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上海市黄浦区2024届高三下学期4月二模试题数学试题
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这是一份上海市黄浦区2024届高三下学期4月二模试题数学试题，共5页。
（完成试卷时间：120分钟 总分：150分）
2024年4月
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．若集合，，则_________．
2．抛物线的焦点到准线的距离为_________．
3．若，，其中，则_________．
4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________．
5．若的展开式中的系数是，则实数_________．
6．在中，，，，则_________．
7．随机变量X服从正态分布，若，则_________．
8．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________．
9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________．
10．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时， 取得最大值，则的值为_________．
（第11题图）
11．右图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线 段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角．若百米，则此步道的最大长度为_________百米．
12．在四面体中，，，，设四面体 与四面体的体积分别为、，则的值为_________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）
A．B．C．D．
14．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
15．设函数 若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
16．设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”．对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设，函数．
（1）求的值，使得为奇函数；
（2）若，求满足的实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，PB∥平面AEC．
（1）求证：点E是棱PD的中点；
（2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格．
（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为．若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；
（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%．假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点．
（1）求与的方程；
（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
（3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”．
（1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”；
（3）设，的零点为，，求证：“存在 ，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”．
组别
频数
9
26
65
53
47
（完成试卷时间：120分钟 总分：150分）
2024年4月
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．若集合，，则_________．
2．抛物线的焦点到准线的距离为_________．
3．若，，其中，则_________．
4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________．
5．若的展开式中的系数是，则实数_________．
6．在中，，，，则_________．
7．随机变量X服从正态分布，若，则_________．
8．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________．
9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________．
10．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时， 取得最大值，则的值为_________．
（第11题图）
11．右图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线 段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角．若百米，则此步道的最大长度为_________百米．
12．在四面体中，，，，设四面体 与四面体的体积分别为、，则的值为_________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）
A．B．C．D．
14．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
15．设函数 若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
16．设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”．对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设，函数．
（1）求的值，使得为奇函数；
（2）若，求满足的实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，PB∥平面AEC．
（1）求证：点E是棱PD的中点；
（2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格．
（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为．若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；
（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%．假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点．
（1）求与的方程；
（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
（3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”．
（1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”；
（3）设，的零点为，，求证：“存在 ，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”．
组别
频数
9
26
65
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