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第04讲 勾股定理的应用练习
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第04讲勾股定理的应用类型一：勾股定理解决路径问题类型二：勾股定理解决折叠问题类型三：勾股定理解决实际问题类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题【类型一：勾股定理解决路径问题】1．（2023春•分宜县期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【分析】当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．2．（2022秋•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（ ）A．6 B．5 C．13 D．12【分析】过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长，根据角平分线的性质定理可得AD＝DE，再由勾股定理求出AD的长，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AB＝12，BD＝13，∴，∴DE＝5，即PD的最小值是5．故选：B．3．（2023秋•北仑区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】根据勾股定理得到AB＝10，根据直角三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为2．【解答】解：如图，连接CM、CN，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣3＝2．故选：A．4．（2022秋•绵阳期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面积为12π，点M，N分别在⊙O、线段AB上运动，则MN长度的最小值等于（ ）A． B． C． D．【分析】过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再由等面积法确定，由圆的面积得出，结合图形即可得出结果．【解答】解：过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，∴AB＝2BO＝12，∴，∴，解得：，∵⊙O的面积为12π，设半径为r，∴πr2＝12π，，即MN长度的最小值为，故选：C．5．（2023春•廊坊期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）A．5 B．6 C．4 D．4.8【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，∴BP＝＝＝4.8．故选：D．6．（2023秋•桐柏县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．【分析】连接BP，利用等腰三角形的对称性得BP＝PC，则PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，当BQ⊥AC时，BQ的值最小，利用勾股定理列方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．7．（2023秋•吴中区期中）如图，一支铅笔放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若铅笔长为18cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度h的最小值是 3cm ．【分析】由勾股定理求出AC＝15cm，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意可得：AB＝12cm，BC＝9cm，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝15（cm），∴这只铅笔露在笔筒外面的长度h的最小值是：18﹣15＝3（cm），故答案为：3cm．8．（2023秋•大冶市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 2 ．【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．【类型二：勾股定理解决折叠问题】9．（2023春•息县月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．10．（2023春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）A． B．3 C． D．【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解．【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，即x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，故选：D．11．（2022秋•西峡县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了D′位置，AD′与BC相交于点E．则BE的长等于（ ）A． B． C． D．【分析】设BE＝x cm，则EC＝（4﹣x）cm，根据题意可证得Rt△ABE≌Rt△CED′，可得BE＝ED′＝x cm，根据EC2＝ED′2+CD′2可得到关于x的方程，求解即可得到答案．【解答】解：设BE＝x cm，则EC＝（4﹣x）cm．根据图形折叠的性质可知CD＝CD′，∠D＝∠D′．∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD＝3cm，∠B＝∠D＝90°．∴AB＝CD′＝3cm，∠B＝∠D′＝90°．在△ABE和△CED′中∴△ABE≌△CED′（AAS）．∴BE＝ED′＝x cm．在Rt△CED′中EC2＝ED′2+CD′2，即（4﹣x）2＝x2+32．解得．∴cm．故选：A．12．（2023秋•九台区期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为（ ）A． B． C．3 D．【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求CN的长．【解答】解：∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN＝CN，∴BN＝BC﹣CN＝6﹣DN，在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，∴DN2＝（6﹣DN）2+4，∴DN＝，∴CN＝DN＝，故选：D．13．（2022秋•东坡区期末）如图，将长方形纸片ABCD的边沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，若AB＝5，AD＝13，则EF的长为（ ）A． B． C．1 D．【分析】先由长方形的性质得到BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，再由折叠的性质得到AF＝AD＝13，EF＝DE，利用勾股定理求出BF＝12，则CF＝1，设EF＝DE＝x，则CE＝CD﹣DE＝5﹣x，利用勾股定理建立方程x2＝12+（5﹣x）2，解方程即可得到答案．【解答】解：由长方形的性质可得BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，由折叠的性质可得AF＝AD＝13，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理得，∴CF＝BC﹣BF＝1，设EF＝DE＝x，则CE＝CD﹣DE＝5﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＝CE2+CF2，∴x2＝12+（5﹣x）2，解得，∴，故选：B．14．（2023秋•银川期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．15．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．（1）请你直接写出点A的坐标；（2）求FC，AE的长；（3）求四边形EOFD的面积．【分析】（1）证明四边形AOCD是矩形，再结合D的坐标即可得出结果；（2）根据折叠的性质得出DF的长，再根据勾股定理求出CF的长，即可得出OF的长，设AE＝x，在Rt△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可；（3）根据折叠的性质可知，四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∵D的坐标为（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．∴DF＝AD＝15，∴CF＝＝12，∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE，∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED＝＝＝．【类型三：勾股定理解决实际问题】16．（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：设大树在折断之前的高是x m，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），∴大树在折断之前的高是18m；故选：B．17．（2022秋•古县期末）如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（ ）A．