初中数学苏科版八年级上册4.3 实数当堂达标检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册4.3 实数当堂达标检测题，文件包含专题48实数的新定义问题专项提升训练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典原卷版苏科版docx、专题48实数的新定义问题专项提升训练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022·江苏·八年级单元测试）一般地，如果xn=a（n为正整数，且n>1），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（ ）
A．81的4次方根是3B．当n为奇数时，−5的n次方根随n的增大而增大
C．32的5次方根是±2D．当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大
【答案】B
【分析】利用方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵81的4次方根是±3，
∴A选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，-5的n次方根随n的增大而增大，
∴B选项的结论正确；
∵32的5次方根是2，
∴C选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，5的n次方根n的增大而减小，
∴D选项的结论不正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义的方根的意义与性质，明确一个正数的偶次方根由两个是解题的关键．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（ ）个．
①3*2＝7．
②2⊕（﹣1）＝﹣5．
③（13*25）⊕（72⊕14）＝﹣29125．
④若a*b＝b*a，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．
【详解】①、3∗2＝3×3-2=7，故计算正确，符合题意；
②、2⊕（−1）=（﹣1）-22=−5，故计算正确，符合题意；
③、(13∗25)⊕(72⊕14)=(3×13−25)⊕[14−(72)2]=35⊕(−12)=(−12)−(35)2=−30925，故计算错误，不符合题意；
④、a∗b=3a−b，b∗a=3b−a，
∵a*b＝b*a，
3a−b=3b−a，
解得：a=b，
故计算正确，符合题意．
综上所述，正确的有：①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．
3．（2022·江苏·八年级单元测试）对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，如4=4，3=1，−2.5=−3．现对82进行如下操作：82→第一次8282=9→第二次99=3→第三次33=1，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据程序图一步一步计算即可得出答案．
【详解】解：第一次，[625625]＝[62525]＝[25]＝25，
第二次，[2525]＝[255]＝[5]＝5，
第三次，[55]＝[5]＝2，
第四次，[22]＝[2]＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算、算术平方根、无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
4．（2021·江苏南通·八年级期中）定义关于m，n的新运算：fm+n=fm⋅fn，其中m，n为正整数．例如，已知f5=2，则f10=f5+5=2×2=4．若f3=k(k≠0)，则f3n⋅f2022的结果为（ ）
A．kn+674B．674knC．kn+674D．k3n+2022
【答案】C
【分析】本题为代数式的规律探究，已知f3=k(k≠0)，定义的新运算可得f3×2=k2，f3×3=k3，以此类推可得f3n=kn，根据这个规律可以求得最后的结果．
【详解】解：已知f3=k(k≠0)，
∴f3×2=f3+3=f3⋅f3=k2，
f3×3=f3+3+3=f3+3⋅f3=f3⋅f3⋅f3=k3，
……
f3n=kn，
∴f3n⋅f2022=f3n+2022=f3n+674=kn+674，
∴故选：C．
【点睛】本题考查代数式的规律探究，根据定义的新运算找到运算规律是解题关键．
5．（2021·江苏镇江·八年级期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=2a−b2，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3=21−32=−14，则方程x⊗−1=6x−1−1的解是（ ）
A．x=4B．x=5C．x=6D．x=7
【答案】B
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】根据题中的新定义化简得：2x−1=6x−1−1，
去分母得：2=6−x+1，解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．（2020·江苏·南通田家炳中学八年级阶段练习）对任意两个正实数a，b，定义新运算a★b为：若a≥b，则a★b=ab；若a①a★b=b★a；②a★bb★a=1；③a★b +1a★b<2
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】A
【分析】①根据新运算a★b的运算方法，分类讨论：a≥b，a②由①，推得a★b=b★a，所以a★bb★a=1不一定成立；
③应用放缩法，判断出a★b+1a★b与2的关系即可．
【详解】解：①a≥b时，
a★b=ab，
b★a=ab，
∴ a★b=b★a；
aa★b=ba，
b★a=ba，
∴ a★b=b★a；
∴①符合题意．
②由①，可得：a★b=b★a，
当a≥b时，
