微专题03 四边形中的最值问题通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N'点，N'即为所求，在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BN，BM交AC于N'点，连接DN'，
则DN=BN，
∵DN+MN=BN+MN≥BM，
当B、N、M三点共线时，DN+MN取得最小值，
则N'即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=CM2+BC2=32+42=5，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线AC对称，可知BM的长即为DN+MN的最小值是解答此题的关键．
2．（2023春·八年级统考课时练习）如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点．若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的值可能是（ ）

A．3.2B．3.5C．3.6D．3.8
【答案】A
【分析】根据AP+PB=AB，然后判断出PM最小时，PA+PB+PM的值最小，再根据垂线段最短解答.
【详解】解：∵AP+PB=AB，
∴PM最小时，PA+PB+PM的值最小，
由垂线段最短可知当PM⊥CD时，PA+PB+PM的值最小，最小值为1+2=3．
当点P在点B时，PA+PB+PM=AB+BM=2+2．
∴PA+PB+PM的取值范围为3≤PA+PB+PM≤2+2，
故选A．．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，垂线段最短.得出PM最小时，PA+PB+PM的值最小是解决问题的关键.
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若P是BD上的一个动点，则PB+PC+PD的最小值是（ ）
A．16B．15.2C．15D．14.8
【答案】D
【分析】根据题意，当PC⊥BD时，PB+PC+PD有最小值，由勾股定理求出BD的长度，由三角形的面积公式求出PC的长度，即可求出最小值.
【详解】解：如图，当PC⊥BD时，PB+PC+PD=BD+PC有最小值，
在矩形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
由勾股定理，得
BD=62+82=10，
∴PB+PD=BD=10，
在△BCD中，由三角形的面积公式，得
12BD•PC=12BC•CD，
即12×10×PC=12×8×6，
解得：PC=4.8，
∴PB+PC+PD的最小值是：PB+PC+PD=BD+PC=10+4.8=14.8；
故选：D.
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P的位置，得到PC最短.
4．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上一动点，且BE=1，AF=2，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4B．15C．5D．17
【答案】D
【分析】作E关于直线AC的对称点E'，连接E'F，则E'F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E'FG中，利用勾股定理即可求出E'F的长．
【详解】解：作E关于直线AC的对称点E'，连接E'F，则E'F即为所求，
过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E'FG中，
GE'=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
所以E'F=FG2+E'G2=42+12=17．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，正方形的性质等知识，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
5．（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，正方形ABCD边长为10，点M在对角线AC上运动，N为DC上一点，DN＝2，则DM+ MN长的最小值为（ ）
A．8B．10C．241D．102
【答案】C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BN交AC于M′点，M′即为所求在Rt△BCN中利用勾股定理即可求出BN的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BN交AC于M′，连接DM′，M′即为所求的点，
则BN的长即为DM+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CN=CD-DN=10-2=8，
∴在Rt△BCN中，BN=CN2+BC2=82+102=241．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解答此题的关键．
6．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在AD上，AM=4，点P为对角线BD上一动点连接PA，PM，则PA+PM的最小值为（ ）
A．62B．63C．210D．5
【答案】C
【分析】根据正方形的性质及轴对称-最短距离问题模型得到点P的位置，然后利用勾股定理计算即可得解
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
连接CM，与BD的交点即为使PA+PM最小时点P的位置，此时PA+PM=CM，
∵正方形的边长为6且AM=4，
∴DM=2，CD=6，
∴CM=CD2+DM2=62+22=210，
∴PA+PM的最小值为210，
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是9，则AB的长是（ ）
A．63B．33C．9D．4.5
【答案】A
【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，在Rt△AMD中根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出AD的值，最后根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】连接PD，BD，
∵PB=PD，
∴PM+PB=PM+PD，
连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，
∴这个P点就是要的P点，
又∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，∠ADM=30°
∵M为AB的中点，
∴MD⊥AB，
∵MD=9，
∴AD2= (AD2)2 +92
解得： AD= 63
∴AB=63．
故选：A．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握所学知识，属中等难度．
8．（2023秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )
A．52B．245C．125D．54
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=12EF=12AP,
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
AP=6×810=245,
∴AM的最小值是125．
故选C．
【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段是解决问题的关键．
9．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，再根据PB+PQ=AP+PQ≥AQ计算即可；
【详解】连接AQ，过点D作DH⊥BC，
∵BC=6，ΔBDC面积为21，
∴12·BC·DH=21，
∴DH=7，
∵MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，
∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=7，
∴PB+PQ的值最小值为7；
