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初中人教版18.2.1 矩形教案
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这是一份初中人教版18.2.1 矩形教案，共9页。
矩形的性质
第1课时
主备人
内容出处
人教版数学八年级下第十八章
学习目标
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
评估任务
1.说一说矩形的定义；
2.能根据自己对矩形的特殊性能在组内说出平行四边形和矩形的区别；
3.通过理解矩形的特殊性推导出直角三角形的特殊性。
教 学 过 程
教学环节
教 学 活 动
评估要点
环节一：
导入
情景引入
我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？
在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是特殊的平行四边形
定义可以判定四边形是矩形
情景引入抓住学生的注意力，激发学生的学习动力。
环节二：
1.矩形的一般性质：具备平行四边形所有的性质.
2.矩形的特殊性：
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
量一量：四个角的度数，两条对角线的长度。
猜想1：矩形的四个角都是直角
验证：
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：（利用一般性证对角相等，平行线的性质证同旁内角互补）
猜想2：矩形的对角线相等
验证：
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
证明：（利用矩形的一般性证全等三角形再证对角线相等）
归纳：矩形的每个角都是直角；对角线相等。
矩形的性质：
边：矩形的两组对边分别平行且相等；
角：每个角都是直角；
对角线：对角线互相平分且对角线相等。
由一般到特殊，让学生明确掌握矩形特殊的地方。
环节三：
1.利用矩形的性质求线段的长
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
变式1 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
2.利用矩形的性质解答折叠问题
例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
变式2 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
让学生直接利用知识点解决简单的问题，增强学生的学习动力。
利用方程思想结合勾股定理建立方程，渗透数学思想。
环节四：
矩形的对称性及相关性质
矩形ABCD是轴对称图形吗？它的对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
1.矩形和平行四边形的区别与联系
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
两对全等的等腰三角形.
四个全等的直角三角形.
2.直角三角形的性质
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
验证：
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
证明:延长BO至D, 使OD=BO，连接AD,DC.
（利用定义证矩形，再证对角线相等）
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
变式3 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
通过对比让学生更加明确矩形的特殊性，从而构建自己的知识体系。
在掌握矩形对角线相等的基础之上迁移学习直角三角形的性质，学生更易理解，掌握。
环节五：
堂清作业，巩固所学。
基础过关
1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_____．
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
3．若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
4.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
5.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
6.如图，点E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
能力提升
7.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
拓展探究
8.如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
学以致用，巩固矩形的性质。
板书设计
教学反思
本节课充分利用小组合作学习，在整个教学过程中，以学生猜想、验证、归纳等步骤学习新知，教师在学生学习的过程中加以引导点拨，教学中要注重逻辑思维的培养和解答过程的规范书写。
课 题
矩形的判定
第1课时
主备人
内容出处
人教版数学八年级下第十八章
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定方法；
2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
3.提高学生合情推理和演绎推理的能力.
评估任务
1.在小组内说一说矩形的判定方法；
2.根据自己对矩形的理解，灵活的选择合适的判定方法进行判定。
教 学 过 程
教学环节
教 学 活 动
评估要点
环节一：
导入
回顾旧知
1.矩形的定义及性质；
矩形的定义是判定矩形的方法之一
2.如何学习平行四边形的判定方法的？
类比平行四边形的判定方法，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法。
在学生已有知识结构体系的基础上迁移学习，激发学生的学习兴趣。
环节二：
矩形的判定定理1
小明：对角线相等的四边形是矩形．
小华：不对，等腰梯形的对角线也相等.
小红：不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
小强：对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
验证：
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
归纳：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.
（或∵OA=OC=OB=OD且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.）
2.利用对角线判定矩形
例1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
变式1 如图，在平行四边形ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
类比平行四边形的判定方法学习举行的判定方法，渗透类比学习法。
直接利用矩形的判定定理一解决问题，从而巩固新知。
环节三：
1.矩形的判定定理2
前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，
它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立。
四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
验证：
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:（利用定义证矩形）
归纳：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
2.矩形的几种判定方法:
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形 .（或对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
（3）有三个角是直角的四边形是矩形 .
类比学习矩形的判定定理二
环节四：
1.利用角判断四边形是矩形
例2 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
变式2 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，求证：四边形 EFGH为矩形．
中考链接
1.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C
C．AC=BD D． AB⊥BC
2. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF.
（2）求证：四边形AECF是矩形．
灵活利用矩形的判定定理解决问题进而巩固新知。
环节五：
堂清作业，巩固所学。
基础过关
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （ ）
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
2.如图,直线EF∥MN , PQ交EF , MN于A , C两点,AB , CB , CD , AD分别是∠EAC , ∠MCA , ∠ ACN , ∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
3.如图,矩形ABCD的对角线AC , BD相交于点O，E ， F ， G ， H分别是AO ， BO ， CO ， DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
能力提升
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，
求证：四边形ADCE为矩形．
拓展探究
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
学以致用，巩固新知。
板书设计
教学反思
本节课充分利用小组合作学习，在整个教学过程中，以学生猜想、验证、归纳等步骤学习新知，教师在学生学习的过程中加以引导点拨，教学中要注重逻辑思维的培养和解答过程的规范书写。
矩形的性质
第1课时
主备人
内容出处
人教版数学八年级下第十八章
学习目标
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
评估任务
1.说一说矩形的定义；
2.能根据自己对矩形的特殊性能在组内说出平行四边形和矩形的区别；
3.通过理解矩形的特殊性推导出直角三角形的特殊性。
教 学 过 程
教学环节
教 学 活 动
评估要点
环节一：
导入
情景引入
我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？
在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是特殊的平行四边形
定义可以判定四边形是矩形
情景引入抓住学生的注意力，激发学生的学习动力。
环节二：
1.矩形的一般性质：具备平行四边形所有的性质.
