八年级上册3.3 勾股定理的简单应用课时作业

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【名师点睛】
勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【典例剖析】
【例1】（2018秋•盱眙县期中）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图，小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为8米（如图．
（1）设长为米，绳子为 米，为 米（用的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度．
【分析】根据图形标出的长度，可以知道和的长度差值是1，以及，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【解答】解：（1）设长为米，则绳子长为米，的长度为米．
故答案是：；；
（2）在中，米，
米，米，
由勾股定理可得，，
解得：．
答：旗杆的高度为16米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出与长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
【变式1.1】（2021秋•常州期中）如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉到小路的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
在中，，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2），，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是．
【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
【变式1.2】（2020秋•新吴区期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
【分析】设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设尺，
尺，尺，
（尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•溧阳市期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是
A．16米B．20米C．24米D．25米
【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．
【解答】解：如图所示，
在中，米，米，
由勾股定理可得，
（米．
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确将实际问题转化为勾股定理是解决问题的关键．
2．（2021秋•宜兴市期中）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行
A．10米B．15米C．16米D．20米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，
建立数学模型，两棵树的高度差米，间距米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米．
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
3．（2021秋•六合区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是
A．15尺B．24尺C．25尺D．28尺
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程即可．
【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺
在△中，
，
解得，
这根芦苇长25尺，
水的深度是（尺，
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
4．（2021秋•赣榆区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
A．4B．3.6C．4.5D．4.55
【分析】画出图形，设折断处离地面尺，则尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，由题意得：，尺，尺，
设折断处离地面尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即折断处离地面4.55尺．
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
5．（2021秋•常州期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解答】解：梯脚与墙角距离：（米，
开始梯脚与墙角的距离为1.5米，
要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：（米．
故选：．
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．（2021秋•灌云县期中）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）
A．一定不会B．可能会
C．一定会D．以上答案都不对
【分析】大树倒下部分，以为半径，绕点做圆弧形的运动，米，10大于9．
【解答】解：由勾股定理知：（米．
由于，
所以 大树倒下时不能砸到张大爷的房子．
故选：．
【点评】考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．（2014秋•无锡校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是
A．B．C．D．
【分析】如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，此时就是圆柱形的高；当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在中即可求出．
【解答】解：如图，
当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，
此时就是圆柱形的高，
即；
当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，
即线段的长，
在中，，
，
，
此时，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据已知图形，正确理解题意是解题的关键．
8．（2020秋•阜宁县期中）如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端和然后把中点竖直向上拉升至点处，则拉长后橡皮筋的长为
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为拉长后橡皮筋的长．
【解答】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故选：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．关键是根据勾股定理，可求出、的长．
9．（2020秋•玄武区校级期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺尺寸），则的长是
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【分析】取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取的中点，过作于，如图2所示：
由题意得：，
设寸，
则（寸，（寸，（寸，寸，
在中，，
即，
解得：，
（寸，
寸，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
10．（2020秋•江阴市期中）如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边，，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是，则应分为三种情况进行讨论．
【解答】解：如图1所示：①，
如图2所示：②，
如图3所示：③，
故选：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，关键是正确进行分类讨论．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•江阴市期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 8 步路．（假设2步为1米）
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．
【解答】解：，，，
，
则，
他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键．
12．（2021秋•靖江市期中）在一棵树的5米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 7.5 米．
【分析】首先设树的高度为米，用表示，，再利用勾股定理就可求出树的高度．
【解答】解：设树的高度为米．
两只猴子所经过的距离相等，，
，，
在中根据勾股定理得，
，
，
，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用，设出未知数，用表示有关的线段是解题关键．
13．（2020秋•江阴市期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为10米，问船向岸边移动了 9 米．
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【解答】解：在中：
，米，米，
（米，
（米，
（米，
（米，
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
14．（2021秋•南京期中）如图，在一个高为，长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ．
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
15．（2017秋•江都区期中）如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是 ．
【分析】根据勾股定理求出的最短距离，进而可得出结论．
【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，最短，
此时，故；
当吸管竖直插入水杯时，最大，此时．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 4.55 尺．
【分析】设折断处离地面的高度为尺，则折断的长度为尺，根据勾股定理列方程解方程即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则折断的长度为尺，
由勾股定理得，
解得，
折断处离地面的高度为4.55尺，
故答案为：4.55．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键．
17．（2021秋•高邮市期中）一架云梯长25米，如图靠在墙上，云梯底端离墙15米，现把云梯顶端向上移4米，那么它的底端离墙 7 米．
【分析】根据题意得到米，米，米，，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，米，米，米，，
（米，
米，
（米，
答：它的底端离墙7米，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
18．（2021秋•盐都区期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为提醒居住在处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，请问你多走了 4 米．
【分析】在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据多走的距离为可以求解．
【解答】解：在中，为斜边，
（米，
多走的距离为：（米．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中正确的运用勾股定理求是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
19．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，有一只小鸟在一棵高的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树，高的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是，也就是两树树梢之间的距离是，两再利用时间关系式求解．
【解答】解：如图所示：
根据题意，得
，．
根据勾股定理，得
．
则小鸟所用的时间是．
答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．
【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间路程速度．
20．（2020秋•宜兴市期中）如图，，海里，海里，我国钓鱼岛位于点，我国渔政船在点处发现有一不明国籍的渔船，自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国渔政船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出处的位置；
（2）求我国渔政船行驶的航程的长．
【分析】（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在上找到一点，使其到点与点的距离相等，所以连接，作的垂直平分线即可．
（2）利用第（1）题中的设海里，则海里．在直角三角形中，海里、海里，利用勾股定理列出方程，解得即可．
【解答】解：（1）作的垂直平分线与交于点；
（2）设为海里，则也为海里，
，
在中，，
即：，
解得：，
答：我国渔政船行驶的航程的长为25海里．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
21．（2019春•海安市期中）某住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，求这块草坪的面积．
【分析】连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断三角形是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【解答】解：连接，如图，
，，
米，米，米，
米，米，
为直角三角形，
草坪的面积等于
米．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．
22．（2021秋•泗阳县期中）（1）如图，四边形是一块草坪，，，，，，求这块草坪的面积；
（2）若在这块草坪上修建一个小喷泉点，使得，请找出小喷泉点的位置，并说明理由．
【分析】（1）连接，根据勾股定理可求出长，再根据勾股定理逆定理可得到是直角三角形，且，最后通过三角形面积公式计算即可．
（2）先做的垂直平分线，交于点，即为所求．利用垂直平分线的性质、平行线的性质、直角三角形的性质即可证明．
【解答】解：连接，
在中，，
，
是直角三角形，且，
这块草坪的面积为；
（2）为的中点，如图，
理由：为的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，
，
为的中点，
是直角三角形，
，
．
【点评】本题是几何综合题，涉及到勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等，解题关键是能够判断出是直角三角形．
23．（2021秋•靖江市期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点拉回点的位置（如图）．在离水面高度为的岸上点，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以0.35米秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果．
【解答】解：在中，，，，
，
工作人员以0.35米秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点的位置，
，
，
．
答：此时游船移动的距离的长是．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
24．（2021秋•泰州期中）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【分析】设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解答】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响．
则有，
在中，，
，
则该校受影响的时间为：．
答：该学校受影响的时间为，
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．