【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题01平面直角坐标系中的直线全章复习攻略-考点归纳讲练.zip

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1．倾斜角的相关概念
(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan α.
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线的方向向量坐标
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up8(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
4．两条直线平行与斜率之间的关系
5．两条直线垂直与斜率之间的关系
6．直线的点斜式方程和斜截式方程
7．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
符号：可正，可负，也可为零．
1．直线的两点式和截距式方程
8．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
9.直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
10．两条直线的交点坐标
11.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：
12.两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
13.点到直线和两条平行线间的距离

【考查题型一】确定直线位置的几何要素
【例1】．（2023秋•浦东新区校级期中）直线经过第一、二、四象限，则、、应满足
A．，B．，C．，D．，
【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距，即可得到直线的位置．
【解答】解：直线的斜截式方程为，
直线通过第一，二，四象限．
即直线的斜率，截距，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查直线的方程的应用，将方程转化为斜截式是解决本题的关键，比较基础．
【变式1-1】．（2023秋•浦东新区校级月考）如果，，那么直线不通过第 象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由题意，求得该直线的斜率和在轴上的截距，从而得出结论．
【解答】解：如果，，则、异号，，，
直线，即，它的斜率为大于零，在轴上的截距小于零，
故该直线不通过第二象限．
故选：．
【点评】本题主要考查确定直线的几何要素，属于基础题．
【考查题型二】直线的倾斜角
【例2】．（2023秋•宝山区月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系，算出直线的倾斜角．
【解答】解：根据题意得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，考查概念的理解能力，属于基础题．
【变式2-1】．（2023秋•浦东新区校级期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 ．
【分析】由，两点的坐标可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
【解答】解：由，，可得，
设直线的倾斜角为，且，，
所以，可得．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及倾斜角的求法，属于基础题．
【变式2-2】．（2023秋•浦东新区校级期中）直线的倾斜角为 ．
【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角．
【解答】解：由于直线的斜率为，设倾斜角为，则，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
【变式2-3】．（2023秋•普陀区校级期中）直线的倾斜角的取值范围是 ．
【分析】分别讨论直线的斜率垂直和不存在两种情况，再由的范围，可得直线的斜率的范围，进而求出直线的倾斜角的范围．
【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率为，则它的倾斜角的范围为，；
当时，则直线的斜率为，则它的倾斜角的范围为，；
综上所述：直线的倾斜角的范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查分类讨论的思想及直线的倾斜角的范围的求法，属于基础题．
【变式2-4】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知点，，则直线的倾斜角 ．
【分析】由，两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
【解答】解：由，，可得直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及直线的倾斜角的求法，属于基础题．
【变式2-5】．（2023秋•虹口区校级月考）若，，且过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 ．
【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出．
【解答】解：如图示：
，，
过点的直线与线段有公共点，
或．
直线的斜率的取值范围是，，，
倾斜角的取值范围是是，．
故答案为：，，，，．
【点评】本题考查了斜率的计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式2-6】．（2023秋•浦东新区校级月考）若直线与直线的倾斜角相等，则实数 ．
【分析】首先将直线化为斜截式，依题意可得，即可得解．
【解答】解：直线即，
直线即，
因为直线与直线的倾斜角相等，
所以，即．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了直线平行的性质，是中档题．
【变式2-7】．（2022秋•上海期末）已知直线，，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
【分析】设直线的倾斜角为，，．可得，，即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为，，．
则，，
，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【考查题型三】直线的斜率