故选C．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
10．（2022·安徽·校联考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（ ）
A．23-1B．3-1C．7-1D．27-1
【答案】C
【分析】过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，根据MA'=MA为定值，可知当A'在MC上时，A'C取得最小值，然后依据角度和三角函数，即可求得A'C的长．
【详解】解：∵MA'是定值，
∴当A'在MC上时，A'C取得最小值，
如图，过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12MD=12，
∴FM=32，
∴MC=FM2+CF2=(32)2+(52)2=7，
∴A'C=MC-MA'=7-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出A'所在位置是解答本题的关键．
11．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
A．10-1B．5C．210-2D．92
【答案】C
【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．
【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
则MN=QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中,
AB=BC∠AEB=∠BCFBE=CF ，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∠AEB=∠BFC，
∵ AB∥CD，
∴∠ABP=∠BFC=∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴PH=12AB=2，
∵M点是BC的中点,
∴BM=MC=CQ=12BC=2，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，
PH+PQ=HQ=BH2+BQ2=22+62=210的值最小，
∴PQ的最小值为210 -2，
此时，若N与N'重合时，
MN+PN=MN=QN´+PN´=QN´+PN´=210 -2的值最小，
故答案为：C．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P与N的位置．
12．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝12BD＝8，OC＝12AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝12BD＝8，OC＝12AC＝6，
∴BC＝OB2+OC2＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝12OB⋅OC＝12BC⋅OP，
∴OP＝6×810＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，OM＝2，MN＝6，A为射线ON上的动点，以OA为一边作内角∠OAB＝120°的菱形OABC，则BM＋BN的最小值为 （ ）
A．26B．6C．213D．215
【答案】C
【详解】解：如图，连接OB，OB1，
∵菱形OABC，∠OAB=120°，∴∠OBA=30°，
同理可证，∠OB1A1=30°，
在四边形BAA1B1中，∠ABB1=360°－60°－30°－120°=150°，
∴∠OBA+∠ABB1=180°，
∴O、B、B1三点共线，
∴要求BM+BM最小，即要在射线OB1上找一点B使得B点到M、N点的距离之和最小，
如图，作点N关于射线OD的对称点N＇,连接M N＇交射线OD于点B，此时BM+BN最小，作MC⊥NN＇交NN＇于点C，
∵OA⊥NN＇，∴MC∥OA，∴∠O=∠CMN=30°，
∵OM=2，MN=6，∴ON=8，∴AN=AN＇=4，CN=3，∴MC=33，AC=1，∴CN＇=5，
∴BM+BN=BM+BN＇=M N＇,
（M N＇）2=（MC）2+（CN＇） 2=27+25=52，
∴M N＇=213．
故选C．
【点睛】本题考查求线段之和最小，可以往“将军饮马”问题上考虑，先找出使距离之和最小的点的位置，要求线段之和一般作垂线，借助勾股定理来求．
14．（2022秋·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE=1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5B．4C．22D．25
【答案】B
【分析】作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果．
【详解】解：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AE=1，
∴DE=AD-AE=BC-AE=3，DD'=2DC=2AB=4，
∴ED'=DE2+DD'2=32+42=5，
在△PCD和△PCD'中，
CD=CD'∠PCD=∠PCD'=90°PC=PC，
∴△PCD≌△PCD'SAS，
∴DP=PD'，
∴PD+PF=PD'+PF，
∵EF=EA=1是定值，
∴当E、F、P、D'四点共线时，PF+PD'定值最小，最小值=5-1=4，
∴PF+PD的最小值为4，
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
15．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【答案】B
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝3（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝12∠APC＝60°，∠EPN＝12∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝3（4﹣a），
∴MN＝a2+[3(4-a)]2=4(a-3)2+12，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为23，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
二、填空题
16．（2023秋·八年级课时练习）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝ °．
【答案】45
【详解】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．
17．（2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E在BC边上，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】4
【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（2023春·浙江·八年级期中）如图，矩形OABC的边OC在y轴正半轴上，边OA在x轴正半轴上，C点坐标为(0, 3)，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．则线段OA的长为 ，在点D的运动过程中，线段OF最大值为 ．
【答案】 4 2+13
【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，得出S矩形OABC=12，由OC=3，得出OA=4，由∠CFB=90°，C、B均为定点，取BC的中点M，利用直角三角形的性质和勾股定理求出FM，OM，根据OF≤FM+OM求解即可解决问题．
【详解】解：当点D与点A重合时，如图：
∵S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，
∴S矩形OABC=12，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
∴OA=4，
由于∠CFB=90°，C、B均为定点，故取BC的中点M，
则MF=12BC=2，OM=OC2+CM2=13，
∵OF≤FM+OM，
∴OF≤2+13，
∴OF的最大值=2+13，