2.矩形的特殊性：
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
量一量：四个角的度数，两条对角线的长度。
猜想1：矩形的四个角都是直角
验证：
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：（利用一般性证对角相等，平行线的性质证同旁内角互补）
猜想2：矩形的对角线相等
验证：
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
证明：（利用矩形的一般性证全等三角形再证对角线相等）
归纳：矩形的每个角都是直角；对角线相等。
矩形的性质：
边：矩形的两组对边分别平行且相等；
角：每个角都是直角；
对角线：对角线互相平分且对角线相等。
由一般到特殊，让学生明确掌握矩形特殊的地方。
环节三：
1.利用矩形的性质求线段的长
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
变式1 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
2.利用矩形的性质解答折叠问题
例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
变式2 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
让学生直接利用知识点解决简单的问题，增强学生的学习动力。
利用方程思想结合勾股定理建立方程，渗透数学思想。
环节四：
矩形的对称性及相关性质
矩形ABCD是轴对称图形吗？它的对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
1.矩形和平行四边形的区别与联系
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
两对全等的等腰三角形.
四个全等的直角三角形.
2.直角三角形的性质
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
验证：
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
证明:延长BO至D, 使OD=BO，连接AD,DC.
（利用定义证矩形，再证对角线相等）
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
变式3 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
通过对比让学生更加明确矩形的特殊性，从而构建自己的知识体系。
在掌握矩形对角线相等的基础之上迁移学习直角三角形的性质，学生更易理解，掌握。
环节五：
堂清作业，巩固所学。
基础过关
1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_____．
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
3．若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
4.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
5.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
6.如图，点E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
能力提升
7.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
拓展探究
8.如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
学以致用，巩固矩形的性质。
板书设计
教学反思
本节课充分利用小组合作学习，在整个教学过程中，以学生猜想、验证、归纳等步骤学习新知，教师在学生学习的过程中加以引导点拨，教学中要注重逻辑思维的培养和解答过程的规范书写。
课 题
矩形的判定
第1课时
主备人
内容出处
人教版数学八年级下第十八章
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定方法；
2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
3.提高学生合情推理和演绎推理的能力.
评估任务
1.在小组内说一说矩形的判定方法；
2.根据自己对矩形的理解，灵活的选择合适的判定方法进行判定。
教 学 过 程
教学环节
教 学 活 动
评估要点
环节一：
导入
回顾旧知
1.矩形的定义及性质；
矩形的定义是判定矩形的方法之一
2.如何学习平行四边形的判定方法的？
类比平行四边形的判定方法，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法。
在学生已有知识结构体系的基础上迁移学习，激发学生的学习兴趣。
环节二：
矩形的判定定理1
小明：对角线相等的四边形是矩形．
小华：不对，等腰梯形的对角线也相等.
小红：不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
小强：对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
验证：
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
归纳：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.
（或∵OA=OC=OB=OD且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.）
2.利用对角线判定矩形
例1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
变式1 如图，在平行四边形ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
类比平行四边形的判定方法学习举行的判定方法，渗透类比学习法。
直接利用矩形的判定定理一解决问题，从而巩固新知。
环节三：
1.矩形的判定定理2
前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，
它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立。
四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
验证：
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:（利用定义证矩形）
归纳：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
2.矩形的几种判定方法:
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形 .（或对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
（3）有三个角是直角的四边形是矩形 .
类比学习矩形的判定定理二
环节四：
1.利用角判断四边形是矩形
例2 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
变式2 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，求证：四边形 EFGH为矩形．
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1.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C
C．AC=BD D． AB⊥BC
2. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF.
（2）求证：四边形AECF是矩形．
灵活利用矩形的判定定理解决问题进而巩固新知。
环节五：
堂清作业，巩固所学。
基础过关
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （ ）
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
2.如图,直线EF∥MN , PQ交EF , MN于A , C两点,AB , CB , CD , AD分别是∠EAC , ∠MCA , ∠ ACN , ∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
3.如图,矩形ABCD的对角线AC , BD相交于点O，E ， F ， G ， H分别是AO ， BO ， CO ， DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
能力提升
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，
求证：四边形ADCE为矩形．
拓展探究
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
学以致用，巩固新知。
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教学反思
本节课充分利用小组合作学习，在整个教学过程中，以学生猜想、验证、归纳等步骤学习新知，教师在学生学习的过程中加以引导点拨，教学中要注重逻辑思维的培养和解答过程的规范书写。
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