【例3】．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，则直线的斜率为 ．
【分析】利用经过两点的直线的斜率公式加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
【变式3-1】．（2023秋•奉贤区校级月考）若直线和直线斜率互为相反数，则 ．
【分析】由两条直线的方程可得它们的斜率，由题意可得的值．
【解答】解：由题意可得直线的斜率，
直线的斜率，
由题意可得，整理可得：，
解得或，都符合条件．
故答案为：或0．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．
【变式3-2】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知经过两点，的直线的斜率为1，则的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合斜率公式，即可求解．
【解答】解：经过两点，的直线的斜率为1，
，解得．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题．
【变式3-3】．（2023秋•宝山区校级月考）在线段上运动，已知，，则的取值范围是 ．
【分析】画出图形，求出的斜率，即可得到的取值范围．
【解答】解：如图：表示线段上的点与连线的斜率，
，，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查计算能力．
【变式3-4】．（2023秋•徐汇区校级月考）已知线段的端点，，直线与线段相交，则的取值范围是 ．
【分析】首先求出直线恒过的定点，再利用直线的斜率关系式求出结果．
【解答】解：由于线段的端点，，直线与线段相交，
直线整理得，故直线恒过点，
由于直线与线段相交，
故直线的斜率满足．
即的取值范围满足：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
【考查题型四】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【例5】．（2023秋•普陀区校级期中）如果，，那么直线不通过第 象限．
【分析】由题意直线可化为．由于，，分类讨论：若，则，，可得，；若，则，，可得，，即可得出直线经过的象限，进而判断出．
【解答】解：由题意直线可化为．
，，若，则，，，，直线经过第一、四、三象限．
若，则，，，，直线经过第一、四、三象限．
综上可得：直线经过第一、四、三象限，不通过第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了直线的斜率与截距的意义、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
【考查题型五】三点共线
【例5】．（2023秋•宝山区校级月考）若、、三点不能构成三角形，则 ．
【分析】由题意可知点在直线上时，三点构不成三角形，求出直线的方程，将点的坐标，可得的值．
【解答】解：、、三点构不成三角形，则点在直线上，
直线的斜率为：，
设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得．
故答案为：0．
【点评】本题考查直线的求法，属于基础题．
【变式5-1】．（2023秋•徐汇区校级月考）已知，， 三点在同一条直线上，则 的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：已知，，三点在同一条直线上，
则，整理得：，解得或．
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查三点共线，属于基础题．
【考查题型六】直线的点斜式方程
【例6】．（2023秋•奉贤区校级期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 ．
【分析】由已知直线的法向量及直线所过定点，直接写出直线的点法式方程．
【解答】解：直线的一个法向量为，且经过点，
则的点法式方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的点法式方程，是基础题．
【变式6-1】．（2023秋•徐汇区校级月考）直线过，且的一个法向量，则直线的点法向式方程为 ．
【分析】由题意直接求出直线的点法式方程．
【解答】解：直线过，且的一个法向量，
则直线的点法向式方程为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的点法式方程，属于基础题．
【考查题型七】直线的斜截式方程
21．（2023秋•浦东新区校级期中）直线过点且倾斜角为，则直线的方程为 ．
【分析】直线过点且倾斜角为，则斜率不存在，直接写出方程即可
【解答】解：直线过点且倾斜角为，则斜率不存在，
故直线的方程为，
故答案为：
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系，是基础题目．
【考查题型八】直线的截距式方程
【例8】．（2023秋•虹口区校级月考）直线在轴上的截距为 ．
【分析】根据截距的性质进行求解即可．
【解答】解：在直线方程中，令，
则有，即，
所以直线在轴上的截距为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线基本概念，属于基础题．
【变式8-1】．（2023秋•松江区月考）已知直线过点．
（1）若直线过点，求直线的方程；
（2）若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程．
【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程；
（2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程．
【解答】解：（1）由直线过点，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
（2）直线过点，在轴和轴上的截距相等，
设直线的方程为，，
令得，令得，则，
解得或，
所以直线的方程为或．
【点评】本题考查直线的截距式方程的应用，属于基础题．
【考查题型九】直线的一般式方程与直线的性质
【例9】.（2023秋•杨浦区校级期中）已知直线，点，、，，设，，以下选项中命题都正确的为
（1）若，则线段的中点在直线上
（2）若，则直线与直线平行
（3）若，则点、分布在直线的两侧
（4）若，则直线与线段的延长线相交
A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【分析】根据已知条件，对（1）（2）（3）（4）中的结论逐一分析判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于（1），因为，所以，