故答案为：4，2+13．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD、BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85，最小值为8，则菱形ABCD的边长为 ．
【答案】10
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=85，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=85，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴AH=AC2-CH2=320-64=16，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ．
【答案】10
【分析】首先作出点D关于BC的对称点D'，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PD'最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG=1，GD'=3，最后由勾股定理即可求得PD'的长，从而可求得MD+MP的最小值．
【详解】解：如图作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，
由轴对称的性质可知：MD=D'M，CD=CD'=2，
∴PM+DM=PM+MD'=PD'，
过点P作PE垂直DC，垂足为G，
由题意得AE=DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠BAP+∠DAF=90°，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，
此时，PD'最短．
∵四边形ABCD为正方形，
∴PG=12AD=1，GC=12DC=1．
∴GD'=3．
在Rt△PGD'中，由勾股定理得：PD'=PG2+GD'2=12+32=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键．
21．（2023秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
【答案】45
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC＝PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，
∴BE＝4，
∴AE=42+82=45，
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
22．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°, 点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是 .
【答案】32+1.
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1，再求出MN的长即可求出答案．
【详解】如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
连结MN，过点B作BE⊥MN，垂足为点E，
∴ME=12MN，
在Rt△MBE中，∠BMN=30°，BM=12AB=12
∴ME=32×12=34，
∴MN=32
∴△MPN的周长最小值是32+1.
故答案为32+1.
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
23．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点E在AD上，且AE=2，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PA的最小值是 ．
【答案】27．
【详解】试题分析：连接AC、CE，交BD于P，根据菱形的性质，A、C关于直线BD对称，得出PA=PC，则PA+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段最短，则CE就是PE+PA的最小值，作CF⊥AD于F，求得CF、EF的长，根据勾股定理即可求得．
试题解析：连接AC、CE，交BD于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴PA=PC，
∴PA+PE=PC+PE=CE，
根据两点之间线段最短，则CE就是PE+PA的最小值，
作CF⊥AD于F，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AF=DF=12AD=3，CF=sin60°•AC=32×6=33，
∵AE=2，
∴EF=1，
在RT△ECF中，CE=EF2+CE2=12+(33)2=27．
∴PE+PA的最小值为27．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．菱形的性质．
24．（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD=16S菱形ABCD，则PC+PD的最小值是 ．
【答案】211
【分析】如图在BC 上取一点E，使得EC=13BC=2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时S△PDC=16S菱形ABCD，PD+PC的值最小．
【详解】解：如图在BC 上取一点E，使得EC=13BC=2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时S△PDC=16S菱形ABCD，PD+PC的值最小．
PC+PD的最小值=PD+PC′=DC′，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=135°，
∴∠B=∠CEG=45°，∠BCD=135°
∵∠CGE=90°，CE=2，
∴CG=GE=GC′=2，
∴∠GCE=45°，∠DCC′=90°，
∴DC′=62+(22)2=211，
故答案为211．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
25．（2023·广东湛江·校考一模）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PFE沿PE折叠，得到△PBE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为 ．
【答案】8
【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，
根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝BE2+BC2＝52+122＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
三、解答题
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．
【答案】1＋5
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【详解】解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．
在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD＝CD2+CQ2=22+12=5
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=5+1（cm）．
【点睛】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理的应用．是常考的基本题．
27．（2023春·北京·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，
连接AM、CM．其中BN=BM，∠MBN=60°，连接EN
（1）证明：△ABM≌△EBN
（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3+1时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析（2）当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
（3）2.
