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2024年江西省吉安市吉安县中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 绝对值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，若，则；若，则；若，则，根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【详解】解：，
∴绝对值为，
故选：A．
2. 剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3. 使分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义，分母不等于零，得出，求出即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
4. 一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，则长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，先求出，，再由勾股定理计算即可得出答案，正确求出，两点的坐标是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，当时，，解得：，
，，
，
故选：C．
5. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，无理数的估算，如图，过作于，先求解，，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴的整数值为，，，，
故选C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式的次数是_________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：单项式的次数是2+1=3．
故答案为3．
8. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据十字相乘法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 我国目前耕地面积约为1914000000亩，将数据1914000000用科学记数法表示应为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据1914000000用科学记数法表示应为．
故答案为：．
10. 如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，从而得出，由相似三角形的性质可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案：．
11. 我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，点E、点F分别在上，，若P为矩形上一点，则当为直角三角形时，斜边长为___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，，
显然点P与点E重合时，为直角三角形，
此时斜边长为；
当点E顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，
∴斜边长为；
综上，斜边长为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，在菱形中，点E，点F分别是的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的计算，化简二次根式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）先化简二次根式和去绝对值，再计算加减法即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此证明，即可证明．
【详解】解：（1）
；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵点E，点F分别是的中点，
∴，
∴，
∴．
14. 如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小；
（2）在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作图即可得解；
（2）根据勾股定理的逆定理作图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
15. 解方程组，下面是两位同学的解答过程：
小敏：解：把方程变形为，
再将代入方程得…
小川：解：将方程的两边乘3得，再将两个方程相加，得到…
（1）小敏的解法依据是____________，运用的方法是__________；小川的解法依据是________________，运用的方法是____________；
①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
（2）选择一位同学的解法，求出原方程组的解．
【答案】（1）②、④；②、⑤
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；
小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：②、④；②、⑤；
【小问2详解】
解：把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
将代入，得，
∴方程组的解为．
16. 将三支外观一样的签字笔放在桌子上，其中一支签字笔的笔芯中的墨水已写完，另两支签字笔的笔芯中的墨水还剩一半，三支笔从外观看毫无差别．
（1）若随机取一支笔，恰好是墨水写完的这支的概率是________；随机取一支笔的笔芯中的墨水是满的是________事件；
（2）若从中随机取两支笔，求恰好是墨水还剩一半的两支的概率．
【答案】（1），不可能
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率公式和列表法或画树状图求概率是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）通过画树状图分析得到共有6种可能结果，其中墨水还剩一半的两支的结果有2种，根据概率公式可求．
【小问1详解】
解：一共有三支笔芯，其中一支墨水用完，还有两支剩下一半，
则若随机取一支笔，恰好是墨水写完的这支的概率是；随机取一支笔的笔芯中的墨水是满的是不可能事件，
故答案为：，不可能；
【小问2详解】
解：设签字笔的笔芯中的墨水已写完的笔为A，签字笔的笔芯中的墨水还剩一半的两支笔为B、C
画树状图，如下：
共有6种等可能出现的结果，其中从中随机取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的笔的情况有2种，
∴若从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半两支的概率为．
17. 如图1，是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，垂直于所在水平地面，，，，．
（1）求的度数；
（2）求点到地面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查四边形内角和以及含30度角直角三角形的性质．
（1）根据四边形内角和为即可求解；
（2）过点B作于点E，求得，可得的长和的长，再证明，可得的长度即为点到地面的距离，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
【小问2详解】
如图，过点B作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴的长度即为点到地面的距离，
∴点到地面的距离为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元．
（1）求跳绳和足球的单价；
（2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？
【答案】（1）跳绳的价格为元，则足球的价格为元
（2）最多可购买根跳绳
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，根据“计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设最多可购买根跳绳，根据“使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
（元），
跳绳的价格为元，则足球的价格为元；
【小问2详解】
解：设最多可购买根跳绳，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最大为，
最多可购买根跳绳．
19. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数交于点，点为的中点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，若．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标为，再利用待定系数法求出反比例函数解析式为，求出，再根据计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，直线分别与轴、轴交于，两点，
，，
，
解得：，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：点为的中点，
点的坐标为，
点在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数解析式为，
过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，
