2024年中考数学复习训练---第4天 二次函数

这是一份2024年中考数学复习训练---第4天 二次函数，共104页。


满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•陕西）若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则满足的条件一定是
A．B．C．或D．
2．（2022•淄博）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为
A．1B．2C．3D．4
3．（2022•阜新）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是
A．点在函数图象上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
4．（2022•巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是
①；
②；
③；
④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
5．（2022•黄石）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：
①；②若为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
6．（2022•资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，有最大值为2、最小值为，此时的取值范围是．其中正确结论的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2022•衢州）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为
A．或4B．或C．或4D．或4
8．（2022•朝阳）如图，二次函数为常数，且的图象过点，对称轴为直线，且，则下列结论正确的是
A．
B．
C．为任意实数）
D．
9．（2022•济南）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是
A．或B．C．D．
10．（2022•荆门）抛物线上有两点，，，，若，则下列结论正确的是
A．B．
C．或D．以上都不对
11．（2022•绵阳）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点．若，则下列四个结论：①；②；③；④，正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2022•兰州）已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是
A．B．C．D．
13．（2022•牡丹江）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
14．（2022•广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是
A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而减小
15．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
A．B．C．D．
16．（2022•郴州）关于二次函数，下列说法正确的是
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当时，随的增大而增大
17．（2022•潍坊）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为
A．B．C．D．4
18．（2022•青岛）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
二．填空题
19．（2022•徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为 ．
20．（2022•六盘水）如图是二次函数的图象，该函数的最小值是 ．
21．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间的函数关系是，当飞行时间为 时，小球达到最高点．
22．（2022•湘西州）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．
23．（2022•盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
24．（2022•牡丹江）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
25．（2022•长春）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ．
26．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
27．（2022•大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为 ．
28．（2022•赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．
三．解答题
29．（2022•无锡）如图，二次函数的图象与轴交于点、在左侧），点，点在对称轴上．
（1）求、两点坐标；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为，求点坐标；
（3）设关于直线、的对称点分别为、，求以为直径的圆面积的最小值．
30．（2022•陕西）已知抛物线经过点，，与轴的交点为．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点是该抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，过点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标．
31．（2022•攀枝花）如图，二次函数的图象与轴交于为坐标原点），两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，轴上一点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点，连结，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
32．（2022•内蒙古）如图，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点在直线上方的抛物线上运动（与点，不重合），求使面积最大时点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探索）
33．（2022•巴中）如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
34．（2022•阜新）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2022•东营）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．
36．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数（单位：人）与时间（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：，数据如表．
（1）求，，的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数累计人数已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
37．（2022•黄石）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
（1），，三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接，交线段于点，
①当与轴平行时，求的值；
②当与轴不平行时，求的最大值；
（3）连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•莱芜区一模）已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2023•徐州模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为
A．B．C．D．
3．（2023•碑林区校级三模）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件
A．B．C．D．
4．（2023•东莞市校级模拟）已知抛物线经过两点，，则关于函数，下列说法“①；②当时，随着的增大而增大；③若，则；④若实数，则”中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023•东莞市校级一模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有