【详解】试题分析：（1）首先利用角的和差关系证得∠BMA＝∠NBE，然后根据SAS可证得△AMB≌△ENB；（2）根据轴对称的性质当AM＋BM＋CM转化为两点之间的线段时.AM＋BM＋CM的值最小. 连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.根据条件证明 AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM=EC即可；（3）设正方形的边长为x，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，在Rt△EFC中，根据EF2＋FC2＝EC2，得出方程，然后解方程即可.
试题解析：解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN，即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
（2）如图，
连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN，由（1）知，
△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
即等于EC的长
（3）正方形的边长为2
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴(x2)2+(32x+x)2=(3+1)2
解得，x＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2
考点：1.等边三角形的性质；2.正方形的性质；3.轴对称的性质；4.直角三角形的性质.
28．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；
（2）如图2，若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE=EF．
（3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE=12AC，将菱形ABCD绕着点B顺时针旋转α° (0≤α≤360)，请直接写出在旋转过程中DE的最大值．
【答案】（1）23；（2）见解析；（3）43+27
【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形，∠BCA=60°，AB=2，求出BE，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出BE=EF；
（2）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF；
（3）以BD为半径，B为圆心画弧，连接BD，设AC、BD交于O，得到当D、B、E共线时，DE最大，即为D′E，利用勾股定理求出BE，加上BD即可得到结果．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°，
∵E是线段AC的中点，
∴BE⊥AC，AE=CE=12AB=2，∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，
∴BE=42-22=23，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF=12∠BCA=30°，
∴∠CBE=∠F=30°，
∴BE=EF=23；
（2）如图，作EH∥BC交AB的延长线于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AHE是等边三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
BH=CE∠BHE=∠ECFHE=CF，
∴△BHE≌△ECF（SAS），
∴EB=EF；
（3）如图，以BD为半径，B为圆心画弧，当D、B、E共线时，DE最大，即为D′E，
连接BD，设AC、BD交于O，
则D′E=DB+BE，
BD=2BO=43，OE=OC+CE，CO=AO=12AB=2，
∵CE=12AC=2，
∴OE=4，
在△BOE中，BE=BO2+OE2=27，
∴DE的最大值为D′E=43+27．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，旋转的性质，线段的最值问题，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．（2023春·浙江·八年级统考期中）如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G，
（1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).
（2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.
（3）①当□OEAF是矩形时，求m的值.
②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 .
【答案】（1）（m2，1），（4-m2，-1）；（2）4；45；（3）①m=4±23，②2或6.
【分析】（1）根据中点坐标公式和对称性，分别求出点E、F的坐标.
（2）由题意当EF⊥OA时，线段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四边形OEAF的周长.
（3）①分情况讨论：当点P在线段OA上时，如图1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的长，然后求出OP的长；当点P在OA延长线上时， 先求出OH，然后求出OP的长即可；②分两种情况：当点P在线段OA上时，先证△AEF为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；当点P在OA延长线上时，先证△AFE为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值.
【详解】（1）∵C(0,2),P(m,0),由中点坐标公式，得点E的坐标为(m2,1)，由F和E关于点G对称，可得F的坐标为(4-m2,-1).
故答案为(m2,1)，(4-m2,-1).