∴ a★bb★a=a★ba★b=ab·ab=a2b2=ab，
∴ a★bb★a不一定等于1，
当a∴ a★bb★a=a★ba★b=ba·ba=b2a2=ba，
∴ a★bb★a不一定等于1，
∴ a★bb★a=1不一定成立，
∴②不符合题意．
③当a≥b时，a>0，b>0，
∴ ab≥1，
∴ a★b+1a★b=ab+1ab=ab+ba=abb+aba=a+babab≥2ab×abab≥2，
当a∴ a★b+1a★b=ba+1ba=ba+ab=aba+abb=a+babab≥2ab×abab≥2，
∴ a★b+1a★b<2不成立，
∴③不符合题意，
∴说法中正确的有1个：①．
故选：A．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
7．（2020·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程x2−x+14m=0(m<0)的两根，则b★b-a★a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．与m有关
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2−x＋14m＝0（m＜0）的两根，
∴a＋b＝1，
∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
8．（2019·江苏·射阳县第二初级中学八年级期末）若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件：a1=2，a2=−a1+5，a3=−a2+5，…，a2019=−a2018+5，则a1+a2+a3+...+a2019（ ）
A．-5047B．-5045C．-5040D．-5051
【答案】A
【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按-2，-3依次循环，按此规律即可得出a1+a2+a3+...+a2019的值，
【详解】解：依题意，得：a1=2，
a2=−2+5=−7，
a3=−−7+5=−2，
a4=−−2+5=−3，
a5=−−3+5=−2，
a6=−−2+5=−3，
……
由上可知，这2019个数a1，a2，a3，...，a2019从第三个数开始按−2，−3依次循环，
故这2019个数中有1个2，1个−7，1009个−2，1008个−3，
∴a1+a2+a3+...+a2019=2−7−2×1009−3×1008=−5047，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，找到规律是解题的关键.
二、填空题
9．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）对于正数x，规定f(x)=11+x，例如：f(4)=11+4=15，f(12)=11+12=23，则f(2022)+f(2021)+…+f2+f1+f12+…+f12021+f12022=________．
【答案】202112
【分析】根据新定义的运算可得f（n）＋f（1n）=1，从而有f(n)+f(n−1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(1n−1)+f(1n)=n−1+12=n−12，于是代入n=2022即可求解．
【详解】寻找规律：
当x=1时，f（1）=12；
当x=2时，f（2）=13，当x=12时，f（12）=23 ，f（2）＋f（12）=1；
当x=3时，f（3）=14，当x=13时，f（13）=34 ，f（3）＋f（13）=1；
······
当x= n时，f（n）=1n+1，当x=1n时，f（1n）=nn+1 ，f（n）＋f（1n）=1．
∴f(n)+f(n−1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(1n−1)+f(1n)=n−1+12=n−12．
∴当x= 2022时，f(2022)+f(2021)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(12021)+f(12022)，
=2022−12，
=202112，
故答案为：202112．
【点睛】本题考查列代数式以及代数式求值，理解新定义的运算是解决问题的关键．
10．（2021·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x⩽y时，x★y=x2；x>y时，x★y=y．则当z=−3时，代数式(−2★z)·z−(−4★z)的值为__．
【答案】−7
【分析】由新定义运算法则可得(−2)★(−3)=(−3), (−4)★(−3)=(−4)2, 再计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
当z=−3时，
原式=(−2)★(−3)×(−3)−(−4)★(−3)
=(−3)×(−3)−(−4)2
=9−16
=−7，
故答案为：−7．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，含乘方的有理数的混合运算，掌握“新定义的运算法则”是解本题的关键．
11．（2022·江苏·八年级）定义一种新的运算：a⊗b=3a−5ba>b3aba≤b．计算：5⊗1⊗8=__________．
【答案】5
【分析】根据公式求出1⊗8的值，再代入5⊗1⊗8，利用公式求出答案．
【详解】解：∵1<8，
∴1⊗8=31×8=2，
5⊗1⊗8= 5⊗2=3×5−5×2=5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了新定义公式，正确理解公式的计算方法及公式中字母对应的数是解题的关键．
12．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1−14，计算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【答案】2006