①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
6．（2023•灞桥区校级三模）在平面直角坐标系中，将抛物线关于轴对称后得到抛物线，对于抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2023•江油市模拟）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有
①；
②函数的最大值为；
③若关于的方程无实数根，则；
④代数式．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023•张家口二模）某工程队欲承建一个俯视图是正方形的建筑，所需建筑成本（万元）有两部分构成，其中一部分与该建筑俯视图的边长（米的平方成正比，另一部分为固定成本．下面是与的函数关系的大致图象，与题意相符的是
A．B．
C．D．
9．（2023•灯塔市一模）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是
A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
10．（2023•市北区一模）如图，正方形的边长为1，点是边上一动点（不与点，重合），过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接，有下列结论：①；②；③；④面积的最大值为．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2023•南昌模拟）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，，且，则下列说法错误的是
A．B．该抛物线必过点
C．当时，随增大而增大D．当时，
12．（2023•韩城市一模）将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点， 在新抛物线上，且，则的值可以是
A．3B．4C．5D．6
13．（2023•平阳县一模）已知抛物线经过点，将点先向右平移3个单位，再向下平移个单位恰好落在抛物线的最低点处，则的值为
A．3B．4C．5D．9
14．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数，当时，则的取值范围为
A．B．C．或D．或
15．（2023•增城区一模）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
16．（2023•拱墅区模拟）二次函数和一次函数是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是
A．B．
C．D．
17．（2023•商河县一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值范围是
A．B．C．D．
18．（2023•慈溪市一模）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数，的最小值分别为和，若，则的值为
A．0B．C．D．
二．填空题
19．（2023•白碱滩区一模）函数最小值是 ．
20．（2023•长春一模）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图象上，且总满足，则的取值范围是 ．
21．（2023•京口区模拟）若二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程，的根为 ．
22．（2023•浠水县一模）把抛物线沿轴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线解析式为 ．
23．（2023•海淀区校级一模）将二次函数化成的形式，结果为 ．
24．（2023•南湖区校级二模）已知抛物线是常数，且．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则的取值范围为 ．
25．（2023•大庆一模）函数为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则的值为 ．
26．（2023•荔湾区一模）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ．
27．（2023•成都模拟）将二次函数化成的形式为 ．
28．（2023•道里区一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
29．（2023•杭州一模）已知二次函数的图象与轴恰有一个交点，且过点和点，则 ．
30．（2023•镇海区校级模拟）直线与轴交于点，直线绕点顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ．
31．（2023•庐阳区校级一模）已知二次函数．
（1）当时，二次函数的最小值为 ；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则 ．
32．（2023•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 ．（用“”表示）
三．解答题
33．（2023•深圳模拟）对于“已知，求的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
，，；
，所以的最大值为．
请你按照这种方法计算：当时，的最小值．
34．（2023•松江区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线
的顶点为．
（1）若抛物线经过点，求抛物线解析式；
（2）将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与直线交于点，点位于轴上方，如果，求的值．
35．（2023•碑林区校级三模）如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点且与轴平行的直线与直线，分别交于点，，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
36．（2023•青山区模拟）已知二次函数的图象经过点，直线与抛物线相交于、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线的解析式为，且的面积为35，求的值；
（3）如图2，若，则直线必经过一个定点，求点的坐标．
37．（2023•章丘区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）抛物线上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考前押题
一．选择题
1．表格列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：其中，的值为
A．4B．3C．2D．1
2．已知点，，，在二次函数的图象上，若，则必有
A．B．C．D．
3．二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足
A．B．C．D．
二．填空题
4．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数的解析式为 ．
三．解答题
5．如图，点在抛物线上，点在点的右侧．
（1）写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并求的值；
（2）点，是抛物线上点，之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差；
（3）将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，，直接写出点移动的最短距离．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：抛物线经过第一、二、三象限，
△且，
解得．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：二次函数的图象经过，
，
，
，
在上，
，
，
，
的最小值为1．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：、把代入，
得，
错误；
、化简二次函数：，
，
二次函数的图象开口方向向下，
错误；
、二次函数对称轴是直线
，
错误；
、，
，
，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，
正确；
故选：．
4．【答案】
【解答】解：图象经过，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即，①正确．
由图象可得抛物线与轴交点在轴下方，
，②错误．
由抛物线的开口向上可得，
，
，③正确．
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
，
顶点坐标为，