（2）当EF⊥OA时，此时EG最小,则EF最小.此时点P与A重合，m=4,易知，四边形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=5，四边形OEAF的周长为45，
故答案为4，45
（3）作EH⊥x轴于点H,
当点P在线段OA上时，如图1，
Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,则HG= 3
∴OH=2- 3
∴m=OP=4-2 3
当点P在OA延长线上时,如图2，
∴OH=2+ 3
∴m=OP=4+2 3
综上所述，m=4 ±2 3
②分两种情况：
Ⅰ：当P在线段OA上时，如图，
∵OEAF是平行四边形，
∴AG=12OA=2,
又E (m2,1)
∴S△AGE=12×2×1=1
∵△EFO折叠后与△EFO'重合
∴∠2=∠3
又OF∥AE,
∴∠1=∠2
∴∠1=∠2
∴EH=FH
又G为EF中点
∴HG⊥EF
∵S△GFH=1
∴SΔEGH=12
∴S△EGH=12S△AEG
∴HE=AH
∴HE=AH=HF
∴△AEF为直角三角形，∠AFE=90°
∴∠OEG=90°
∴OE2+GE2=OG2
∴(m2)2+12+(m2-2)2+12=22
解得m1=m2=2
Ⅱ、当P在OA的延长线上时，如图
同理可证，EH=FH=AH,
∴∠AEF=90°
∴△AEG为直角三角形,
∴EG2+AE2=AG2
∴(m2-2)2+12+(m2-4)2+12=22
解得m1=m2=6
综上所述，m=2或6
故答案为m=2或6
【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的性质、折叠、三角形的面积等知识.正确的画出图形和熟练掌握图形性质是必备的技能.
30．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）问题发现．
(1)如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是AB边上任意一点，则CP的最小值为______．
(2)如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)125
(2)9625
(3)存在，最小值为152，BF=3
【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；
（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．
【详解】（1）如图①，过点C作CP⊥AB于P，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CP最小，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=5，
∵12AC×BC=12AB×CP
∴CD=AC⋅BCAB=125，
故答案为125；
（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E'，连接CE'交BD于点F'，
过点E'作E'N⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=E'N最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=5，根据勾股定理得，BD=5，
∵CE'⊥BD，
∴12BD×CF'=12BC×CD，
∴CF'=BC×CDBD=125，
由对称得，CE'=2CF'=245，
在Rt△BCF'中，cs∠BCF'=CF'BC=35，
∴sin∠BCF'=45，
在Rt△CE'N中，E'N=CE'sin∠BCE'=245×45=9625；
即：CM+MN的最小值为9625；
（3）存在．
如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，
根据勾股定理得，AC=5，
∵AB=3，AE=2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=45，
在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=EHAE=45，
∴EH=45AE=85，
∴h=EH-EG=85-1=35，
∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152，
过点F作FK⊥AC于K，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHK是矩形，
∴FK=GH=35，
∵∠FCK=∠ACB，∠CKF=CBA=90°，
∴△CKF∼ △CBA，
∴CFAC=FKAB，
∴CF5=353，
∴CF=1
∴BF=BC-CF=4-1=3．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题．
31．（2023春·广东广州·八年级广州市第二中学校考期中）如图，正方形ABCD中，点P是线段BD上的动点．
(1)当PE⊥AP交BC于E时，
①如图1，求证：PA=PE．
②如图2，连接AC交BD于点O，交PE于点F，试探究线段PA2、PO2、PF2之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为BC的中点，PQ为对角线BD上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，CP+QM的最小值为32，求线段PQ的长．
【答案】(1)①见解析；②PO2⋅PA2+PF2=PA2⋅PF2
(2)2
【分析】（1）①连接PC，根据SAS证明△ABP≌△CBPSAS，得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，再求出∠BAP+∠BEP=180°，进一步证明∠BCP=∠PEC得到PC=PE，等量代换可得结果；②先根据PE⊥AP得到S△APF=12PO⋅AF=12PA⋅PF，得到PO2⋅AF2=PA2⋅PF2，结合勾股定理得到PO2⋅PA2+PF2=PA2⋅PF2；
（2）连接AC交BD于点O，先根据正方形的性质得到AC⊥BD，BO=CO=22，进一步得到当点P与点O重合时，CP的最小值，QM的最小值，以及此时QM⊥BD，QM∥AC，最后根据M为BC中点得到Q为BO中点，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABD=∠CBDBP=BP，