整理得，所以线段的中点在直线上，（1）正确；
对于（2），当时，满足，此时有，，
即，、，均在直线上，所以得不出与直线平行，（2）错误；
对于（3），由，得到，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知选项正确；
对于（4），由，得到，则有，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知点、分布在直线的同侧，
且由，得到，
所以，从而有，所以（4）正确，
故选：．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、中点坐标公式、平行直线的斜率关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
【变式9-1】．（2023秋•普陀区校级期中）直线经过点且一个法向量为，则直线的一般式方程为 ．
【分析】先根据法向量求出直线的斜率，再应用点斜式求出直线方程，最后化简为一般式即可．
【解答】解：由直线方程一个法向量为，所以直线的斜率为，
点斜式得的方程，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题．
【变式9-2】．（2023秋•虹口区校级月考）已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为，则的最小值为 ．
【分析】直线，，两条直线都经过定点．对于直线，令，可得与坐标轴的交点．对于，令 可得与坐标轴的交点，，再利用面积计算公式即可得出．
【解答】解：直线，，两条直线都经过定点．
，对于直线，令，可得与坐标轴的交点．
对于，令 可得与坐标轴的交点，．
，与两坐标轴围成的四边形可以看成由一个直角梯形和一个直角三角形组成，如图：
故它的面积．
当时，取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与坐标轴的交点、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【变式9-3】．（2023秋•徐汇区校级月考）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点．
（1）当的面积最小时，求直线的一般式方程；
（2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．
【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；
（2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，
【解答】解：（1）设的方程为，
由直线过得，
由基本不等式得：，即，解得：，
当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；
（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点、点，
所以直线的斜率存在，
可设直线的方程为，
所以，，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
此时直线的方程为，的最小值为4．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于中档题．
【变式9-4】．（2023秋•虹口区校级月考）已知点，，，，过点作斜率为的直线分别交线段和线段于，两点，求的面积关于的函数．
【分析】先利用直线与线段的交点与斜率之间的关系求出的范围，再直接利用直线间的位置关系和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：若直线与线段有交点，且、与和不重合，
则满足：，
由于：，，
故．
设直线的方程为：，即：，由（2）知：
由于直线；直线．
由，得到，故， ．
同理：得：，，
所以：，
原点到直线的距离，
所以．
由于，，
所以面积关于的函数，，．
【点评】本题主要考查直线方程的应用，直线与线段的交点与斜率之间的关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
【考查题型十】直线的一般式方程与直线的平行关系
【例10】．（2023秋•虹口区校级月考）“”是“与直线平行”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】根据直线平行得到方程，经检验后得到，从而得到答案．
【解答】解：由题意得，解得，
当时，两直线为与，此时两直线重合，舍去；
当时，两直线为和，此时两直线不重合，满足要求，
故“”是“与直线平行”的充要条件．
故选：．
【点评】本题考查充要条件的判断，属于基础题．
【变式10-1】．（2023秋•奉贤区校级月考）若直线与直线平行，则的值为
A．2B．C．D．
【分析】利用直线平行的性质得到关于的方程组，从而得解．
【解答】解：因为直线与直线平行，显然，
所以，即，解得，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题．
【变式10-2】．（2023秋•徐汇区校级月考）经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程为： ．
【分析】联立，即可解得交点．设过点且与直线平行的直线方程为．把点代入可得即可．
【解答】解：联立，
解得，
得到交点．
设过点且与直线平行的直线方程为．
把点代入可得：，
解得．
因此所求的直线方程为：，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了相交直线的交点、相互平行的直线之间的关系，属于基础题．
【变式10-3】．（2023秋•徐汇区校级月考）若直线和直线平行，则 ．
【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解．
【解答】解：因为直线和直线平行，
所以，解得．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两条直线平行的充要条件，属于基础题．
【变式10-4】．（2023秋•宝山区校级月考）已知直线经过两条直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线与夹角为，求直线的方程．
【分析】（1）联立两条直线方程，求出交点坐标，再利用直线与直线平行的性质能求出结果．
（2）联立两条直线方程，求出交点坐标，利用两条直线夹角公式及直线的点斜式方程能求出结果．
【解答】解：（1）直线经过两条直线和的交点，