点向上平移1个单位后的坐标为，
将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：．
5．【答案】
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①正确；
时，有最小值，
为任意实数），
即，所以②正确；
图象经过点时，得的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，所以③正确．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，
因此将代入得，，
即，故②正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于0，
，
，故③正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选．
7．【答案】
【解答】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为4或，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：．抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，
故，不正确，不符合题意；
．函数的对称轴为直线，则，
从图象看，当时，，
故不正确，不符合题意；
．当时，函数有最大值为，
为任意实数），
，
，
为任意实数）
故不正确，不符合题意；
．，故，
，，故，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
9．【答案】
【解答】解：在中，令，得，
令，得，
和是关于抛物线对称轴对称的两点，
①若，即和在轴右侧（包括在轴上），
则点经过翻折得，点经过翻折得，
如图：
由对称性可知，，
此时不满足；
②当，即和在轴左侧（包括在轴上），
则点即为，点即为，
，
此时不满足；
③当，即在轴左侧，在轴右侧时，如图：
此时，翻折后得，满足；
由得：，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，
抛物线上有两点，，，，且，
，
或或或，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：对称轴为直线，，
，①正确，
，
，
，
，
，②错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
由题意可知时，，
，
，
，
，
，
，
，③正确；
抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，，
，
，，
，
，
，
，
所以④错误；
故选：．
12．【答案】
【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
故选：．
13．【答案】
【解答】解：①观察图象可知：，，，
，故①错误；
②对称轴为直线，，
可得，，
点，点，
当时，，即，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故④正确；
故选：．
14．【答案】
【解答】解：图象开口向上，
，故不正确；
图象与轴交于负半轴，
，故不正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
故正确，不正确；
故选：．
15．【答案】
【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：中，
的系数为1，，函数图象开口向上，错误；
函数图象的顶点坐标是，错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，错误；
函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，正确．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
18．【答案】
【解答】解：选项抛物线开口向下，
．
对称轴为直线，
．
．
．故选项错误；
选项：设抛物线与轴的另一个交点为，，
则抛物线的对称轴可表示为，
，解得，
抛物线与轴的两个交点为和．
又抛物线开口向下，
抛物线与轴交于正半轴．
．故选项错误．
选项抛物线过点．
．故选项错误；
选项，且，
．故选项正确．
故选：．
二．填空题
19．【答案】4．
【解答】解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为，
顶点到轴的距离为4，
函数图象有三个点到轴的距离为，
，
故答案为：4．
20．【答案】．
【解答】解：由函数图象可得：，
解得：，
图象经过点，
，
解得：，
故二次函数解析式为：，
则二次函数的最小值为：．
故答案为：．
21．【答案】2．
【解答】解：，
，
当时，有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
22．【答案】．
【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
到轴的距离小于2，
，
而，
当，，
当时，，
的取值范围是，
故答案为：．
24．【答案】．
【解答】解：抛物线，
抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，即，
平移后的抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：，
图象开口向下，顶点坐标为，
根据题意，当时，函数值的最小值为1，
当时，，
，
，
时，函数值的最小值为1，
．
故答案为：．
26．【答案】或．
【解答】解：抛物线的对称轴为：，
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当且抛物线的顶点在线段上时，
，
解得：，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，
解得：，
综上，的取值范围为或，
故答案为：或．
27．【答案】1或．
【解答】解：当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，，，
②与、轴各一个交点，
△，，
，
解得（舍去）或，
综上所述：的值为1或．
28．
【解答】解：把点代入抛物线中得：
，
解得：，，
或，
当时，，
或，
，，
当时，，
，
是等腰直角三角形，
，
①如图1，，此时点与重合，连接，
点与关于直线对称，
是的垂直平分线，
，且，
，
；
②如图2，，
点，
点在直线上，此时直线过点，
，即在直线上，
，，
则直线的解析式为：，
，
，
，
点与关于直线对称，
是的中点，
，
综上，点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或．
三．解答题
29．【答案】（1），；
（2）；
（3）以为直径的圆面积最小为．
【解答】解：（1）在中，
令得：，
解得或，
，；
（2）设直线对应的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得
直线对应的函数表达式为，
联立，
解得或，
；
（3）设交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线交于，连接，，过作轴于，过作于，如图：
由得抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
，
，
，
，关于对称，
，，
，是等腰直角三角形，
设，，则，
，
，
，关于对称，
，为的中点，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的中点，
，
由，可得直线解析式为，
把代入得：
，
，
，，
，
，
的最小值为，
以为直径的圆面积最小为，
答：以为直径的圆面积最小为．
30．【答案】（1）抛物线的函数表达式为；
（2）的坐标为，或，．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图：
，
抛物线的对称轴是直线，
在中，令得，
，
，
是等腰直角三角形，
和相似，
是等腰直角三角形，
直线，轴，
，，
设，
，
或，
解得或或或，
点是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线的右侧，
的坐标为，或，．
31．【答案】（1）；
（2）；
（3）或或．
【解答】解：（1）二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）连接，
当时，，
或2，
，
点在抛物线上，
点的纵坐标为，
；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
综上：或或．
32．【答案】（1），；
（2）的面积有最大值，，；
（3）或或．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
，
令，则，
；
（2）作直线，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，；
（3）令，则，