∴△ABP≌△CBPSAS，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°，
又∠BAP+∠BEP+∠ABC+∠APE=360°，
∴∠BAP+∠BEP=180°，
∵∠PEC+∠BEP=180°，
∴∠BAP=∠PEC，
∴∠BCP=∠PEC，
∴PC=PE，
∴PA=PE；
②如图，PO2⋅PA2+PF2=PA2⋅PF2，理由是：
∵PE⊥AP，
∴PA2+PF2=AF2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵S△APF=12PO⋅AF=12PA⋅PF，
∴PO2⋅AF2=PA2⋅PF2，
∴PO2⋅PA2+PF2=PA2⋅PF2；
（2）如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，BO=CO=22BC=22，
∴当点P与点O重合时，CP的最小值为CO=22，
∵CP+QM的最小值为32，
∴QM的最小值为2，
∴当点P与点O重合时，QM⊥BD，如图，
∴QM∥AC，
∵M为BC中点，
∴Q为BO中点，
∴PQ=12BO=12×22=2．
【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，勾股定理，最值问题，有一定难度，解题的关键是数形结合，利用正方形的性质添加辅助线．
32．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,AD=16,∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
(1)如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=_____度；
(2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
(3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．
【答案】(1)85；
(2)5+53；
(3)221+2
【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；
（2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，可得∠APA'=90°,PH=BH，根据PA=AH+PH即可求解；
（3）作BH⊥AD于H，连接BP．勾股定理求得BP，当BA'的长度最小时，△BFA'的周长最小，由BA'≥PB-PA'，求得PB，然后即可求得△BFA'的周长的最小值．
【详解】（1）如图1中，
∵∠DPA'=10°，
∴∠APA'=180°-∠DPA'=180°-10°=170°，
由翻折的性质可知：∠A'PB=∠APB=12×170°=85°．
故答案为85．
（2）如图2中，作BH⊥AD于H．
在Rt△ABH中，AB=10,∠A=60°，
∴AH=5,BH=53，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵PA'⊥BC，
∴PA'⊥AD，
∴∠APA'=90°，
∴∠HPB=∠BPA'=45°，
∴PH=BH=53，
∴PA=AH+PH=5+53．
（3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵PA=8,AH=5，
∴PH=8-5=3，
∵BH=53，
∴PB=PH2+BH2＝32+(53)2＝221，
由翻折可知：PA=PA'=8,FA=FA'，
∴△BFA'的周长＝FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，
∴当BA'的长度最小时，△BFA'的周长最小，
∵BA'≥PB-PA'，
∴BA'≥221-8，
∴BA'的最小值为221-8，
∴△BFA'的周长的最小值为10+221-8=221+2．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
33．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）已知：△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
（1）如图①，点D在△ABC内，求证：AD⊥BE；
（2）如图②，A，D，E三点在同一条直线上，若AB=132，DE=10，求△ACD的面积；
（3）如图③，若AB=9，点D在AB上运动，求△BDE周长的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）352；（3）9+922
【分析】（1）延长AD与BC交于F，交BE于G，可先证△ACD≌△BCESAS，得到∠CAD=∠CBE，再根据作得的辅助线，得到∠ACF=∠BGF=90°，从而可证AD⊥BE．
（2）过点C作CF⊥AE，求出CF、AF、AD的长，则S△ACD=12AD·CF
（3）C△BDE=BD+AD+DE=AB+DE=9+DE，C△BDE最小即DE最小，即CD最小，CD⊥AB时，CD最小，然后求出DEmin，最后得到C△BDE的最小值．
【详解】解：（1）△ABC和△DEC为等腰直角三角形，
∵AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB-∠DCB=∠ECD-∠DCB
∴∠ACD=∠ECB
在△ACD和△BCE中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCESAS
∴∠CAD=∠CBE
如图，延长AD与BC交于F，交BE于G
∴∠AFC=∠BFG
∴∠ACF=∠BGF=90°
∴AD⊥BE
（2）如图，过点C作CF⊥AE
∵DE=10，△CDE为等腰直角三角形
∴CF=5，又∵AB=132，AC=13
∴在Rt△ACF中，CF=5，AC=13
∴AF=12
又∵DF=5
∴AD=7
∴S△ACD=12AD·CF=352
（3）如图所示
C△BDE=BD+BE+DE
由（1）可知△ADE≅△BCE
∴BE=AD
∴C△BDE=BD+AD+DE=AB+DE=9+DE
∴C△BDE最小即DE最小，即CD最小
CD⊥AB时，CD最小为92
∴DEmin=922