由，得，
两条直线和的交点为，
直线与直线平行，
设直线的方程为，，
把代入直线的方程，得，解得，
直线的方程为；
（2）直线过直线和的交点，且与夹角为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不成立；
当直线的斜率存在时，，
解得或，
直线的方程为或，
即或．
【点评】本题考查直线交点坐标、直线与直线平行、两直线夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【考查题型十一】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【例11】．（2023秋•宝山区校级月考）设，，分别是中，，，所对边的边长，则直线与的位置关系是
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【分析】要寻求直线与的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．
【解答】解：由题意可得直线的斜率，的斜率
则直线与垂直
故选：．
【点评】本题主要考查了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．
【变式11-1】．（2023秋•虹口区校级月考）若中，，，分别为三内角，，的对边，且，则直线与直线
A．平行B．重合C．相交且垂直D．相交且不垂直
【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果．
【解答】解：因为，，，所以，，均为正数，
由，即，
可得，即，
对于直线，即，
对于直线，即，
由正弦定理可得，所以直线与直线重合．
故选：．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
【变式11-2】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知直线的倾斜角为．则下列直线中，与直线垂直的是
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
对于，直线的斜率为，，即该直线与直线垂直，故正确，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
【变式11-3】．（2022秋•闵行区校级期末）直线的一个法向量为 ．
【分析】根据已知条件，结合法向量的定义，即可求解．
【解答】解：直线的一个法向量为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查法向量的定义，属于基础题．
【变式11-4】．（2022秋•杨浦区校级期末）已知直线，，若，则实数的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线，，，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
【变式11-5】．（2023秋•浦东新区校级月考）已知直线的方程为，若直线过点，，且．
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
【分析】（1）由已知结合直线垂直时的斜率关系可求的斜率，进而可求直线方程；
（2）由已知对所求直线的截距是否为0进行分类讨论，进而可求．
【解答】解：（1）因为直线过点，，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或．
【点评】本题主要考查了直线的交点坐标，直线垂直的斜率关系，直线的截距式方程的应用，属于基础题．
【变式11-6】．（2023秋•浦东新区校级月考）已知直线与直线，．
（1）若，求的值；
（2）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
【分析】（1）由两条直线垂直的充要条件可得的值；
（2）由题意可得的值，即求出点的坐标，分类讨论直线，当在直线过原点和不过原点两种情况，分别求出直线的方程．
【解答】解：（1）因为直线与直线，，
而，可得，
解得或，
所以的值为0或；
（2）因为点在直线上，所以，可得，
即，
因为直线过，且两坐标轴上的截距之和为0，
当直线过原点时，显然符合条件，这时直线的方程为；
当直线不过原点时，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
令，可得，即直线在上的截距为，
令，可得，即直线在上的截距为，
由题意可得：，整理可得：，解得或，
这时直线的方程为：或，
即直线的方程为（舍或，
综上所述：直线的方程为或．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用及分类讨论求截距和为0的方程的求法，属于基础题．
【变式11-7】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知直角坐标系中三点，，．
（1）求边上的高所在直线的方程．
（2）求以三点为顶点的三角形的面积．
【分析】（1）根据，，可知边上的高所在直线与轴垂直，从而得出所求直线的方程；
（2）求出，点到直线的距离，根据三角形面积公式即可求得结果．
【解答】解：（1），，
边上的高所在直线的方程为：；
（2），
线与轴平行，所以到直线的距离为5，
所以三角形的面积为．
【点评】本题考查直线的方程，两点间距离公式，属中档题．
【考查题型十二】待定系数法求直线方程
【例12】．（2023秋•徐汇区校级月考）已知的顶点，，且重心的坐标为．
（1）求的面积；
（2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的一般式方程．
【分析】（1）利用重心公式求得点的坐标，再求出点到直线的距离，由，得解；
（2）写出直线和的中垂线方程，联立求得的外心，再由外心和重心两点的坐标，根据直线方程的点斜式写出欧拉线方程，得解．
【解答】解：（1）设点的坐标为，
因为，，重心，
所以，解得，即，
而，直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
所以的面积为．
（2）因为，，，
所以直线的中垂线方程为，直线的斜率为，线段的中点坐标为，
所以直线的中垂线方程为，即，
联立，解得，
所以的外心为，
由点和点，知的欧拉线方程为，即，
故的欧拉线的一般式方程为．
【点评】本题考查直线与圆的综合问题，熟练掌握重心公式，点到直线的距离公式，三角形外接圆圆心的求法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【变式12-1】．（2023秋•浦东新区校级期中）直线过点，
（1）若直线过点，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．