解得或，
，
设，，
①当为平行四边形的对角线时，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或．
33．【答案】（1）；
（2）①4；②是，定值为8，理由见解析．
【解答】解：（1）当时，，
，是的两根，，，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，；
②设，，
直线，，
因此可得：或，
解得：或，
直线，．
令得，，
，，
．
34．【答案】（1）；
（2）当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，的坐标为或或或．
【解答】解：（1）将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
①当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得（与重合，舍去）或，
；
②当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得（舍去）或，
；
③当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
35．【答案】（1）；
（2）；
（3），或，或．
【解答】解：（1）将点，点代入，
，
解得，
；
（2）连接交对称轴于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
（3）当时，，
点与点重合，
；
当时，，
如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
解得或，
，或，，
点在对称轴的左侧，
点坐标为，；
如图2，当点在点下方时，
同理可得，
，
解得（舍或，
，；
综上所述：点的坐标为，或，或．
36．【答案】（1），，；
（2）490人；
（3）32分钟，至少增加3个检测点．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，；
（2）设第分钟时的排队人数为，
根据题意得：，
，
当时，
，
当时，，
当时，，
，
随的增大而减小，
，
故排队人数最多时有490人；
（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：，
解得：，
所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；
开始就应该至少增加个检测点，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
37．【答案】（1）；；．
（2）．
②．
（3）存在，．
【解答】解：（1）令，则，
；
令，则，
或，
，．
故答案为：；；．
（2）①轴，，
，
，，
轴，
．
②如图，过点作交于点，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，，．
，
，
，
当时，的最大值为．
另解：分别过点，作轴的平行线，交直线于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点使得，即．
过点作轴交抛物线于点，
，，
，
延长交轴于点，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
直线的解析式为：，
令，
解得或（舍，
存在点满足题意，此时．
3499
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：，
，
抛物线的对称轴为直线．
点，在抛物线上，
，
，
．
当时，，
，
，
又，
；
同理：当时，．
的取值范围是．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，
所得抛物线对应的函数表达式为．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：平移前二次函数解析式为，
平移前二次函数的顶点坐标为，
平移后二次函数的顶点坐标为，即
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上，
平移后的二次函数只能是与轴有一个交点，与轴没有交点，
平移后的二次函数顶点一定在轴上方，
，
解得：，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：抛物线经过两点，，
抛物线的对称轴为直线，
，即，故①错误；
，
抛物线开口朝上，
抛物线的对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，故②正确；
，
抛物线与轴只有一个交点，且交点坐标为，
抛物线的顶点式为，
，故③正确；
由上述可知，，，
，
，
，即，故④正确．
综上，正确的有②③④，共3个．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
①说法正确，
由图象可知抛物线与轴有两个交点，
，
②错误，
由图象可知，当时，，
，
③正确，
由题意可知是的一个根，
对称轴是直线，
另一个根为，
④正确，
正确的有①③④，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：将抛物线关于轴对称后，
得到抛物线的解析式为：，
其对称轴为直线．
在抛物线，当时，随的增大而减小，
，
解得：．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：抛物线的对称轴是直线，
，
，故①正确．
抛物线交轴于点，，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，故②正确．
无实数根，
无实数根，
，△，
，
，
，故③正确，
抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
当时，，
，
，，，
，故④错误．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：设，其中，（常数），
．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项错误，不符合题意；
、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项错误，不符合题意；
、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
，故选项正确，符合题意；
故选：．
10．【答案】
【解答】解：在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，，
①②正确；
是等腰直角三角形，
，
点是边上一动点，
不一定等于，
不一定等于，
③错误；
设，则，
的面积，
面积的最大值是．
④错误．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过，
且抛物线经过，
选项正确，选项正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而增大，
选项正确．
时，，
时，，选项错误．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：，
将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在新抛物线上，且，
，
，
故选：．
13．【答案】
【解答】解：，
顶点为，
将点先向右平移3个单位，再向下平移个单位得到，
，，
抛物线经过点，
，
，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，，
，图象开口向上，且，
或，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：将，代入，
得：，，
．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：：根据图象可得二次函数开口向上，则，此时一次函数的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项不符合题意；
：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项符合题意；
：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在轴的右边，而图中所给对称轴在轴左边，故选项不符合题意；
：根据图象可得二次函数开口向下，则，当时，一次函数的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项不符合题意；
故选：．
17．【答案】
【解答】解：，
将二次函数的图象向右平移个单位得的图象，
新图象的对称轴为直线，
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
，
解得，
符合条件的二次函数的表达式可以是，
故答案可以为：（答案不唯一），；
故选：．
18．【答案】
【解答】解：由题意可知，有最小值，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，，
