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2024届高考新结构数学-选择填空强化训练七（2份打包，原卷版+解析版）
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1．已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A. ，B. 1，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数为，方差为，得，，故选：D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A. 30B.60C. 40D. -60
【答案】B
【解析】的通项为：，
令可得：的系数为.故选：B．
3．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 18B. 27C. 45D. 63
【答案】C
【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，
即，解得.故选：C
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
【答案】C
【解析】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；
B．，，，则或，故B不正确；
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．
D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由，，可得为直角三角形，，且，
解得，，再由勾股定理可得：得，．
故选：D．
6．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】∵，，
∴，两边平方，化简得∴.∴为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
7．小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】中，取中点，则为的外心，在等边中取重心， 也为的外心，取中点，连接，过，的外心作所在平面的垂线，所得交点即为外接球的球心，则，平面，则平面，
则，，平面，平面，，，平面，则平面，所以，故为矩形，
则，，则
则外接球的表面积为.故选：C
8．已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则，且，则，
令且，故，
令，则在上递增，故，
所以在上递增，故，
所以在上递增，故，
即在上恒成立，故，A错，B对；
对于的大小关系，令且，而，，
显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定，
即的大小在上不确定，所以C、D错.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．故选：ABD
10．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：，
由正弦定理得，
即，，
因为，所以，所以，，，故A正确；
对于B：由余弦定理知，，因为，，
所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；
对于C：由B知，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错；
对于D：因为为边上的中线，所以，
，得，
因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.
11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 时，B.
C. D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，
设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；
设直线，由，
得，由，即，
又因为，所以，所以，
所以，故B正确；
因为，令，，
当时，，所以在上单调递减，
因为，而，所以，
即，故C正确；设，此时，
故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，则或，即或.
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，所以若，则有或（舍），解得；
③当时，，所以若，则有或（舍），
解得.综上所述，.
故答案为：
13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则，，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，，所以，，则，所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.故答案为：.
14.函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.故答案为：
1．已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A. ，B. 1，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数为，方差为，得，，故选：D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A. 30B.60C. 40D. -60
【答案】B
【解析】的通项为：，
令可得：的系数为.故选：B．
3．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 18B. 27C. 45D. 63
【答案】C
【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，
即，解得.故选：C
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
【答案】C
【解析】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；
B．，，，则或，故B不正确；
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．
D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由，，可得为直角三角形，，且，
解得，，再由勾股定理可得：得，．
故选：D．
6．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】∵，，
∴，两边平方，化简得∴.∴为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
7．小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】中，取中点，则为的外心，在等边中取重心， 也为的外心，取中点，连接，过，的外心作所在平面的垂线，所得交点即为外接球的球心，则，平面，则平面，
则，，平面，平面，，，平面，则平面，所以，故为矩形，
则，，则
则外接球的表面积为.故选：C
8．已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则，且，则，
令且，故，
令，则在上递增，故，
所以在上递增，故，
所以在上递增，故，
即在上恒成立，故，A错，B对；
对于的大小关系，令且，而，，
显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定，
即的大小在上不确定，所以C、D错.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．故选：ABD
10．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：，
由正弦定理得，
即，，
因为，所以，所以，，，故A正确；
对于B：由余弦定理知，，因为，，
所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；
对于C：由B知，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错；
对于D：因为为边上的中线，所以，
，得，
因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.
11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 时，B.
C. D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，
设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；
设直线，由，
得，由，即，
又因为，所以，所以，
所以，故B正确；
因为，令，，
当时，，所以在上单调递减，
因为，而，所以，
即，故C正确；设，此时，
故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，则或，即或.
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，所以若，则有或（舍），解得；
③当时，，所以若，则有或（舍），
解得.综上所述，.
故答案为：
13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则，，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，，所以，，则，所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.故答案为：.
14.函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.故答案为：
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