【分析】（1）利用点斜式即可得出．
（2）当直线经过原点时，可得直线的方程为：．当直线不经过原点时，可得直线的方程为：，把点代入解得即可得出．
【解答】解：（1）由点斜式可得直线的方程：，化为：．
（2）当直线经过原点时，可得直线的方程为：，即．
当直线不经过原点时，可得直线的方程为：，把点代入可得：，即．
直线的方程为：．
综上可得直线的方程为：，或．
【点评】本题考查了直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【考查题型十三】两条直线的交点坐标
【例13】．（2023秋•徐汇区校级月考）设，，三条直线，，，则与的交点到的距离的最大值为 ．
【分析】根据直线，的方程易知，而直线，分别过定点，，所以与的交点在以为直径的圆上，直线过定点，即可利用圆心到的距离加半径解出．
【解答】解：因为，所以．
而直线即过定点，
即过定点，
所以与的交点在以为直径的圆上，圆方程为，即，
所以到的距离的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的轨迹方程，考查了转化思想，属于中档题．
【考查题型十四】过两条直线交点的直线系方程
【例14】．（2023秋•虹口区校级月考）不论为何值，直线都过定点 ．
【分析】将直线的方程是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【解答】解：直线可为变为
令解得：，
故不论为何值，直线恒过定点
故答案为：；
【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键．是基础题．
【考查题型十五】与直线关于点、直线对称的直线方程
【例15】．（2023秋•杨浦区校级期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射．反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）．若、、和，则的斜率的取值范围是 ．
【分析】根据题意，线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，再加以观察即可得出答案．
【解答】解：由题意，可得，，设，则线段的斜率，
为使点落在线段上（不包括端点），所以当落到点，点时为相应的两种临界位置，
当落到点时，由题意知点为的中点，且从点出发又回到点，所以此时位于线段的中点位置，
所以得此时的斜率：，
当落到点时，点与点重合，如下图所示，
设，可得：，且，所以，，，
所以，解之得，此时斜率为．
综上所述，的斜率满足，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、平面直角坐标系中两条直线的位置关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
【变式15-1】．（2023秋•奉贤区校级月考）点关于直线的对称点为 ．
【分析】由题意，利用点关于直线对称的性质，用待定系数法求出对称点的坐标．
【解答】解：设点关于直线的对称点为，
则由垂直、中点在轴上可得，求得，
可得对称点为的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查点关于直线对称的性质，属于基础题．
【变式15-2】．（2023秋•浦东新区校级月考）已知点，，．
（1）求过点且和直线平行的直线的方程；
（2）若过的直线和直线关于直线对称，求的方程．
【分析】（1）求出的斜率，根据直线平行的斜率关系，利用点斜式方程即可求出直线的方程；
（2）求出关于直线的对称点．利用两点是非常即可求的方程．
【解答】解：（1）直线的斜率为，
则过点且和直线平行的直线的方程的斜率；
则直线方程为，即；
（2）直线的方程为，
设关于对称的点的坐标为，
则，即，
即，
则经过点，
则的方程为．
即．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据直线平行以及点的对称性，利用点斜式方程和两点式方程是求直线方程的常用方法．
【变式15-3】．（2023秋•徐汇区校级月考）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，发射后又回到点（如图）．若光线经过的重心（三角形三条中线的交点），则 ．
【分析】建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系：
可得，，故直线的方程为，
的重心为，，
设，其中，
则点关于直线的对称点，满足，
解得，
即，易得关于轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共线，
直线的斜率为，故直线的方程为．
由于直线过的重心，，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，，故，
故答案为．
【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
【考查题型十六】点到直线的距离公式
【例16】．（2023秋•奉贤区校级期中）已知直线，则原点到直线的距离的最大值是 ．
【分析】由直线的方程可得直线恒过的定点的坐标，可得当时，则到直线的距离最大，求出的最大值．
【解答】解：将整理可得，
可得，解得，，
即直线恒过定点，
当时，则到直线的距离最大，
且最大距离为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查直线恒过定点的求法，属于基础题．
【变式16-1】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知点和点到直线的距离相等，则 ．
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：点和点到直线的距离相等，
，解得或．
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
【变式16-2】．（2023秋•浦东新区校级月考）点到直线的距离是 ．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点到直线的距离．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式16-3】．（2023秋•青浦区校级月考）已知点在直线上，则的最小值为 ．
【分析】考虑的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线的距离即可．
【解答】解：的几何意义是到原点的距离，
它的最小值转化为原点到直线的距离：．