点的纵坐标为，
在中，当时，，解得，
，
，
．
20. 如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．
（1）求的值；
（2）若，求证： 为的切线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得出答案；
（2）连接，，作于，则，证明四边形为矩形，得出，即可得证．
【小问1详解】
解：为直径，
，即，
由勾股定理得：，
；
【小问2详解】
证明：如图，连接，，作于，则，
为直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
为的切线．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
【答案】（1），，图见解析；（2）；（3）①支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；②该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求扇形圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据的人数和所占的比例即可得出调查的民众人数，从而得出支持发展经济和就业的民众数，再补全统计图即可；
（2）利用乘以类所占的比例即可得出答案；
（3）①根据统计图的相关数据即可解答；②用万人乘以支持改进教育体制与发展经济和就业的人数所占的比例即可得出答案．
【详解】解：（1）调查的民众人数为（人），
支持发展经济和就业的民众数为（人），
补全图1如图所示：
，
故答案为：，；
（2）由题意得：类在扇形统计图中对应的圆心角度数为：；
（3）①由题意得：支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；
②支持改进教育体制的人数为：（万人），
支持发展经济和就业的人数为（万人）
该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人．
22. 课本再现
菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．
定理证明
（）如图，已知四边形为菱形，前面已证菱形的四条边相等，请进一步证明对角线．
知识应用
（）如图，已知四边形为菱形，等腰的顶点在上，底边交边于点，点为的中点，点为与的交点，且．
①求证：；
②若，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②5
【解析】
【分析】（）根据菱形的性质及等腰三角形的性质即可证明结论成立；
（）①令交于点，证明，得，从而证明，进而即可得证；②如图，令交于点，证明，得，再证明四边形是矩形，得，，，，从而由得，再利用三角函数即可得解．
【详解】（）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
（）①证明：令交于点，
∵等腰的顶点在上，底边交边于点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，令交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题提出
如图1，在矩形中，已知，，点P沿折线运动（运动到C点停止），过点P作，当点P在上运动时，交于点M；当点P在上运动时，交于点M．设点P运动的路程为x，在运动过程中的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，①若，则_______；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）如图2，当点P由点D运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数关系，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
延伸探究
（3）设点P沿运动过程中y取得最大值，则当点P在上运动的过程中，是否也存在y值为？如果存在，求此时的长；如果不存在，则说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）①证明，求出，，则可求y关于x的函数关系式，然后把求解即可；②由①直接得出结论即可；
（2）证明，可求出，利用求解即可；
（3）先求出（2）中函数的最大值，然后把代入（1）中函数解析式求出x即可．
【详解】解：（1）如图，
∵在矩形中，已知，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
又点P在上，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：；
②由①得，
故答案为：；
（2）当点P在上时，，即，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴
，
∴
（3），
∴当时，有最大值，最大值，
把代入，得，
解得，（舍去），
∴存在，此时．
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 绝对值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，若，则；若，则；若，则，根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【详解】解：，
∴绝对值为，
故选：A．
2. 剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3. 使分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义，分母不等于零，得出，求出即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
4. 一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，则长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，先求出，，再由勾股定理计算即可得出答案，正确求出，两点的坐标是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，当时，，解得：，
，，
，
故选：C．
5. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，无理数的估算，如图，过作于，先求解，，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴的整数值为，，，，
故选C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式的次数是_________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：单项式的次数是2+1=3．
故答案为3．
8. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据十字相乘法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 我国目前耕地面积约为1914000000亩，将数据1914000000用科学记数法表示应为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据1914000000用科学记数法表示应为．
故答案为：．
10. 如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，从而得出，由相似三角形的性质可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案：．
11. 我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，点E、点F分别在上，，若P为矩形上一点，则当为直角三角形时，斜边长为___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，，
显然点P与点E重合时，为直角三角形，
此时斜边长为；
当点E顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，
∴斜边长为；
综上，斜边长为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，在菱形中，点E，点F分别是的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的计算，化简二次根式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）先化简二次根式和去绝对值，再计算加减法即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此证明，即可证明．
【详解】解：（1）
；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵点E，点F分别是的中点，
∴，
∴，
∴．
14. 如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小；
（2）在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作图即可得解；
（2）根据勾股定理的逆定理作图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
15. 解方程组，下面是两位同学的解答过程：
小敏：解：把方程变形为，
再将代入方程得…
小川：解：将方程的两边乘3得，再将两个方程相加，得到…
（1）小敏的解法依据是____________，运用的方法是__________；小川的解法依据是________________，运用的方法是____________；