【分析】首先根据fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1−11+x，分别把f(12006)，f(12005)以及f(12)表示出来，其余的f1,f2,用fx=x1+x表示即可求解．
【详解】∵fx=11+x
∴f1x=11+1x=11+xx=x1+x=1−11+x
原式=1-12007+1-12006+1-+1-13+12+12+13++12005+12006+12007
=−12007+12007+−12006+12006+−12005+12005++−13+13+12+12+2005
=2006
故答案是：2006．
【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出f1x=1−11+x是求解本题的关键．
13．（2020·江苏连云港·八年级阶段练习）我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若3+x=6，则x的取值范围是________．
【答案】9≤x＜16
【分析】根据[m]表示不大于m的最大整数，可得6≤3+x＜7，解不等式即可求解．
【详解】解：∵[3+x]＝6，
∴6≤3+x＜7，
解得9≤x＜16．
故x的取值范围是9≤x＜16．
故答案为： 9≤x＜16．
【点睛】本题结合新定义考查估算无理数的大小的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．
14．（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算a，b，若ac=b，则a，b=c，例2，8=3，3，81=4．若3，5+3，7=3，x，则x的值为______．
【答案】35
【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知3，5+3，7=m+n，即得出m+n=(3，x)，从而再根据新定义运算的法则得出3m+n=x，最后根据同底数幂乘法的逆运算计算即可．
【详解】设3m=5，3n=7，则3，5+3，7=m+n．
∴m+n=(3，x)，
∴3m+n=x．
∵3m+n=3m×3n=5×7=35，
∴x=35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．
15．（2022·全国·八年级专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空：
（1）若f（1）＝23，则f（2）＝_____；
（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝_____（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
【答案】 49 k2022+n
【分析】（1）将f(2)变形为f(1+1)，再根据定义新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)计算即可求解；
（2）根据f(1)=k（k≠0），以及定义新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)将原式变形为kn·k2022，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】解：（1）∵f(1)=23，f(m+n)=f(m)·f(n)，
∴f(2)=f(1)·f(1)=23×23=49；
（2）∵f(1)=k，f(m+n)=f(m)·f(n)，
∴f(n)·f(2022)=kn·k2022=k2022+n．
故答案为：（1）49；（2）k2022+n．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
16．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（14x+1）=2，则实数x的取值范围是___________．
【答案】2≤x<6##6>x≥2
【分析】根据题意可得：2-0.5≤14x+1＜2+0.5，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
2-0.5≤14x+1＜2+0.5，
即：14x+1≥1.5①14x+1<2.5②，
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜6，
∴原不等式组的解集为：2≤x＜6．
故答案为：2≤x＜6．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题
17．（2020·江苏·建新中学八年级阶段练习）对于正数x，规定：fx=xx+1．例如：f1=11+1=12，f2=22+1=23，f12=1212+1=13．
(1)求值：f3+f13=_______；f4+f14=_______；
(2)猜想：fx+f1x=_______，并证明你的结论；
(3)求f12021+f12020+⋯+f12+f1+f2+⋯+f2020+f2021的值．
【答案】(1)1，1
(2)1
(3)202012
【分析】（1）分别算出f（3），f(13)，f（4），f(14)的值，再求和即可；
（2）将1x代入所给式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式f(x)=xx+1发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的12，最后再求和即可．
（1）
解：∵f（3）=33+1=34；f(13)=1313+1=14；
∴ f(3)+f(13)=34+14=1；
∵f（4）=44+1=45；f(14)=1414+1=15；
∴ f(4)+f(14)=45+15=1；
故答案为：1；1；
（2）
fx+f1x=1
证明：∵f(1x)=1x1x+1=1x+1；
∴ f(x)+f(1x)=xx+1+1x+1=1；
故答案为：1；
（3）
f(12021)+f(12020)+⋯f(12)+f(1)+f(2)+⋯f(2020)+f(2021)
