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初中苏科版1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题
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这是一份初中苏科版1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题，文件包含专题19倍长中线构造全等模型大题专练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典原卷版苏科版docx、专题19倍长中线构造全等模型大题专练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
【典例剖析】
【例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______．
（2）求得AD的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN>MN．
【答案】（1）SAS；（2）1【解析】
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，证明△BED≌△CNDSAS，得到BE=CN，根据三角形三边关系解答即可．
【详解】
（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠BDEBD=CD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，
如图所示：
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．
在△BED和△CND中，
DE=DN∠BDE=∠CDNBD=CD ，
∴△BED≌△CNDSAS，
∴BE=CN，
∵DM⊥DN，DE=DN，
∴ME=MN，
在△BEM中，由三角形的三边关系得：BM+BE>ME，
∴BM+CN>MN．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【变式1.1】．如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）AE=CD，见解析
【解析】
【分析】
（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF，可证得△ABE ≌ △FBD，则AE=FD，再通过证明△FAD ≌ △CAD，可得到FD=CD，从而得到AE=CD即可．
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图，
判断：AE=CD
证明如下：
延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF
在△ABE和△FBD中，
∵AB=FB∠ABE=∠FBDEB=DB
∴△ABE ≌ △FBD
∴AE=FD
∵BF=AB
∴AF=2AB
∵AC=2AB
∴AF=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∵AF=AC∠FAD=∠CADAD=AD
∴△FAD ≌ △CAD
∴FD=CD
又∵AE=FD
∴AE=CD
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式1.2】．阅读理解：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．
【答案】（1）2【解析】
【分析】
（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在△ABE中，由三边关系4<2AD<16即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由DE⊥DF，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【详解】
（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
△ABE，
∵AB-BE∴4<2AD<16，
∴2（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵DE⊥DF，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EGEF，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【点睛】
本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，
【满分训练】
一、解答题
1．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可．
【详解】
证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF
在△ADC和△FDB中，
BD=CD∠BDF=∠ADCDF=AD
∴△ADC≌△FDB（SAS）
∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．
∵BE＝AC，
∴BF＝BE
∴∠BED＝∠F，
∴∠BED＝∠CAD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
2．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【解析】
【分析】
[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；
[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．
【详解】
解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]
（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，
EF=EA∠DEF=∠CEAED=EC，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，
∠B=∠AFD∠BAD=∠FADAD=AD，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，
即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，
即x的取值范围是1＜x＜4．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用中线加倍证△DEF≌△CEA（SAS），可得DF=AC=BD，∠FDE=∠C，由DC=AC，可得∠ADC=∠CAD进而可证∠ADF=∠ADB.，再证△ADB≌△ADF（SAS）即可．
【详解】
证明：延长AE到F，使EF=AE，连结DF ，
∵E是DC中点，
∴DE=CE ，
∴在△DEF和△CEA中，
DE=CE∠DEF=∠CEAEF=EA，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴DF=AC=BD，∠FDE=∠C，
∵DC=AC，
∴∠ADC=∠CAD，
又∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∠ADF=∠FDE+∠ADC，
∴∠ADF=∠ADB，
在△ADB和△ADF中，
AD=AD∠ADB=∠ADFDB=DF，
∴△ADB≌△ADF（SAS），
∴AB=AF=2AE ．
【点睛】
本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．
4．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②1【解析】
【分析】
（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得CE−BC（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．
【详解】
解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵CE−BC∴AB−BC又∵BE=BD+DE=2BD，
∴1故答案为：1（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．
5．如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．
（1）求证：AB−AC<2AD（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．
【答案】（1）AB−AC<2AD【解析】
【分析】
（1）延长AD至E，使AD=DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据三角形的三边关系可得AB−BE（2）把AB=8cm，AC=5cm代入（1）的结论里，再解不等式即可．
【详解】
（1）证明：如图延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∵AD为△ABC中BC边上的中线，
∴DC=BD，
在△ACD和△EBD中：
DC=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等），
在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB−BE即AB−AC<2AD（2）解：∵AB=8cm，AC=5cm，
由（1）可得AB−AC<2AD∴8−5<2AD<8+5，
∴32【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．