①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
（2）选择一位同学的解法，求出原方程组的解．
【答案】（1）②、④；②、⑤
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；
小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：②、④；②、⑤；
【小问2详解】
解：把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
将代入，得，
∴方程组的解为．
16. 将三支外观一样的签字笔放在桌子上，其中一支签字笔的笔芯中的墨水已写完，另两支签字笔的笔芯中的墨水还剩一半，三支笔从外观看毫无差别．
（1）若随机取一支笔，恰好是墨水写完的这支的概率是________；随机取一支笔的笔芯中的墨水是满的是________事件；
（2）若从中随机取两支笔，求恰好是墨水还剩一半的两支的概率．
【答案】（1），不可能
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率公式和列表法或画树状图求概率是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）通过画树状图分析得到共有6种可能结果，其中墨水还剩一半的两支的结果有2种，根据概率公式可求．
【小问1详解】
解：一共有三支笔芯，其中一支墨水用完，还有两支剩下一半，
则若随机取一支笔，恰好是墨水写完的这支的概率是；随机取一支笔的笔芯中的墨水是满的是不可能事件，
故答案为：，不可能；
【小问2详解】
解：设签字笔的笔芯中的墨水已写完的笔为A，签字笔的笔芯中的墨水还剩一半的两支笔为B、C
画树状图，如下：
共有6种等可能出现的结果，其中从中随机取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半的两支的笔的情况有2种，
∴若从中先后取两支笔，则恰好都是墨水还剩一半两支的概率为．
17. 如图1，是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，垂直于所在水平地面，，，，．
（1）求的度数；
（2）求点到地面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查四边形内角和以及含30度角直角三角形的性质．
（1）根据四边形内角和为即可求解；
（2）过点B作于点E，求得，可得的长和的长，再证明，可得的长度即为点到地面的距离，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
【小问2详解】
如图，过点B作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴的长度即为点到地面的距离，
∴点到地面的距离为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元．
（1）求跳绳和足球的单价；
（2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？
【答案】（1）跳绳的价格为元，则足球的价格为元
（2）最多可购买根跳绳
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，根据“计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设最多可购买根跳绳，根据“使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
（元），
跳绳的价格为元，则足球的价格为元；
【小问2详解】
解：设最多可购买根跳绳，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最大为，
最多可购买根跳绳．
19. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数交于点，点为的中点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，若．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标为，再利用待定系数法求出反比例函数解析式为，求出，再根据计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，直线分别与轴、轴交于，两点，
，，
，
解得：，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：点为的中点，
点的坐标为，
点在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数解析式为，
过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，
点的纵坐标为，
在中，当时，，解得，
，
，
．
20. 如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．
（1）求的值；
（2）若，求证： 为的切线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得出答案；
（2）连接，，作于，则，证明四边形为矩形，得出，即可得证．
【小问1详解】
解：为直径，
，即，
由勾股定理得：，
；
【小问2详解】
证明：如图，连接，，作于，则，
为直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
为的切线．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
【答案】（1），，图见解析；（2）；（3）①支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；②该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求扇形圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据的人数和所占的比例即可得出调查的民众人数，从而得出支持发展经济和就业的民众数，再补全统计图即可；
（2）利用乘以类所占的比例即可得出答案；
（3）①根据统计图的相关数据即可解答；②用万人乘以支持改进教育体制与发展经济和就业的人数所占的比例即可得出答案．
【详解】解：（1）调查的民众人数为（人），
支持发展经济和就业的民众数为（人），
补全图1如图所示：
，
故答案为：，；
（2）由题意得：类在扇形统计图中对应的圆心角度数为：；
（3）①由题意得：支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；
②支持改进教育体制的人数为：（万人），
支持发展经济和就业的人数为（万人）
该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人．
22. 课本再现
菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．
定理证明
（）如图，已知四边形为菱形，前面已证菱形的四条边相等，请进一步证明对角线．
知识应用
（）如图，已知四边形为菱形，等腰的顶点在上，底边交边于点，点为的中点，点为与的交点，且．
①求证：；
②若，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②5
【解析】
【分析】（）根据菱形的性质及等腰三角形的性质即可证明结论成立；
（）①令交于点，证明，得，从而证明，进而即可得证；②如图，令交于点，证明，得，再证明四边形是矩形，得，，，，从而由得，再利用三角函数即可得解．
【详解】（）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
（）①证明：令交于点，
∵等腰的顶点在上，底边交边于点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，令交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题提出
如图1，在矩形中，已知，，点P沿折线运动（运动到C点停止），过点P作，当点P在上运动时，交于点M；当点P在上运动时，交于点M．设点P运动的路程为x，在运动过程中的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，①若，则_______；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）如图2，当点P由点D运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数关系，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
延伸探究
（3）设点P沿运动过程中y取得最大值，则当点P在上运动的过程中，是否也存在y值为？如果存在，求此时的长；如果不存在，则说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）①证明，求出，，则可求y关于x的函数关系式，然后把求解即可；②由①直接得出结论即可；
（2）证明，可求出，利用求解即可；
（3）先求出（2）中函数的最大值，然后把代入（1）中函数解析式求出x即可．
【详解】解：（1）如图，
∵在矩形中，已知，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
又点P在上，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：；
②由①得，
故答案为：；
（2）当点P在上时，，即，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴
，
∴
（3），
∴当时，有最大值，最大值，
把代入，得，
解得，（舍去），
∴存在，此时．
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