80m B．60m C．50m D．40m【分析】根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，∴AC＝＝＝80（m），∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），∴池塘的宽度DE为50米．故选：C．18．（2022秋•万荣县期末）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）A．7km B．6km C．5km D．2km【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，∴AB＝＝15（km），∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），∴从A村到B村比原来减少的路程为6km．故选：B．19．（2023秋•尤溪县期中）如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑动了8m至D，那么梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了8m吗？【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理，求出EC即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：AB＝25，BC＝7，∴AC＝＝24（m），答：这个梯子的顶端距地面有24m；（2）梯子的顶端A沿墙垂直不是下滑了8m，∵BC＝7，BD＝8，∴CD＝15m，∴CE＝＝20（m），∴AE＝AC﹣CE＝24﹣20＝4（m），∴梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了4m．20．（2023秋•左权县期中）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题：（1）求AE的长；（2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．【分析】（1）设AE＝x m，则BE＝AE＝x m，ED＝（1.6﹣x）m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求出AB与CD的长，从而得出BC的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，进而得出结论．【解答】解：（1）设AE＝x m，则BE＝AE＝x m，ED＝（1.6﹣x）m，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2，1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得．∴AE的长为；（2）帐篷符合要求．理由如下：在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m，∴，在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m，∴，∴BC＝BD+CD＝2.5m，∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，∴AB2+AC2＝BC2．∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．∴帐篷符合要求．21．（2023秋•二道区期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD；（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，由勾股定理得：AC＝＝＝8，则AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，则此时风筝线的长为：＝25（米），25﹣17＝8（米），答：他应该再放出8米线．【类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题】22．（2023秋•新吴区期中）如图，点A是射线BC外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（ ）秒时，△ABP为直角三角形．A． B． C．2或 D．2或 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由勾股定理求得BH＝4cm，当∠APB＝90°时，此时点P与点H重合，求出t＝2；当∠BAP＝90°时，HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得AP2＝BP2﹣AB2＝AH2+HP2，列出方程，解方程即可．【解答】解：如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵点A到BC的距离为3cm，∴AH＝3cm，在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH＝＝＝4（cm），分两种情况：①当∠APB＝90°时，此时点P与点H重合，由题意得：2t＝4，解得：t＝2；②如图2，当∠BAP＝90°时，∵AB＝5cm，BP＝2t cm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝32+（2t﹣4）2，∴（2t）2﹣25＝32+（2t﹣4）2，解得：t＝，综上所述，当t为（2或）秒时，△ABP为直角三角形，故选：D．23．（2022秋•泌阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ 25或16 s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2t cm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．24．（2023秋•乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒．当t为 6或13或12或10.8 时，△ACP是等腰三角形．【分析】分CA＝CP、PA＝PC、AC＝AP、AC＝CP四种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10，当CA＝CP时，如图：∴CP＝6cm，∴t＝6÷1＝6；当PA＝PC时，如图：∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC+∠B＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC∴PA＝PC＝PB＝AB＝5cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝13；当AC＝AP时，如图：AP＝6cm，AB＝10cm，∴PB＝AB﹣AP＝4cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝12；当AC＝CP时，如图：作CD⊥AB于点D△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×6×8＝×10×CD，解得，CD＝4.8，在Rt△ACD中，AD＝＝3.6，∴AP＝2AD＝7.2，∴BP＝AB﹣AP＝2.8，∴t＝（CB+BP）÷1＝10.8；综上所述，当t为6或13或12或10.8时，△ACP是等腰三角形．25．（2023秋•阜宁县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝ 2s或s 时，△ABP为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．26．（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 或19 ．【分析】设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t cm，PC＝（8﹣t）cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理得到：AC＝＝＝8（cm）当点P在AC上时，设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t cm，PC＝（8﹣t）cm，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；当点P在AB上时，此时AC+BC+BP＝8+6+5＝19cm，∴当t＝19时，PA＝PB；故答案为：或19．27．（2023春•陈仓区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】利用勾股定理求解BC的长，再分3中情况讨论：当AP＝BP时，当AB＝BP时，当AB＝AP时，分别计算可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．28．（2023春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．【分析】（1）依题意，AP＝t，利用勾股定理即可求得t的值；（2）分情况讨论：AB＝BP时，直接可得t的值；BP＝AP时，在Rt△APC中，利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴，∴CP＝t﹣4，由∠ACP＝∠BAP＝90°，可得AP2＝t2﹣25＝（t﹣4）2+9，解得，所以t的值为；（2）当AB＝BP时，t＝5．当BP＝AP时，∴CP＝4﹣t，在Rt△APC中，可得9+（4﹣t）2＝t2，解得．综上所述，t的值为5或． 测量示意图 测量数据边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