故答案为3．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题．
【变式16-4】．（2023秋•浦东新区校级月考）过点作直线，不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 ．
【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点，可得在以为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．
【解答】解：由直线，不同时为零）
化为，
令，解得，，
直线经过定点，
由为直角三角形，斜边为，
在以为直径的圆上运动，
可得圆心为，半径为，
则与的最大值为；
与的最小值为，
则的取值范围是，，
故答案为：，．
【点评】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
【扁丝16-5】．（2023秋•奉贤区校级月考）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点．
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
（3）当取得最小值时，求的面积．
【分析】（1）将直线方程化为，即可确定定点；
（2）由题意到直线的距离，列方程求参数，即可得直线方程；
（3）由题意，，且、，结合基本不等式求最小值，确定取值条件，进而求的面积．
【解答】解：（1）直线，整理可得：，
可得直线恒过；
（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，
即到直线的距离，
两边平方可得：，整理得，
所以，
所以，即．
（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，，且、，
因为，所以，，
所以，仅当时等号成立，
所以时取最小值，
当，则，，此时的面积为；
当，则，，此时的面积为；
所以的面积为或．
【点评】本题考查点到直线的最大距离的求法，属于基础题．
【变式16-6】．（2023秋•青浦区校级期中）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
（1）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标；
（2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．
【分析】（1）设直线，，的斜率分别为，，，则根据题意可得，解方程组求出，，，从而可求出，的方程，进而解方程组可求出点的坐标，
（2）根据题意设，，其中，然后利用点到直线的距离公式求出到直线，的距离的积，化简后利用基本不等式可求得其范围．
【解答】解：（1）设直线，，的斜率分别为，，，
则，得，，或，，．
当，，时，直线的方程为，直线的方程为，
由，解得，则；
当，，时，直线的方程为，直线的方程为，
由，解得，则；
故所求为或；
（2）设，，其中，
故
由于（等号成立的条件是，
故，．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于中档题．
【考查题型十七】两条平行直线间的距离
【例17】．（2023秋•浦东新区校级期中）平行直线与的距离为 ．
【分析】结合平行线间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线即为，
平行直线与的距离．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线间的距离公式，属于基础题．
【变式17-1】．（2023秋•迎泽区校级月考）已知两条直线和，其中．若，则直线与之间的距离为 ．
【分析】根据两直线平行列方程求出的值，再计算两直线之间的距离．
【解答】解：由直线和，
若，则，解得或，
当时，和，
所以直线与之间的距离为；
当时，和，
两直线重合，不满足题意；
综上，两直线之间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了两条平行线之间的距离计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
【变式17-2】．（2023秋•青浦区校级期中）已知直线，直线，则与之间的距离为 ．
【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案．
【解答】解：依题意，与之间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
【变式17-3】．（2023秋•杨浦区校级期中）已知两条直线和．
（1）讨论直线与的位置关系；
（2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值．
【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为．
【解答】解：（1），且时，两直线相交，
时，两直线方程分别为和，两直线重合，
时，两直线方程分别为和，两直线平行．
综上，且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行；
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和，
即为和，距离为，
两直线相交时，且，
时，的斜率为，的斜率为，
由得，即时两直线垂直，夹角最大为．
【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
名称
两点式方程
截距式方程
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2
在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.
示意图
直线方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
适用范围
斜率存在且不为零
斜率存在且不为零，不过原点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
名称
点到直线的距离
两平行线间的距离
概念
过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离
夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离
条件
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0
公式
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))