2023-2024学年福建省龙岩市长汀一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市长汀一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若z=(3+i)(2−i)，则z的共轭复数为( )
A. 5+iB. 7+iC. 5−iD. 7−i
2.已知z=(1+i)32−2i−2i，则z−的虚部为( )
A. 4B. 2C. −2D. −4
3.已知向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，则(2a−b)⋅a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
4.在△ABC中，AC=3，BC= 7，AB=2，则△ABC的面积为( )
A. 2 3B. 3 32C. 262D. 32
5.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=−e1+λe2，CD=e1+(1−λ)e2，且A，C，D三点共线，则λ=( )
A. 12B. 2C. 4D. 14
6.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cs2A+cs2A=0，a=7，c=6，则b=( )
A. 10B. 9C. 8D. 5
7.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB=AM，yAC=AN，则1x+1y的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，OA⋅OB=−12，若OC=xOA+yOB，则x+52y的最大值为( )
A. 11B. 13C. 15D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. 若z1−z2>0，则z1>z2B. 若z12=z22，则|z1|=|z2|
C. |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|D. 若|z1|=1，则|z1+2i|的最大值为3
10.已知向量a=(−2,1),b=(1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a/​/b，则t=−12
B. 若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2
C. 若(a+b)⊥(a−b)，则t=2
D. 若b在a方向上的投影为− 5，则t=−3
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=1，则CA⋅AB=1
B. 当t∈R时，|AC−t⋅AB|最小值为 3
C. 当△ABC有两个解时，a的取值范围是[ 3,2)
D. 当△ABC为锐角三角形时，a的取值范围是( 3,2 3)
12.已知△ABC，若点P满足3PA+2PB+PC=0，则下列说法正确的是( )
A. 点P一定在△ABC内部B. 4PA+2PB=CA
C. S△ABC=3S△PACD. 2S△PAB+S△PAC=S△PBC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(−1,3)，b=(6,8)，若(a−λb)⊥a，则λ= ______．
14.三角形ABC中，A=45°，B=75°，AB边的长为2 6，则BC边的长为______
15.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,BC=4BE，则CA⋅DE= ______．
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三条中线相交于点G.已知b=c=2，a=3，∠ABC的平分线与AC相交于点D．
(1)边AC上的中线长为 22
(2)△BCD与△BAD面积之比为3：2
(3)G到AC的距离为 74
(4)△ABC内切圆的面积为9π28
上述四个结论，其中所以正确的序号为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
18.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=45°，∠BAD=105°，AD= 62，BC=2，AC=3．
(1)求边AB的长；
(2)求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距25 6海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西75°，这时位于B点南偏西45°且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．
(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
20.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ABC=2π3，D为AC边上一点且AB⊥BD，BD=2．
(1)若CD= 2，求△BCD的面积；
(2)求2AD−1CD的取值范围．