6．（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；
（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
【详解】
证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，
BD=CD∠ADB=∠PDCAD=PD
∴△ABD≌△PCD(SAS)，
∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴AB+AC>2AD；
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，
∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，
BH=CH∠BHA=∠CHQAH=QH
∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，
∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，
∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，
∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，
∴AB+AC>AD+AE；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，
BM=CM∠BMA=∠CMNAM=NM
∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，
∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴AB+AC>AD+AE．
【点睛】
本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
7．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长AD至点E，使ED=AD．由AD为中线可知BD=CD，即易证△ABD≅△ECD(SAS)，得出AB=EC．利用三角形三边关系可知AC+EC>AE，即可证明AC+AB>2AD．
（2）延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，EG．由AD为中线可知BD=CD．即易证△BDE≅△CDG(SAS)，得出BE=CG．由题意可得∠EDF=∠GDF=90°，即易证△EDF≅△GDF(SAS)，得出EF=GF．利用三角形三边关系可知CG+CF>FG，即可证明BE+CF>EF．
【详解】
（1）如图，延长AD至点E，使ED=AD．
∵AD为中线，
∴BD=CD．
∴在△ABD和△ECD中，BD=CD∠ADB=∠EDCAD=ED ，
∴△ABD≅△ECD(SAS)，
∴AB=EC．
∵在△ACE中，AC+EC>AE，
∴AC+AB>2AD．
（2）如图，延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，EG．
∵AD为中线，
∴BD=CD．
∴在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDGED=GD ，
∴△BDE≅△CDG(SAS)，
∴BE=CG．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠GDF=90°，
∴在△EDF和△GDF中，ED=GD∠EDF=∠GDF=90°DF=DF，
∴△EDF≅△GDF(SAS)，
∴EF=GF．
∵在△CFG中，CG+CF>FG，
∴BE+CF>EF．
【点睛】
本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
8．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
【详解】
解：（1）如图1，∵AM⊥BM，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝12∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
9．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
【答案】（1）SAS；1＜BD＜9；（2）2BD＝MN，BD⊥MN，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，由（1）得：△ABD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，AB＝CE，证出∠BCE＝∠MBN，证明△BCE≌△NBM得出BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，则2BD＝MN．延长DB交MN于G，证出∠BGN＝90°，得出BD⊥MN．即可．
【详解】
（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
AD=CD∠ADB=∠CDEBD=ED，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE−BC＜BE＜CE−BC，
∴10−8＜AE＜10＋8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）解：2BD＝MN，BD⊥MN，理由如下：
延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图所示：
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC＋∠MBN＝180°，即∠ABD＋∠CBD＋∠MBN＝180°，
∵∠E＋∠CBD＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，
CE=BM∠BCE=∠MBNBC=NB，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC＋∠NBG＝90°，
∴∠MNB＋∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
10．课堂上，老师出示了这样一个问题：
如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示，解决下面问题：
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．
【答案】（1）1【解析】
【分析】
（1）根据已知证明△BDE≌△ADC，进而求得AC=BE，根据三角形三边关系即可求得AD的取值范围；
（2）过点B作BM//FC交FE的延长线于M，证明△ABE≌△ACF，得CF=BE，再证明BM=CE，进而证明△BMG≌△CFG，即可证明BG=CG
【详解】
（1）∵BE//AC
∴∠E=∠EAC
∵∠BDE=∠ADC,BD=CD
∴ △BDE≌△ADC
∴AC=BE=3
∵AB−BE∴1（2）如图，过点B作BM//FC交FE的延长线于M，
∴∠2=∠3
∵ AF=AE,AF⊥AE,
∴∠4=∠AEF=45°,
∴∠1=180°−∠AEB−∠AEF=180°−90°−45°=45°,
∵AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC
即∠BAE=∠CAF
∴ △ABE≌△ACF
∴CF=BE，∠AEB=∠AFC=90°
∴∠3=90°−∠4=45°
∵∠AEF=∠3=∠4=45°,AE⊥BD
∴∠2=∠3=∠1=45°
∴BE=BM
∴BM=CF
又∵∠BGM=∠CGF,
∴△BMG≌△CFG
∴BG=CG
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．
【解析】
【分析】
问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；
问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．
【详解】
问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠CDA=∠BDECD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
AD=ED∠CDA=∠BDECD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝12AE，
∴12＜AD＜72；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
AB=EA∠ABN=∠EADBN=AD，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见解析；（3）EF＝2AD，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．
【详解】
（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
{BD=CD∠BDM=∠CDADM=AD，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
{AB=EA∠ABM=∠EAFBM=AF，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
13．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】
（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝12∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