第04讲勾股定理的应用类型一：勾股定理解决路径问题类型二：勾股定理解决折叠问题类型三：勾股定理解决实际问题类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题【类型一：勾股定理解决路径问题】1．（2023春•分宜县期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【分析】当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．2．（2022秋•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（ ）A．6 B．5 C．13 D．12【分析】过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长，根据角平分线的性质定理可得AD＝DE，再由勾股定理求出AD的长，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AB＝12，BD＝13，∴，∴DE＝5，即PD的最小值是5．故选：B．3．（2023秋•北仑区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】根据勾股定理得到AB＝10，根据直角三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为2．【解答】解：如图，连接CM、CN，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣3＝2．故选：A．4．（2022秋•绵阳期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面积为12π，点M，N分别在⊙O、线段AB上运动，则MN长度的最小值等于（ ）A． B． C． D．【分析】过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再由等面积法确定，由圆的面积得出，结合图形即可得出结果．【解答】解：过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，∴AB＝2BO＝12，∴，∴，解得：，∵⊙O的面积为12π，设半径为r，∴πr2＝12π，，即MN长度的最小值为，故选：C．5．（2023春•廊坊期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）A．5 B．6 C．4 D．4.8【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，∴BP＝＝＝4.8．故选：D．6．（2023秋•桐柏县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．【分析】连接BP，利用等腰三角形的对称性得BP＝PC，则PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，当BQ⊥AC时，BQ的值最小，利用勾股定理列方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．7．（2023秋•吴中区期中）如图，一支铅笔放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若铅笔长为18cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度h的最小值是 3cm ．【分析】由勾股定理求出AC＝15cm，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意可得：AB＝12cm，BC＝9cm，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝15（cm），∴这只铅笔露在笔筒外面的长度h的最小值是：18﹣15＝3（cm），故答案为：3cm．8．（2023秋•大冶市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 2 ．【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．【类型二：勾股定理解决折叠问题】9．（2023春•息县月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．10．（2023春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）A． B．3 C． D．【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解．【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，即x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，故选：D．11．（2022秋•西峡县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了D′位置，AD′与BC相交于点E．则BE的长等于（ ）A． B． C． D．【分析】设BE＝x cm，则EC＝（4﹣x）cm，根据题意可证得Rt△ABE≌Rt△CED′，可得BE＝ED′＝x cm，根据EC2＝ED′2+CD′2可得到关于x的方程，求解即可得到答案．【解答】解：设BE＝x cm，则EC＝（4﹣x）cm．根据图形折叠的性质可知CD＝CD′，∠D＝∠D′．∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD＝3cm，∠B＝∠D＝90°．∴AB＝CD′＝3cm，∠B＝∠D′＝90°．在△ABE和△CED′中∴△ABE≌△CED′（AAS）．∴BE＝ED′＝x cm．在Rt△CED′中EC2＝ED′2+CD′2，即（4﹣x）2＝x2+32．解得．∴cm．故选：A．12．（2023秋•九台区期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为（ ）A． B． C．3 D．【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求CN的长．【解答】解：∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN＝CN，∴BN＝BC﹣CN＝6﹣DN，在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，∴DN2＝（6﹣DN）2+4，∴DN＝，∴CN＝DN＝，故选：D．13．（2022秋•东坡区期末）如图，将长方形纸片ABCD的边沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，若AB＝5，AD＝13，则EF的长为（ ）A． B． C．1 D．【分析】先由长方形的性质得到BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，再由折叠的性质得到AF＝AD＝13，EF＝DE，利用勾股定理求出BF＝12，则CF＝1，设EF＝DE＝x，则CE＝CD﹣DE＝5﹣x，利用勾股定理建立方程x2＝12+（5﹣x）2，解方程即可得到答案．【解答】解：由长方形的性质可得BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，由折叠的性质可得AF＝AD＝13，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理得，∴CF＝BC﹣BF＝1，设EF＝DE＝x，则CE＝CD﹣DE＝5﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＝CE2+CF2，∴x2＝12+（5﹣x）2，解得，∴，故选：B．14．（2023秋•银川期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．15．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．（1）请你直接写出点A的坐标；（2）求FC，AE的长；（3）求四边形EOFD的面积．【分析】（1）证明四边形AOCD是矩形，再结合D的坐标即可得出结果；（2）根据折叠的性质得出DF的长，再根据勾股定理求出CF的长，即可得出OF的长，设AE＝x，在Rt△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可；（3）根据折叠的性质可知，四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∵D的坐标为（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．∴DF＝AD＝15，∴CF＝＝12，∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE，∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED＝＝＝．【类型三：勾股定理解决实际问题】16．（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：设大树在折断之前的高是x m，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），∴大树在折断之前的高是18m；故选：B．17．（2022秋•古县期末）如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（ ）A．80m B．60m C．50m D．