21.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acsC− 3asinC=b−2c．
(1)求角A；
(2)已知AB=2，AC=6，M点为BC的中点，N点在线段AC上且|AN|=13|AC|，点P为AM与BN的交点，求∠MPN的余弦值．
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于G.已知b=4，且2csinAcsB=asinA−bsinB+14bsinC．
(1)求c边的长度；
(2)若cs∠BAD= 217，求∠BAC的余弦值；
(3)在(2)的条件下，若S△ABC=4S△AEF，求AG⋅EF的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，z=(3+i)(2−i)=7−i，
故z的共轭复数为7+i．
故选：B．
根据复数的乘法运算可得出z，进而根据共轭复数的概念可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=(1+i)32−2i−2i=2i(1+i)2−2i−2i=i(1+i)1−i−2i=i(1+i)2(1−i)(1+i)−2i=−1−2i，
所以z−=−1+2i，则z−的虚部为2．
故选：B．
根据复数运算法则与共轭复数概念直接求解即可．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，
∴(2a−b)⋅a=2a2−a⋅b=2×32−3×4×cs60°
=18−3×4×12=12．
故选：B．
由向量的运算法则及数量积公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵AC=3，BC= 7，AB=2，
∴csA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=9+4−72×3×2=12，
∴sinA= 32，
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12×3×2× 32=3 32．
故选：B．
先根据余弦定理求出夹角，再根据三角形的面积公式即可求出．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB=4e1+2e2，BC=−e1+λe2，
∴AC=AB+BC=3e1+(2+λ)e2，
∵A，C，D三点共线，
∴AC=μCD，即3e1+(2+λ)e2=μ[e1+(1−λ)e2]=μe1+μ(1−λ)e2，
∴3=μ2+λ=μ(1−λ)，解得μ=3λ=14．
故选：D．
由AC=AB+BC，表示出向量AC，再根据平面向量共线的条件知AC=μCD，从而列得关于λ和μ的方程组，解之即可．
本题考查平面向量的基本定理，平面向量共线的条件，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵23cs2A+cs2A=23cs2A+2cs2A−1=0，即cs2A=125，A为锐角，
∴csA=15，
又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bc⋅csA，即49=b2+36−125b，
解得：b=5或b=−135(舍去)，
则b=5．
故选：D．
利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出csA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意AG=λAM+(1−λ)AN且0≤λ≤1，而xAB=AM，yAC=AN，
所以AG=xλAB+y(1−λ)AC，
又G是△ABC的重心，故AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，
所以xλ=13y(1−λ)=13，可得13x+13y=1，即1x+1y=3．
故选：A．
由向量共线的推论知AG=λAM+(1−λ)AN且0≤λ≤1，结合已知有AG=xλAB+y(1−λ)AC，再由重心的性质有AG=13(AB+AC)，根据平面向量基本定理列方程组即可求值．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，OA⋅OB=−12，
则|OA||OB|=1×1×cs∠AOB=−12，
即cs∠AOB=−12，
即∠AOB=2π3，
不妨设A(1,0)，B(−12, 32)，C(csθ,sinθ)，θ∈[0,2π3]，
又OC=xOA+yOB，
则(csθ,sinθ)=(x−y2, 3y2)，
则x−y2=csθ， 3y2=sinθ，
则x+52y=csθ+2 3sinθ= 13sin(θ+φ)，(tanφ= 36)，
当θ+φ=π2时，x+52y取最大值 13，
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式求三角函数的最值即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：若复数z1=2+i，z2=1+i，满足z1−z2>0，但这两个虚数不能比大小，A错误；
若z12=z22，则z12−z22=0，即(z1+z2)(z1−z2)=0，
得z1=z2或z1=−z2，所以|z1|=|z2|，B正确；