=[f(2021)]+f(12021)+f(2020)+f(12020)+……+f（2）+f(12)]+f（1）
=2020+12
=202012．
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
18．（2022·江苏扬州·八年级期末）对实数a，b，定义：a◆b=a2b−ab+b，如：3◆2=32×2−3×2+2=14．
(1)求−3◆2的值；
(2)若2◆m<−6，试化简：m+22+m2．
【答案】(1)132
(2)−2m−2
【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据2◆m<−6求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．
（1）
解：原式=−32×2−−3×2+2
=92+32+2
=132；
（2）
解：∵2◆m<−6，
∴22m−2m+m＜−6，解
得m<−2
∴原式=−m−2+−m
=−2m−2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．
19．（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记Am=ab．例如：29=22+52，29就是一个“平方和数”，则A29=2×5=10．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A45的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且Ak=k−92，求k的值；
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【答案】(1)45是“平方和数”， A45=18
(2)k的值为：17或29或45
(3)证明见解析
【分析】（1）把45写成两个正整数的平方和，再根据Am=ab求出A45即可；
（2）设k=a2+b2，则Ak=ab，根据Ak=k−92，得a、b的方程，求得a与b得关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可；
（3）根据题意设m=a2+b2，n=c2+d2，即可表达出mn的式子，根据完全平方公式对mn的式子进行变换即可证明．
【详解】（1）45是“平方和数”，
∵45=32+62，
∴A45=3×6=18；
（2）设k=a2+b2，则Ak=ab，
∵Ak=k−92，
∴ab=a2+b2−92
2ab=a2+b2−9
a2−2ab+b2=9
a−b2=9
∴a−b=±3，即a=b+3或b=a+3，
∵a、b为正整数且k是一个不超过50的“平方和数”，
∴当a=1，b=4或a=4，b=1时，k=17，
当a=2，b=5或a=5，b=2时，k=29，
当a=3，b=6或a=6，b=3时，k=45，
当a=4，b=7或a=7，b=4时，k=65（不合题意，舍去），
综上所述，k的值为：17或29或45；
（3）设m=a2+b2，n=c2+d2，
∴mn=a2+b2c2+d2
=ac2+ad2+bc2+bd2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2+a2d2−2abcd
=ac+bd2+ad−bc2
∵ac+bd，ad−bc均为整数，
∴mn也是“广义平方和数”．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式和新定义运算，解决本题的关键是根据新定义列出相关的式子．
20．（2022·四川·安岳县兴隆初级中学八年级阶段练习）阅读材料：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi(a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
(2+i)+(3−4i)=(2+3)+(1−4)i=5−3i；(3+i)i=3i+i2=3i−1．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1−2i．
根据材料回答：
(1)填空：i3=______，i4=________；
(2)求(2+i)(2+i)的共轭复数；
(3)已知(a+i)(b+i)=1+3i，求a2+b2(i2+i3+i4…+i2020)的值．
【答案】(1)−i，1
(2)3−4i
(3)4−i或1−4i
【分析】（1）根据i2=−1，则i3=i2·i，i4=i2·i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为−1计算，再根据共轭复数的定义即可求解；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a，b的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵i2=−1，
∴i3=i2·i=−1·i=−i，
i4=i2·i2=−1×(−1)=1；
故答案为：−i，1．
（2）(2+i)2=i2+4i+4=−1+4i+4=3+4i，
故(2+i)2的共轭复数是3−4i；
（3）∵(a+i)(b+i)=ab−1+(a+b)i=1+3i，
∴ab−1=1，a+b=3，
解得a=1，b=2或a=2，b=1，
当a=1，b=2时，a2+b2(i2+i3+i4…+i2020)=1+4(−1−i+1+i…+1+i−1−i+1)=1−4i；
当a=2，b=1时，a2+b2(i2+i3+i4…+i2020)=4+1(−1−i+1+i…+1+i−1−i+1)=4−i．
故a2+b2(i2+i3+i4…+i2020)的值为4−i或者1−4i．
【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移．
21．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b：如果ac=b，那么a,b=c．
例如：因为23=8，所以2,8=3．
(1)根据上述规定，填空：