40m【分析】根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，∴AC＝＝＝80（m），∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），∴池塘的宽度DE为50米．故选：C．18．（2022秋•万荣县期末）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）A．7km B．6km C．5km D．2km【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，∴AB＝＝15（km），∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），∴从A村到B村比原来减少的路程为6km．故选：B．19．（2023秋•尤溪县期中）如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑动了8m至D，那么梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了8m吗？【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理，求出EC即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：AB＝25，BC＝7，∴AC＝＝24（m），答：这个梯子的顶端距地面有24m；（2）梯子的顶端A沿墙垂直不是下滑了8m，∵BC＝7，BD＝8，∴CD＝15m，∴CE＝＝20（m），∴AE＝AC﹣CE＝24﹣20＝4（m），∴梯子的顶端A沿墙垂直也下滑了4m．20．（2023秋•左权县期中）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题：（1）求AE的长；（2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．【分析】（1）设AE＝x m，则BE＝AE＝x m，ED＝（1.6﹣x）m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求出AB与CD的长，从而得出BC的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，进而得出结论．【解答】解：（1）设AE＝x m，则BE＝AE＝x m，ED＝（1.6﹣x）m，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2，1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得．∴AE的长为；（2）帐篷符合要求．理由如下：在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m，∴，在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m，∴，∴BC＝BD+CD＝2.5m，∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，∴AB2+AC2＝BC2．∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．∴帐篷符合要求．21．（2023秋•二道区期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD；（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，由勾股定理得：AC＝＝＝8，则AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，则此时风筝线的长为：＝25（米），25﹣17＝8（米），答：他应该再放出8米线．【类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题】22．（2023秋•新吴区期中）如图，点A是射线BC外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（ ）秒时，△ABP为直角三角形．A． B． C．2或 D．2或 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由勾股定理求得BH＝4cm，当∠APB＝90°时，此时点P与点H重合，求出t＝2；当∠BAP＝90°时，HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得AP2＝BP2﹣AB2＝AH2+HP2，列出方程，解方程即可．【解答】解：如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵点A到BC的距离为3cm，∴AH＝3cm，在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH＝＝＝4（cm），分两种情况：①当∠APB＝90°时，此时点P与点H重合，由题意得：2t＝4，解得：t＝2；②如图2，当∠BAP＝90°时，∵AB＝5cm，BP＝2t cm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝32+（2t﹣4）2，∴（2t）2﹣25＝32+（2t﹣4）2，解得：t＝，综上所述，当t为（2或）秒时，△ABP为直角三角形，故选：D．23．（2022秋•泌阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ 25或16 s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2t cm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．24．（2023秋•乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒．当t为 6或13或12或10.8 时，△ACP是等腰三角形．【分析】分CA＝CP、PA＝PC、AC＝AP、AC＝CP四种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10，当CA＝CP时，如图：∴CP＝6cm，∴t＝6÷1＝6；当PA＝PC时，如图：∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC+∠B＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC∴PA＝PC＝PB＝AB＝5cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝13；当AC＝AP时，如图：AP＝6cm，AB＝10cm，∴PB＝AB﹣AP＝4cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝12；当AC＝CP时，如图：作CD⊥AB于点D△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×6×8＝×10×CD，解得，CD＝4.8，在Rt△ACD中，AD＝＝3.6，∴AP＝2AD＝7.2，∴BP＝AB﹣AP＝2.8，∴t＝（CB+BP）÷1＝10.8；综上所述，当t为6或13或12或10.8时，△ACP是等腰三角形．25．（2023秋•阜宁县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝ 2s或s 时，△ABP为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．26．（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 或19 ．【分析】设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t cm，PC＝（8﹣t）cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理得到：AC＝＝＝8（cm）当点P在AC上时，设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t cm，PC＝（8﹣t）cm，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；当点P在AB上时，此时AC+BC+BP＝8+6+5＝19cm，∴当t＝19时，PA＝PB；故答案为：或19．27．（2023春•陈仓区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】利用勾股定理求解BC的长，再分3中情况讨论：当AP＝BP时，当AB＝BP时，当AB＝AP时，分别计算可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．28．（2023春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．【分析】（1）依题意，AP＝t，利用勾股定理即可求得t的值；（2）分情况讨论：AB＝BP时，直接可得t的值；BP＝AP时，在Rt△APC中，利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴，∴CP＝t﹣4，由∠ACP＝∠BAP＝90°，可得AP2＝t2﹣25＝（t﹣4）2+9，解得，所以t的值为；（2）当AB＝BP时，t＝5．当BP＝AP时，∴CP＝4﹣t，在Rt△APC中，可得9+（4﹣t）2＝t2，解得．综上所述，t的值为5或． 测量示意图 测量数据边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
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