设z1=a1+b1i(a1,b1∈R)，z2=a2+b2i(a2,b2∈R)，
则z1⋅z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i，
|z1⋅z2|= (a1a2−b1b2)2+(a1b2+a2b1)2= (a1a2)2+(b1b2)2+(a1b2)2+(a2b1)2，
|z1||z2|= a12+b12 a22+b22= (a1a2)2+(b1b2)2+(a1b2)2+(a2b1)2，
所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|，C正确；
若|z1|=1，则z1对应的点为单位圆上点，
则|z1+2i|的最大值为圆心(0,0)到点(0,−2)的距离加上半径，即为3，
则|z1+2i|的最大值为3，D正确．
故选：BCD．
利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD．
本题考查复数的运算，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：选项A，若a/​/b，则−2t=1，所以t=−12，即A正确；
选项B，a与b的夹角为钝角，则a⋅b<0且cs≠−1，
即−2+t<0且t≠−12，故B不正确；
选项C，若(a+b)⊥(a−b)，可得(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，可得(−2)2+12=t2+12，解得t=±2，即C不正确；
选项D.设a与b的夹角为θ，则，|b|csθ=a⋅b|a|=− 5，
所以−2+t 5=− 5，解得t=−3，故D正确．
故选：AD．
A，根据两个向量平行的条件，即可得解；
B，根据夹角为钝角得到关于t的不等式，解之即可；
C，根据条件得到模长相等，进而求解；
D，设a与b的夹角为θ，则由数量积公式求解得到b在a方向上的投影，从而可得关于t的方程，解方程即可判定结果
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的数量积，平行的条件，模长的计算等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，
若c=1，则CA⋅AB=|CA|⋅|AB|cs(π−A)=−bccsA=−1，A选项错误；
当t∈R时，|AC−t⋅AB|2=AC2−2tAC⋅AB+t2⋅AB2=b2−2tbccsA+t2c2
=4−2tc+t2c2=3+(1−tc)2≥3，当tc=1时等号成立，
所以|AC−t⋅AB|最小值为 3，B选项正确；
由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa= 3a，
当△ABC有两个解时，a则a的取值范围是( 3,2)，C选项错误；
A=π3，C=π−A−B=2π3−B，
当△ABC为锐角三角形时，0解得π6a=bsinAsinB= 3sinB，所以a的取值范围是( 3,2 3)，D选项正确．
故选：BD．
定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求|AC−t⋅AB|，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求△ABC有两个解时需要的条件判断选项C；由△ABC为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求a的取值范围判断选项D．
本题考查解三角形与平面向量数量积的综合应用，属中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为3PA+2PB+PC=0，所以2(PA+PB)+(PA+PC)=0，
设M、N分别是AB、AC的中点，则2PM+PN=0，
所以点P是中位线MN上靠近点M的三等分点，则点P一定在△ABC内部，故A正确；
对于B，又因为3PA+2PB+PC=0，所以3PA+2PB=−PC，则4PA+2PB=PA−PC=CA，故B正确；
对于C，由A选项可知：S△PBC=12S△ABC，S△ABP=12S△APC，且S△ABP+S△APC=12S△ABC，
所以S△ABP=16S△ABC，S△APC=13S△ABC，即S△ABC=3S△PAC，故C正确；
所以S△PAB+S△PAC=S△PBC，故D错误．
故选：ABC．
设M、N分别是AB、AC的中点，依题意可得2PM+PN=0，从而得到点P是中位线MN上靠近点M的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．
13.【答案】59
【解析】解：∵(a−λb)⊥a，
∴(a−λb)⋅a=a2−λa⋅b=0，
又∵a=(−1,3)，b=(6,8)，
∴a2=10,a⋅b=−6+24=18，
∴10−18λ=0，
∴λ=59．
故答案为：59．
根据(a−λb)⊥a得出(a−λb)⋅a=0，然后根据向量a,b的坐标即可得出关于λ的方程，解出λ的值即可．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠C=180°−∠A−∠C=60°，
又∵AB=2 6，
由正弦定理：BCsinA=ABsinC，可知：BC=AB⋅sinAsinC=2 6× 22 32=4．
故答案为：4．
利用三角形内角和定理可求C的值，进而根据正弦定理求得BC得值．
