【答案】
【解答】解：如图，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：在中，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
故选．
8．【答案】
【解答】解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，，，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形的面积．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
为的中点，，
，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：在中，
，，，
．
为中线，
．
为中点，，即点是的中点，
是的中位线，
则．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：连接，如图：
正方形的面积为3，
，
，
，，
，
，
平分，
，
在中，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
故、、正确，无法得出，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，故正确，不符合题意；
，，，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，使，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故错误，符合题意．
故选：．
15．【答案】
【解答】解：由题意可得，
小正方形的边长为，
小正方形的周长为，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：四边形为正方形，，
，
为正方形对角线的中点，为等边三角形，
，
，，
．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、度量两个角是否是，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项符合题意；
、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
18．【答案】
【解答】解：菱形的对边平行，
由两直线平行，内错角相等可得．
故选：．
二．填空题
19．【答案】．
【解答】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过作于点，过作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：．
22．【答案】21．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：21．
23．
【解答】解：这个条件可以是，理由如下：
由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
24．
【解答】解：连接交于，如图：
，，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，
，
四边形的周长是，
故答案为：16．
25．【答案】．
【解答】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：．
26．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
故答案为：．
27．【答案】．
【解答】解：方法一：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
△，
，
，
，
则的最小值为，
方法二：过点作垂足为 当时，符合题意，则四边形是矩形，
．
故答案为：．
28．
【解答】解：连接，过点作，垂足为，并延长到点，使，连接交直线于点，连接，
是的垂直平分线，
，
，
此时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
29．【答案】（1）（2）证明解解答过程．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
（2）如图：
由（1）知，
，，
，
四边形为平行四边形．
30．【答案】（1）证明见解析；
（2）菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
31．【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分、平分，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，平分，
，
，
平行四边形是矩形．
32．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
33．【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：设菱形的边长为，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
菱形的边长是5．
34．【答案】（1）见解答过程；
（2）见解答过程．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，
，
；
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
．
35．【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
．
36．【答案】（1）证明见解析；
（2）平行四边形．
【解答】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，，
，
又，
四边形是平行四边形．
37．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图所示，
依题意，，，，，
，
，
即，
解得：，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
又是直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，为的中位线，
，，，，
四边形是平行四边形，
、，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
、，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
、，四边形是平行四边形，
平行四边形为矩形，故选项符合题意；
、，
，
，
平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
故选：．
5．【答案】
【解答】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
又，
点在半径为的上，
，
取的中点，则，
在上，
当，，三点共线时，取得最小值，
最小值为，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：如图1，连接交于，
四边形为菱形，
，，平分，
，
，
，
如图2，四边形为正方形，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故①符合题意；
，
，
，
根据勾股定理，得，
故②符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
故④符合题意；
连接，如图所示，
，，
又，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
故⑤符合题意，
综上所述，正确的有①②③④⑤，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：由题意可知，当点与点重合时，的值最大，
、是、的中点，
，
，
长度的最大值是2．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：作于点，则，
于点，
，
四边形是边长为4的正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积为6，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：如图，当为较长边时，连接，交于点，过点作于，
四边形是菱形，
，，，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
当为较短边时，同理可得，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：连接交于，
四边形是菱形，对角线，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
菱形的周长，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接、，
则，，，，，，，
△和△均为等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，即、、在同一条直线上，
，
，，
，
△是直角三角形，，
．
．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项不符合题意；
故选：．
14．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，
点为的中点，，
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
由题意可知，，
，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，
四边形是菱形，，
为等边三角形，
，，，，
，，，
，
为中点，
，
，
故选：．
17．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
的周长，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：如图，
由题意得：，
根据矩形的性质推出，
，，
，
．
故选：．
二．填空题
19．【答案】．
【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：添加，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：连接，作的外接圆，
在中，，
是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
在上取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
当为的直径时，的值最大，
此时，，
，
故的最大值为，
故答案为：．
22．【答案】．
【解答】解：连接，作于点，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值等于，
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：，
，
，，
，，
，，
，
又，
，
平行四边形的对角线、相交于点，，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
24．【答案】．
【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，
四边形是菱形，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：过作交于，交于，
则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
，
，
．
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．
延长至，是，连接，，
，
，，
，
是的中点，
，
当时，最小，此时，
的最小值为：，
故答案为：．
27．【答案】3．
【解答】解：①②③是真命题，
理由：作于，于，设，则，
，
在中，，
，根据对称性可知，
是等边三角形，可得；
①③②是真命题，
理由：首先证明是等边三角形，推出，推出，可得结论．
②③①是真命题，
理由：首先证明：，是等边三角形，即可推出结论．
故答案为：3．
28．【答案】．
【解答】解：如图，连接，，
四边形是菱形中，，
，，，
是等边三角形，
过点作于点，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
29．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，，
，
四边形是平行四边形．
30．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
，即，
解得，
的长为．
31．【答案】（1）证明见解析；
（2）、、、．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
、、、四个三角形，每个三角形面积都等于面积的．
32．【答案】（1）见解析；
（2）45．
【解答】（1）证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：设，则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
即，
，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积．
33．【答案】（1）见解析过程；
（2）添加，使得四边形为菱形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：，，
四边形为平行四边形；
（2）解：添加，使得四边形为菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
平行四边形是菱形．
34．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）平行四边形中，，，
，
，
，，
，
，
又，
，
；
（2）由（1）得，
，
．
35．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）四边形是矩形，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
连接、，如图，
四边形是平行四边形，
，，
由（1）知，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形．
36．【答案】见解答．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
37．【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形是菱形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形，
，
平行四边形是菱形．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：如图，过点作于点，
则，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上，
，，
，
，
，
当点运动到与半圆的交点处时最小，此时，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
．
故选：．
二．填空题
4．【答案】．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
5．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
，即，
解得，
的长为．平行四边形是中考考查重点，年年都会考查,分值为18分左右，预计2023年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的、利用四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
预测分值：18分左右
难度指数：★★★
必考指数：★★★★★
平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形性质与判定的综合
平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．
由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．
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