∴C△BDE最小值为922+9
【点睛】本题考查全等三角形的证明定理，属于开放型拔高复合题，通过适当的作辅助线，构建直角三角形，熟练运用勾股定理，求出直角三角形的边长．
34．（2022·江苏·九年级专题练习）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，设BE=m．
（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m=13时，求线段CF的长；
②在△PQE'中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【答案】（1）①23；②h=-m2+m，h最大值=14；（2）y=2m3+m2+2m+12m+2(0≤m≤12)m2+12m2+2m(m>12)
【分析】（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明△ABE≅△EMF，可得FM =13，CM=13，进而即可求解；②由△BAE∼△CEP，得CP=m-m2，把△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=1-m1+m，EQ=1+m21+m，QP=m3+m1+m，结合三角形面积公式，即可得到答案；
（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=-1mx+1，AF的解析式为：y=m-1m+1x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤12时，②当m＞12时，分别求解即可．
【详解】解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，
∵在等腰直角三角形AEF中，∠AEF=90°，AE=FE，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，
∴∠BAE=∠FEM，
又∵∠B=∠FME，
∴△ABE≅△EMF，
∴FM=BE=13，EM=AB=BC，
∴CM=BE=13，
∴CF=132+132=23；
②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，
∴△BAE∼△CEP，
∴CPBE=CEAB，即：CPm=1-m1，
∴CP=m-m2，
把△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B、G、E三点共线，
又∵AE=AE，
∴△GAE≅△∠EAQ，
∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，
∴在Rt△CEQ中，CE2+CQ2=QE2，即：1-m2+1-DQ2=m+DQ2，
∴DQ=1-m1+m，
∴EQ= DQ+BE=1-m1+m+m=1+m21+m，QP=1-1-m1+m-(m-m2)=m3+m1+m，
∴S△QPE=12QP×CE=12QE⋅h，即：m3+m1+m×(1-m)= 1+m21+m×h，
∴h=-m2+m=-m-122+14，即m=12时，h最大值=14；
（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，
∵直线m过AB的中点且垂直AB，
∴直线m的解析式为：x=12，
过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：△ABE≅△EMF，即FM=BE，EM=AB，
∴F(1+m，m)，
设AE的解析式为：y=kx+b，
把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得0=km+b1=b，解得：k=-1mb=1，
∴AE的解析式为：y=-1mx+1，
同理：AF的解析式为：y=m-1m+1x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，
①当0≤m≤12时，如图，G(12，3m+12m+2)，N(12，12m-m2)，
∴y=3m+12m+2-(12m-m2)=2m3+m2+2m+12m+2，
②当m＞12时，如图，G(12，3m+12m+2)，N(12，2m-12m)，
∴y=3m+12m+2-2m-12m=m2+12m2+2m，
综上所述：y=2m3+m2+2m+12m+2(0≤m≤12)m2+12m2+2m(m>12)．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键．
35．（2023春·八年级课时练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF最大值：2 ，EF最小值：1
【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCH（ASA），然后根据三角形全等的性质即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP＝FC，然后根据等边对等角和等量代换求得∠AFP＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE＝12AP，结合（1）问结论即可求证；
（3）根据（2）问结论得到EF＝12MN，当点P和点B重合时，EF有最小值；当点P和C重合时，EF有最大值，根据正方形的对角线即可求解．
【详解】（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；
（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝12AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝12MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝22，
当点P和点B重合时，EF最小值＝12MN＝12AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大值＝12MN＝12BD＝2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，本题考查较为综合，题目较难，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．