3,9=_________，−12,116=_________，−2,−32=_________．
(2)令2,6=x，2,7=y，2,42=z，试说明下列等式成立的理由：2,6+2,7=2,42．
【答案】(1)2，4，5
(2)证明见解析
【分析】（1）根据有理数的乘方和负整数指数幂及新定义计算；
（2）根据题意得：2x=6，2y=7，2z=8，根据6×7=42列出等式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵32=9，−124=116，−25=−32，
∴3,9=2，−12,116=4，−2,−32=5，
故答案为2，4，5．
（2）证明：∵2,6=x，2,7=y，2,42=z，
∴2x=6，2y=7，2z=42，
∵6×7=42，
∴2x·2y=2z，
即2x+y=2z，
∴x+y=z，
∴2,6+2,7=2,42．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘法，负整数指数幂，能够正确运算新定义是解题的关键．
22．（2022·全国·八年级专题练习）如果xn=y，那么我们规定x,y=n．例如：因为32=9，所以3,9=2．
(1)-2,16=________；若2,y=5，则y=________；
(2)已知4,12=a，4,5=b，4,y=c，若a+b=c，求y的值；
(3)若5,10=a，2,10=b，令t=aba+b．
①求25a8b的值；
②求t的值．
【答案】(1)4；32
(2)y=60
(3)①110；②1
【分析】（1）根据新定义即可得到；
（2）根据新定义得到4a=12，4b=5，44=y，根据a+b=c得到关于y的方程，解出即可；
（3）根据新定义得到5a=10，2b=10 ，即可判断．
【详解】（1）解：∵-24=16，
∴-2,16=4；
∵25=32，
∴y=32，
故答案为：4，32；
（2）解：∵4,12=a，4,5=b，4,y=c，
∴4a=12 ，4b=5，4c=y，
∴4a×4b=4a+b=12×5=60，
∵a+b=c，
∴4a+b=4c=60=y，
∴y=60；
（3）解：∵5,10=a，2,10=b，
∴5a=10，2b=10，
①25a8b=52a23b=52a23b=5a22b3=102103=110；
②∵5ab=5ab=10b ，5a+b=5a⋅5b=10⋅5b，∴5ab5a+b=10b10⋅5b=110⋅10b5b=110⋅105b=110⋅2b=110×10=1，
∴5ab=5a+b，
∴ab=a+b，
∴t=aba+b=1．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方是解题的关键．
23．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2−i+2×i−i2=2+(−1+2)i+1=3+i；
根据以上伯息，完成下列问题：
(1)填空；i3= ；2i4= ；
(2)计算：①（3+i）（3﹣i）；
②(3+i)2；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi．（x，y为实数），求x，y的值；
(4)试一试：请你参照i2=−1这一知识点，将m2+16（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】(1)−i，2
(2)①10，②8+6i
(3)x=5，y=−3
(4)(m+4i)(m−4i)
【分析】（1）直接将i2=−1代入式子计算即可；
（2）直接根据平方差公式和完全平方公式进行计算，然后将i2=−1代入即可；
（3）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，分别令等号两边的复数的实部和虚部相等即可得出答案；
（4）利用平方差公式进行求解即可．
（1）
解：i3=i2×i=−1×i=−i，
2i4=2×i2×i2=2×(−1)×(−1)=2，
故答案为：−i，2；
（2）
①（3+i）（3﹣i）
=32−i2
=9+1
=10；
②(3+i)2
=32+6i+i2
=9+6i−1
=8+6i；
（3）
∵（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi，
∴x+3y=1−x，3=−y，
解得：x=5，y=−3；
（4）
m2+16=(m+4i)(m−4i)．
【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式，是信息给予题，解题的步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
24．（2021·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果mx+n=0，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0．
(1)如果(a−2)2+b+3=0，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
(2)如果(2+2)a−(1−2)b=9，其中a、b为有理数，求a−2b的平方根．
【答案】(1)2；−3
(2)±3
【分析】（1）由a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，再根据题意可知a-2=0且b+3=0，计算得出答案；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0得出二元一次方程组，求出解即可．
（1）
由题意得：
a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，
故答案为：2；−3；
（2）
∵(2+2)a−(1−2)b=9，
∴2a+2a−b+2b−9=0，
∴2a−b−9+2(a+b)=0，
∴2a−b−9=0a+b=0，
解得a=3，b=−3，
∴a−2b=3−2×(−3)=3+6=9，
∴a−2b的平方根是±3．
【点睛】本题考查了实数的运算，还涉及到解二元一次方程组，正确理解题意，熟练掌握运算法则是关键．