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
15.【答案】−154
【解析】解：在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，
过B作CD的垂线，垂足为F，FC=12，BF= BC2−FC2= 152，
以CD的中点O为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得D(−32,0),C(32,0),A(−1, 152),B(1, 152)，
由BC=4BE，得E(98,3 158)，
所以CA=(−52, 152),DE=(218,3 158)，
则CA⋅DE=−52×218+ 152×3 158=−154．
故答案为：−154．
建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
16.【答案】(2)(3)(4)
【解析】解：对于(1)，如图，取AB，AC，BC边上的中点N，F，E，则边AC上的中线为BF=12(BA+BC)，则4BF2=BA+BC2+2|BA|⋅|BC|csB，
即4BF2=4+9+2×2×csB×3，又因为csB=4+9−42×2×3=912=34，
则4BF2=4+9+2×2×3×34=22，则|BF|= 222，故(1)不正确；
对于(2)，由角平分线定理知：S△BCDS△BAD=CDAD=BCAB=ac=32，所以(2)正确；
对于(3)，因为b=c=2，在三角形BFA和三角形BFC中，cs∠AFB=−cs∠BFC，
则1+BF2−42BF=−1+BF2−92BF，解得BF= 222，所以GF=13× 222= 226，
所以cs∠BFA=1+BF2−42BF=1+112−4 22=5 2244，所以sin∠BFA=3 15444，
所以G到AC的距离为GFsin∠BFA=3 15444× 226= 74，故(3)正确；
对于(4)，因为csB=34，sinB= 1−916= 74，设△ABC内切圆的为r，
所以S△ABC=12acsinB=12(a+b+c)r，则3×2× 74=(2+2+3)r，解得r=3 714，
所以△ABC内切圆的面积为：S=π(3 714)2=9π28，故(4)正确．
故答案为：(2)(3)(4)．
如图，取AB、AC、BC边上的中点N、F、E，则边AC上的中线为BF=12(BA+BC)，两边同时平方结合向量数量积即可判断(1)；由角平分线定理，S△BCDS△BAD=CDAD=BCAB，可判断(2)；G到AC的距离为GFsin∠BFA，求出GF，sin∠BFA代入可判断(3)；设△ABC内切圆的为r，由S△ABC=12acsinB=12(a+b+c)r，求出r即可判断(4)．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵(a+b)⊥b，|a|=5，|b|=4，
∴(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
∴5×4×cs〈a,b〉+16=0，
∴cs〈a,b〉=−45；
(2)由(1)知a⋅b=5×4×(−45)=−16，
∴(2a+b)2=4a2+b2+4a⋅b=4×25+16+4×(−16)=52，
∴|2a+b|=2 13．
【解析】(1)根据向量垂直得到(a+b)⋅b=0，由数量积的定义及运算律计算可得；
(2)首先求出a⋅b，再根据数量积的运算律求出(2a+b)2，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABD中，∠ABD=180°−(45°+105°)=30°，
由正弦定理得AB=AD⋅sin45°sin30∘= 62× 2= 3．
(2)在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB×BC=( 3)2+22−322 3×2=− 36．
∴sin∠ABC= 1−cs2∠ABC= 336．
∴S△ABC=12×AB×BC×sin∠ABC=12× 3×2× 336= 112．
【解析】(1)在△ABD中利用正弦定理可得解；
(2)在△ABC中，先由余弦定理得cs∠ABC，进而得sin∠ABC，最后利用面积公式求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题可知，AB=25 6，∠DBA=90°−75°=15°，∠DAB=90°−45°=45°，
所以∠ADB=180°−45°−15°=120°，
在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠DAB=ABsin∠ADB，
即BDsin45∘=25 6sin120°，
所以BD=25 6sin45°sin120°=25 6× 22 32=50海里；
(2)在△BCD中，∠CBD=180°−75°−45°=60°，BC=80，BD=50，
由余弦定理可得，
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD=6400+2500−2×80×50×12=4900，
所以CD=70海里，
所以所需时间为7035=2小时，
所以B点到D点的距离BD=50海里，救援船到达D点需要的时间为2小时．
【解析】(1)根据已知条件求出∠ADB，在△ABD中利用正弦定理即可求解；
