【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题02 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（考点梳理）.zip

这是一份【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题02 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（考点梳理）.zip，文件包含期中复习人教B版20192023-2024学年必修第三册高一下册数学专题02同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点梳理原卷版docx、期中复习人教B版20192023-2024学年必修第三册高一下册数学专题02同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点梳理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。


【考点题型一】利用同角三角函数的基本关系知一求二
求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用的求解方法
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用的求解方法
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
【例1】（22-23高一下·北京昌平·期中）已知，，则
【答案】
【分析】根据角的范围和同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为，
可得，
故答案为：.
【变式1-1】.（22-23高一下·四川宜宾·期中）已知 ，其中，的值为（ ）
A．－B．－C．D．
【答案】A
【分析】利用平方关系计算的值，并根据角的象限判断符号即可.
【详解】因为为第四象限角，
所以.
故选：A.
【变式1-2】.（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，且，则 ；
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得.
【详解】因为，且，所以，
则.
故答案为：.
【变式1-3】.（22-23高一上·北京朝阳·期中）根据下列条件，求三角函数值
(1)已知，且为第二象限角，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)，或，
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于、的方程组，再结合角所在象限进行求解.
【详解】（1）因为，且，
所以，又为第二象限角，
则，；
（2）因为，
所以，且是第二、四象限角；
联立，得，
当是第二象限角时，，；
当是第四象限角时，，；
所以，或，.
【变式1-4】．（21-22高一下·贵州黔东南·期中）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.
【详解】解：由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
【考点题型二】正余弦齐次式的计算
已知角α的正切求关于sinα，csα的齐次式的值的方法
(1)关于sinα，csα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，csα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以csα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
【例2】．（22-23高一下·新疆伊犁·期中）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再可求出的值；
（2）利用化简，再代值计算即可.
【详解】（1）且，
，
.
（2），
.
【变式2-1】．（22-23高一下·四川达州·期中）已知
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值；
（2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.
【详解】（1）由，得，即．
（2）因为，
所以
.
【变式2-2】．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.
【详解】（1）由于，所以，
所以.
（2）
.
【变式2-3】．（22-23高一下·上海静安·期中）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可
【详解】由，得，
所以，解得，
故答案为：
【变式2-4】．（22-23高一下·辽宁大连·期中）我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，结合，求得，结合，即可求解.
【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，
因为是直角三角形较小的锐角，所以，
可得，
则，
即，
解得或（舍去），
所以.
故选：C.
【考点题型三】sinαcsα与sinαcsα关系的应用
已知sinα±csα的求值问题的解题方法
对于已知sinα±csα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
(1)用sinα表示csα(或用csα表示sinα)，代入sin2α＋cs2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或csα的值)，再求其他．
(2)利用sinα±csα的值及sin2α＋cs2α＝1，先求出sinαcsα的值，然后结合sinα±csα的值求出sinα，csα的值，再求其他．
【例3】．（22-23高一下·贵州遵义·期中）已知为第四象限角，且，则 .
【答案】/
【分析】判断出的符号，结合可求得的值.
【详解】因为为第四象限角，则，，则，
因为，
将代入上式可得，
因此，.
故答案为：.
【变式3-1】．（20-21高一下·上海黄浦·期中）已知，，则 .
【答案】
【分析】将两边平方，结合平方关系可求得，从而可得的符号，再利用平方关系即可得解.
【详解】解：因为，
所以，则，
又，所以，
则，
解得或（舍去）.
故答案为：.
【变式3-2】．（23-24高三上·广东广州·期中）若，，则 ．
【答案】/
【分析】对等式两边同时平方可得，可求得，进而求出，即可求出.
【详解】由题意知，，等式两边同时平方，
得，即，
所以，
又，所以，所以，
由，解得，
所以.
故答案为：.
【变式3-3】．（22-23高一下·宁夏吴忠·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式两边平方，求出的值，结合，可知为第二象限角，可得的值；
（2）由（1）知的值，与已知等式联立可求出的值，则的值可求.
【详解】（1）把平方后得，1+2sin，可得2sin=，
由，可得，，有所以<0．
由得．
（2）由（1）有解得
所以
【变式3-4】．（22-23高一下·江苏盐城·期中）若，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.