；
故选：．
二．填空题
19．【答案】2．
【解答】解：，
，
仅当时，取得最小值，最小值为2．
故答案为：2．
20．【答案】．
【解答】解：二次函数中，，
图象开口向上，
点，在二次函数的图象上，且总满足，
又抛物线的对称轴是直线，
，
解得．
故答案为：．
21．【答案】0或4．
【解答】解：当时，，即二次函数的图象经过点，
而二次函数的图象也经过点，
故二次函数与轴的交点为和，
故关于的一元二次方程的根为0或4，
故答案为：0或4．
22．【答案】．
【解答】解：把抛物线沿轴先向右平移3个单位长度，得，
再向上平移2个单位，得，即．
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：，
故答案为：．
24．【答案】．
【解答】解：抛物线是常数，且，
对称轴为直线，顶点为，
直线与抛物线有两个交点、，
抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，且，
抛物线与轴的坐标不在的下方，
令，则，
抛物线与轴的交点为，
，
解得，
的取值范围为．
故答案为：．
25．【答案】0或．
【解答】解：函数为常数）的图象与坐标轴有两个交点，
①二次函数图象与轴有1个交点，
，
，
②一次函数图象与坐标轴有两个交点，
，
的值为0或，
故答案为：0或．
26．【答案】9．
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
，
，
故答案为：9．
27．【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
28．【答案】．
【解答】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的拋物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
29．【答案】．
【解答】解：二次函数过点和点，
，
，
二次函数的图象与轴恰有一个交点，
，
，
把代入，
得，
，
，
，
故答案为：．
30．【答案】或．
【解答】解：由，可得直线与抛物线交于点，
①直线与轴重合满足题意，则直线与轴交点为，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
将代入得，
解得．
②设直线解析式为，
令，
△，
当时满足题意．
，
把代入得，
直线与轴交点坐标为，，即，
作交直线于点，过点作轴于点，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
点坐标为，．
将，代入直线解析式得，
解得．
，
．
故答案为：或．
31．【答案】或．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：；
（2）对于，对称轴为，
①当，即时，
此时对称轴在的左侧，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，有最小值1，即，
解得；
②当时，即时，
抛物线开口向上，
当时，有最小值1，
即，
整理得：，
解得（舍去），；
；
③当时，即时，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，有最小值，
即，
解得，不合题意，舍去，
综上所述，或．
故答案为：或．
32．【答案】．
【解答】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，，，
点到对称轴的距离最大，到对称轴距离最短，
，
故答案为：．
三．解答题
33．【答案】2．
【解答】解：，
，
．
，
，
的最小值为2．
34．【答案】（1）；（2）的坐标为：；（3）．
【解答】解：（1）对于，当时，，即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
故抛物线的表达式为：；
（2）如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交轴于点，
将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，
则，，
，，
，
，，
，
，，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：；
（3）设点，
则直线的表达式为：，
过点作交于点，过点作轴的平行线交抛物线对称轴于点，交轴于点，
设点，
，即为等腰直角三角形，
则，，
由（2）知，，
则且，
整理得：，
解得：（负值已舍去）．
35．【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）抛物线经过的三个顶点，其中点，点，
，
，
抛物线解析式为；
（2）解：抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
轴，且点在抛物线上，
；
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，，
当时，最大，
此时点的坐标为．
36．【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）已知直线的解析式为，
令，则，
直线过定点，
，
轴，，
，
，
令，整理得，
，，
，
整理得，
解得或；
（3）设，，如图2，过点作直线轴，分别过、两点作的垂线，垂足分别为、，
，，
，
，即，
，
①，
联立方程组，
，
，②，
将②代入①，得化简，得
，
直线的解析式为，即，
直线经过定点．
37．【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）如图所示，当点在第一象限抛物线上时，
，
，
点和点关于对称轴对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
点的坐标为；
如图所示，当点在第四象限的抛物线上时，设与轴交于点
，
，
设，
，，
，，
在中，，即，
解得，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得；
，
联立直线和抛物线得，，
解得，
将代入得，，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：时，；时，，
该二次函数的对称轴为，
当时，的值和当时，的值相等．
当时，，
当时，，
的值为4．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：二次函数，
开口向上，对称轴为直线，
点，，，在二次函数的图象上，，
，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
，
解得：，
故选：．
二．填空题
4．【答案】．
【解答】解：把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为，即．
故答案为：．
三．解答题
5．【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，；
（2）的最大值与最小值的差为4；
（3）点移动的最短距离为3．
【解答】解：（1）抛物线，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
把代入得，，
解得或，
把代入得，，
解得或，
点在点的右侧，
；
（2），抛物线的顶点坐标为，的坐标为，或，，且点，是抛物线上点，之间的曲线段上的动点（包括端点），
的最大值与最小值的差为；
（3）平移后的抛物线与轴的交点分别为，，
平移后的抛物线为，
，
平移后的抛物线的顶点为，
将抛物线向上平移3个单位，
点移动的最短距离为3在各地中考中，二次函数考查形式灵活多变，大部分的试题难度较大，分值设置在18分左右。单独考查有二次函数图象与性质、图形变换(平移、对称等)、二次函数的实际应用( 多考查现实生活中的“利润问题”或“最值问题”)。而压轴部分主要考查二次函数与几何图形结合的面积、周长、线段的最值问题、二次函数与特殊的几何图形结合的存在性问题等。
预测分值：18分左右
难度指数：★★★
必考指数：★★★★★
二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：
（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．
（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
（3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0)，设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n)（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．
当函数图象与x轴必有交点时，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x=0时，y=0；寻求y<0及y>0时x的取值范围，可利用其图象回答．
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