14．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】
（1）①如图1，
延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
BE=CE∠BEF=∠CEDEF=ED ，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
∠F=∠CGF=90°∠BEF=∠CEGBE=CE ，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
∠BAE=∠CDE∠F=∠CGD=90°BF=CG，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
∠BAE=∠CME∠BEA=∠CEMBE=CE，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
15．（1）方法呈现：
如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
16．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，AD是ΔABC的中线，AB=7,AC=5,求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证ΔADC≅ΔMDB，所以BM=AC．接下来，在ΔABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 ；
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F,且AE=EF，求证：AC=BF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE⊥DE，试猜想线段BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）1【解析】
【分析】
（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，即可证明ΔADC≅ΔMDB，则可得BM=AC，在ΔABM中，根据三角形三边关系即可得到AM的取值范围，进而得到中线AD的取值范围；
（2）延长AD到点M,使DM=AD，连接BM，由（1）知△ADC≅△MDB，则可得∠M=∠CAD，BM=AC，由AE=EF可知，∠CAD=∠AFE，由角度关系即可推出∠BMF=∠BFM，故BM=BF，即可得到AC=BF；
（3）延长CE到F，使EF=EC，连接AF，即可证明ΔAEF≅ΔBEC，则可得∠EAF=∠B，AF=BC，由AD//BC，以及角度关系即可证明点F,A,D在一条直线上，通过证明Rt△DEF≌Rt△DEC，即可得到FD=CD，进而通过线段的和差关系得到CD=BC+AD．
【详解】
（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，
∵AD是ΔABC的中线，
∴DC=DB，
在ΔADC和ΔMDB中，
AD=MD，∠ADC=∠MDB，DC=DB，
∴ΔADC≅ΔMDB，
∴BM=AC，
在ΔABM中，
AB−BM＜AM＜AB+BM，
∴7−5＜AM＜7+5，即2＜AM＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接BM，
由（1）知△ADC≅△MDB，
∴∠M=∠CAD，BM=AC，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠MFB=∠AFE，
∴∠MFB=∠CAD，
∴∠BMF=∠BFM，
∴BM=BF，
∴AC=BF，
（3）CD=BC+AD，
延长CE到F，使EF=EC，连接AF，
∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，
∴ΔAEF≅ΔBEC，
∴∠EAF=∠B，AF=BC，
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠EAF+∠BAD=180°，
∴点F,A,D在一条直线上，
∵CE⊥ED，
∴∠DEF=∠DEC=90°，
∴在Rt△DEF和Rt△DEC中，
EF=EC，∠DEF=∠DEC，DE=DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC，
∴FD=CD，
∵FD=AD+AF=AD+BC，
∴CD=BC+AD．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
17．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下思路：
完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．
【答案】（1）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）延长AD于点G使得DG=AD．利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意，则作法为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图②所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，
∠CAD=∠G∠ADC=GDBCD=BD，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
【典例剖析】
【例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______．
（2）求得AD的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN>MN．
【答案】（1）SAS；（2）1
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，证明△BED≌△CNDSAS，得到BE=CN，根据三角形三边关系解答即可．
【详解】
（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠BDEBD=CD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：延长ND至点E，使DE=DN，连接BE、ME，
如图所示：
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．
在△BED和△CND中，
DE=DN∠BDE=∠CDNBD=CD ，
∴△BED≌△CNDSAS，
∴BE=CN，
∵DM⊥DN，DE=DN，
∴ME=MN，
在△BEM中，由三角形的三边关系得：BM+BE>ME，
∴BM+CN>MN．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【变式1.1】．如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）AE=CD，见解析
【解析】
【分析】
（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF，可证得△ABE ≌ △FBD，则AE=FD，再通过证明△FAD ≌ △CAD，可得到FD=CD，从而得到AE=CD即可．
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图，
判断：AE=CD
证明如下：
延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF
在△ABE和△FBD中，
∵AB=FB∠ABE=∠FBDEB=DB
∴△ABE ≌ △FBD
∴AE=FD
∵BF=AB
∴AF=2AB
∵AC=2AB
∴AF=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∵AF=AC∠FAD=∠CADAD=AD
∴△FAD ≌ △CAD
∴FD=CD
又∵AE=FD
∴AE=CD
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式1.2】．阅读理解：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．
【答案】（1）2
【分析】
（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在△ABE中，由三边关系4<2AD<16即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由DE⊥DF，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【详解】
（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
△ABE，
∵AB-BE
∴2
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵DE⊥DF，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【点睛】
本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，
【满分训练】
一、解答题
1．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可．
【详解】
证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF
在△ADC和△FDB中，
BD=CD∠BDF=∠ADCDF=AD
∴△ADC≌△FDB（SAS）
∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．
∵BE＝AC，
∴BF＝BE
∴∠BED＝∠F，
∴∠BED＝∠CAD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
2．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【解析】
【分析】
[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；
[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．
【详解】
解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]
（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，
EF=EA∠DEF=∠CEAED=EC，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，
∠B=∠AFD∠BAD=∠FADAD=AD，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，
即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，
即x的取值范围是1＜x＜4．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用中线加倍证△DEF≌△CEA（SAS），可得DF=AC=BD，∠FDE=∠C，由DC=AC，可得∠ADC=∠CAD进而可证∠ADF=∠ADB.，再证△ADB≌△ADF（SAS）即可．
【详解】
证明：延长AE到F，使EF=AE，连结DF ，
∵E是DC中点，
∴DE=CE ，
∴在△DEF和△CEA中，
DE=CE∠DEF=∠CEAEF=EA，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴DF=AC=BD，∠FDE=∠C，
∵DC=AC，
∴∠ADC=∠CAD，
又∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∠ADF=∠FDE+∠ADC，
∴∠ADF=∠ADB，
在△ADB和△ADF中，
AD=AD∠ADB=∠ADFDB=DF，
∴△ADB≌△ADF（SAS），
∴AB=AF=2AE ．
【点睛】
本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．
4．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②1
【分析】
（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得CE−BC
【详解】
解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵CE−BC
∴1
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．
5．如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．
（1）求证：AB−AC<2AD
【答案】（1）AB−AC<2AD
【分析】
（1）延长AD至E，使AD=DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据三角形的三边关系可得AB−BE
【详解】
（1）证明：如图延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∵AD为△ABC中BC边上的中线，
∴DC=BD，
在△ACD和△EBD中：
DC=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等），
在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB−BE
由（1）可得AB−AC<2AD
∴32
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．
6．（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；
（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
【详解】
证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，
BD=CD∠ADB=∠PDCAD=PD
∴△ABD≌△PCD(SAS)，
∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴AB+AC>2AD；
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，
∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，
BH=CH∠BHA=∠CHQAH=QH
∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，
∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，
∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，
∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，
∴AB+AC>AD+AE；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，
BM=CM∠BMA=∠CMNAM=NM
∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，
∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴AB+AC>AD+AE．
【点睛】
本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
7．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长AD至点E，使ED=AD．由AD为中线可知BD=CD，即易证△ABD≅△ECD(SAS)，得出AB=EC．利用三角形三边关系可知AC+EC>AE，即可证明AC+AB>2AD．
（2）延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，EG．由AD为中线可知BD=CD．即易证△BDE≅△CDG(SAS)，得出BE=CG．由题意可得∠EDF=∠GDF=90°，即易证△EDF≅△GDF(SAS)，得出EF=GF．利用三角形三边关系可知CG+CF>FG，即可证明BE+CF>EF．
【详解】
（1）如图，延长AD至点E，使ED=AD．
∵AD为中线，
∴BD=CD．
∴在△ABD和△ECD中，BD=CD∠ADB=∠EDCAD=ED ，
∴△ABD≅△ECD(SAS)，
∴AB=EC．
∵在△ACE中，AC+EC>AE，
∴AC+AB>2AD．
（2）如图，延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，EG．
∵AD为中线，
∴BD=CD．
∴在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDGED=GD ，
∴△BDE≅△CDG(SAS)，
∴BE=CG．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠GDF=90°，
∴在△EDF和△GDF中，ED=GD∠EDF=∠GDF=90°DF=DF，
∴△EDF≅△GDF(SAS)，
∴EF=GF．
∵在△CFG中，CG+CF>FG，
∴BE+CF>EF．
【点睛】
本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
8．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
【详解】
解：（1）如图1，∵AM⊥BM，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝12∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
9．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
【答案】（1）SAS；1＜BD＜9；（2）2BD＝MN，BD⊥MN，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，由（1）得：△ABD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，AB＝CE，证出∠BCE＝∠MBN，证明△BCE≌△NBM得出BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，则2BD＝MN．延长DB交MN于G，证出∠BGN＝90°，得出BD⊥MN．即可．
【详解】
（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
AD=CD∠ADB=∠CDEBD=ED，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE−BC＜BE＜CE−BC，
∴10−8＜AE＜10＋8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）解：2BD＝MN，BD⊥MN，理由如下：
延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图所示：