【详解】因为，
设（），
则，所以，，
即，所以或（舍）
所以，
．
故选：A．
【考点题型四】利用同角三角函数关系化简求值
利用同角三角函数关系化简的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．
【例4】．（22-23高一下·贵州遵义·期中）若为第三象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得的值.
【详解】因为为第三象限角，则，因此，.
故选：D.
【变式4-1】．（18-19高二下·广东深圳·期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，故求出答案.
【详解】因为，，
所以，.
故选：D
【变式4-2】．（22-23高一下·上海静安·期中）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义判断的符号，结合同角三角函数关系式，化简即可得出答案.
【详解】因为，则，，
所以
.
故选：A.
【变式4-3】．【多选】（22-23高一下·辽宁·期中）若，则α可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
对于A，因为为第四象限角，所以，故A正确；
对于B，因为为第二象限角，所以，故B错误；
对于C ，因为为第三象限角，所以，故C正确；
对于D，因为为第四象限角，所以，故D正确.
故选：ACD.
【变式4-4】．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数，其中为第三象限角且
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，根据为第三象限角得到，化简原式为，计算得到答案.
（2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案.
【详解】（1）
，
为第三象限角，故，，故，
.
（2）
.
【考点题型五】利用诱导公式给角求值问题
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”(2)“大化小”(3)“小化锐”(4)“锐求值”
【例5】．（22-23高一下·湖南株洲·期中）的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式进行化简即可
【详解】
故选：D
【变式5-1】．（23-24高一上·四川眉山·期中） ．
【答案】
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出答案.
【详解】.
故答案为：.
【变式5-2】．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）求下列各值.
(1)；
(2) ；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（2）直接利用特殊角的三角函数计算即可；（1）（3）（4）先利用诱导公式化简再利用特殊角的三角函数计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式5-3】．（22-23高一上·甘肃武威·期中）已知
【答案】-1
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值.
【详解】.
故答案为：-1
【变式5-4】．（23-24高三上·北京·期中）化简（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】直接利用诱导公式化简得解.
【详解】.
故选：D.
【考点题型六】利用诱导公式给值求值问题
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察所给值与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【例6】．（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知是第三象限角，，则 .
【答案】
【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.
【详解】因为是第三象限角，，所以，
所以，
故答案为：.
【变式6-1】．（22-23高三上·福建漳州·期中）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式变形，结合特殊角的三角函数值求出即可.
【详解】由，得，而，因此，
所以.
故答案为：
【变式6-2】．（23-24高三上·上海闵行·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
【变式6-3】．（22-23高一下·福建福州·期中）若是第四象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为是第四象限角，所以
所以，
又因为，
故选：D
【变式6-4】．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ；
【答案】
【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值.
【详解】，
，
，
，
.
故答案为：.
【考点题型七】利用诱导公式化简求值
三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4).
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．
【例7】．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知，则（ ）.
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数之间的基本关系化简代入计算可得结果为.
【详解】由诱导公式可得，
将代入计算可得，原式.
故选：A
【变式7-1】．（22-23高一下·河南许昌·期中）已知，化简.
【答案】
【分析】根据诱导公式与商数关系化简.
【详解】．
【变式7-2】．（20-21高一下·陕西汉中·期中）已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由诱导公式求出，继而得出的值．
【详解】（1）
（2）∵，
∴．∴．
【变式7-3】．（20-21高一下·陕西汉中·期中）已知.
(1)化简；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可得出答案；
（2）利用诱导公式化简可得，再由特殊角的三角函数代入即可得出答案.
【详解】（1）
.
（2）由（1）知，
∴.
【考点题型八】诱导公式的综合应用
诱导公式常与函数、方程(组)、三角形等知识综合，解决此类问题的关键是利用诱导公式对式子正确变形．本题利用诱导公式将三角函数的角度统一后，可借助同角三角函数的基本关系求解，这样可避免公式交错使用而导致混乱．
【例8】．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知角是第三象限角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解；
（2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算．
【详解】（1）由题意，又在第三象限，，故解得；
（2）
．
【变式8-1】．（22-23高一上·福建福州·期中）已知，
(1)化简，并求.
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用 将变形为，继而变形为，代入求值即可.
【详解】（1）
，
则
（2）由（1）知，．
则
【变式8-2】．（21-22高一下·山东东营·期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；
（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
【变式8-3】．（22-23高一上·江苏无锡·期末）如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）点P的横坐标为，
，又，
，
；
（2）.