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC＋∠MBN＝180°，即∠ABD＋∠CBD＋∠MBN＝180°，
∵∠E＋∠CBD＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，
CE=BM∠BCE=∠MBNBC=NB，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC＋∠NBG＝90°，
∴∠MNB＋∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
10．课堂上，老师出示了这样一个问题：
如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示，解决下面问题：
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．
【答案】（1）1
【分析】
（1）根据已知证明△BDE≌△ADC，进而求得AC=BE，根据三角形三边关系即可求得AD的取值范围；
（2）过点B作BM//FC交FE的延长线于M，证明△ABE≌△ACF，得CF=BE，再证明BM=CE，进而证明△BMG≌△CFG，即可证明BG=CG
【详解】
（1）∵BE//AC
∴∠E=∠EAC
∵∠BDE=∠ADC,BD=CD
∴ △BDE≌△ADC
∴AC=BE=3
∵AB−BE
∴∠2=∠3
∵ AF=AE,AF⊥AE,
∴∠4=∠AEF=45°,
∴∠1=180°−∠AEB−∠AEF=180°−90°−45°=45°,
∵AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC
即∠BAE=∠CAF
∴ △ABE≌△ACF
∴CF=BE，∠AEB=∠AFC=90°
∴∠3=90°−∠4=45°
∵∠AEF=∠3=∠4=45°,AE⊥BD
∴∠2=∠3=∠1=45°
∴BE=BM
∴BM=CF
又∵∠BGM=∠CGF,
∴△BMG≌△CFG
∴BG=CG
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．
【解析】
【分析】
问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；
问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．
【详解】
问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠CDA=∠BDECD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
AD=ED∠CDA=∠BDECD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝12AE，
∴12＜AD＜72；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
AB=EA∠ABN=∠EADBN=AD，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见解析；（3）EF＝2AD，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．
【详解】
（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
{BD=CD∠BDM=∠CDADM=AD，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
{AB=EA∠ABM=∠EAFBM=AF，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
13．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】
（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝12∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
14．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】
（1）①如图1，
延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
BE=CE∠BEF=∠CEDEF=ED ，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
∠F=∠CGF=90°∠BEF=∠CEGBE=CE ，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
∠BAE=∠CDE∠F=∠CGD=90°BF=CG，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
∠BAE=∠CME∠BEA=∠CEMBE=CE，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
15．（1）方法呈现：
如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
16．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，AD是ΔABC的中线，AB=7,AC=5,求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证ΔADC≅ΔMDB，所以BM=AC．接下来，在ΔABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 ；
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F,且AE=EF，求证：AC=BF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE⊥DE，试猜想线段BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）1
【分析】
（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，即可证明ΔADC≅ΔMDB，则可得BM=AC，在ΔABM中，根据三角形三边关系即可得到AM的取值范围，进而得到中线AD的取值范围；
（2）延长AD到点M,使DM=AD，连接BM，由（1）知△ADC≅△MDB，则可得∠M=∠CAD，BM=AC，由AE=EF可知，∠CAD=∠AFE，由角度关系即可推出∠BMF=∠BFM，故BM=BF，即可得到AC=BF；
（3）延长CE到F，使EF=EC，连接AF，即可证明ΔAEF≅ΔBEC，则可得∠EAF=∠B，AF=BC，由AD//BC，以及角度关系即可证明点F,A,D在一条直线上，通过证明Rt△DEF≌Rt△DEC，即可得到FD=CD，进而通过线段的和差关系得到CD=BC+AD．
【详解】
（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，
∵AD是ΔABC的中线，
∴DC=DB，
在ΔADC和ΔMDB中，
AD=MD，∠ADC=∠MDB，DC=DB，
∴ΔADC≅ΔMDB，
∴BM=AC，
在ΔABM中，
AB−BM＜AM＜AB+BM，
∴7−5＜AM＜7+5，即2＜AM＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接BM，
由（1）知△ADC≅△MDB，
∴∠M=∠CAD，BM=AC，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠MFB=∠AFE，
∴∠MFB=∠CAD，
∴∠BMF=∠BFM，
∴BM=BF，
∴AC=BF，
（3）CD=BC+AD，
延长CE到F，使EF=EC，连接AF，
∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，
∴ΔAEF≅ΔBEC，
∴∠EAF=∠B，AF=BC，
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠EAF+∠BAD=180°，
∴点F,A,D在一条直线上，
∵CE⊥ED，
∴∠DEF=∠DEC=90°，
∴在Rt△DEF和Rt△DEC中，
EF=EC，∠DEF=∠DEC，DE=DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC，
∴FD=CD，
∵FD=AD+AF=AD+BC，
∴CD=BC+AD．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
17．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下思路：
完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．
【答案】（1）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）延长AD于点G使得DG=AD．利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意，则作法为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图②所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，
∠CAD=∠G∠ADC=GDBCD=BD，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
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