(2)求出∠CBD，在△BCD中由余弦定理求出CD，再根据速度即可得所需要的时间．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵∠ABC=2π3，AB⊥BD，∴∠DBC=π6，
在△BCD中，DCsin∠DBC=BDsinC，解得：sinC= 22，∴C=π4，
∴sin∠BDC=sin[π−(π4+π6)]=sin(π4+π6)=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6= 2+ 64，
∴S△BDC=12⋅BD⋅DCsin∠BDC=12×2× 2× 2+ 64=1+ 32；
(2)在△BCD中，DCsin∠DBC=BDsinC，得：CD=2sinπ6sinC=1sinC，
在△ABD中，ADsin∠ABD=BDsinA，得：AD=2sinπ2sinA=2sinA，∴2AD−1CD=22sinA−11sinC=sinA−sinC，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3，
∴2AD−1CD=sinA−sinC=sin(π3−C)−sinC= 3cs(C+π3)，
∵0故2AD−1CD的取值范围为(− 32, 32)．
【解析】(1)在△BCD中，由正弦定理求得sinC的值，进而求得sin∠BDC，再由S=12BD⋅DCsin∠BDC，即可得解；
(2)在△ABD和△BCD中，分别利用正弦定理推出2AD=sinA和CD=1sinC，再结合两角差的正弦公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦公式和辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵acsC− 3⋅asinC=b−2c，
sinAcsC− 3sinAsinC=sinB−2sinC=sin(A+C)−2sinC，
化简得：2sinC=csAsinC+ 3sinAsinC，
2=csA+ 3sinA=2sin(A+π6)，
求得sin(A+π6)=1，
∴A+π6=π2，即A=π3．
(2)∵M点为BC的中点，
∴AM=12(AB+AC)，
∵|AN|=13|AC|,BN=AN−AB，
∴BN=13AC−AB，
∴AM⋅BN=(12AB+12AC)(13AC−AB)=−12AB2−13AB⋅AC+16AC2=2，
∵|AM|2=14(AB+AC)2=13，∴|AM|= 13，
∵|BN|2=(13AC−AB)2=4，∴|BN|=2，
∴cs=2 13×2= 1313．
即∠MPN的余弦值为 1313．
【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得角A；
(2)根据向量的线性运算表示AM，BN，根据向量数量积与模长求得夹角∠MPN的余弦值．
本题考查正弦定理边角互化的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)△ABC中，2csinAcsB=asinA−bsinB+14bsinC，由正弦定理得，2accsB=a2−b2+14bc，
由余弦定理得，2ac⋅a2+c2−b22ac=a2−b2+14bc，化简得c=14b，又因为b=4，所以c=1．
(2)因为D为BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，设AB、AC的夹角为θ，
所以AD2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)=14(c2+2cbcsθ+b2)=14(17+8csθ)，
|AD|=12 17+8csθ，AB⋅AD=1×12 17+8csθ×cs∠BAD=12 17+8csθ× 217，
又AB⋅AD=AB⋅12(AB+AC)=12AB2+12AB⋅AC=12c2+12cacsθ=12(1+4csθ)，
所以 17+8csθ× 217=1+4csθ，
化简得28cs2θ+8csθ−11=0，解得csθ=12或csθ=−1114，
又因为1+4csθ>0，所以csθ=12，
即∠BAC的余弦值为12．
(3)因为∠BAC的余弦值为12，所以∠BAC=π3，
所以△ABC的面积为S=12cbsinπ3=12×1×4× 32= 3，
设AE=x，AF=y，因为S△ABC=4S△AEF，所以S△AEF=12xysinπ3= 34，即xy=1，
设AG=λAD，则AG=λAD=λ2AB+λ2AC，又E，G，F三点共线，
可设AG=μAE+(1−μ)AF，则AG=μAE+(1−μ)AF=xμAB+14y(1−μ)AC，
由向量相等得xμ=λ214y(1−μ)=λ2，解得μ=y4+y，所以AG=14x+yAB+14x+yAC，
又EF=y4AC−xAB，所以AG⋅EF=(14x+yAB+14x+yAC)⋅(y4AC−xAB)=9y−6x2(4x+y)，
又xy=1，化简得AG⋅EF=9y−6x2(4x+y)=9−6x22(4x2+1)=−34+214(4x2+1)，
又y≤4，所以14≤x≤1，所以AG⋅EF≥310，当x=1时等号成立．
AG⋅EF≤6920，当x=14时等号成立，
综上，AG⋅EF的取值范围是[310,6920].
【解析】(1)根据题意，由正弦定理得2accsB=a2−b2+14bc，再由余弦定理求得c=14b，即可得出c．
(2)根据中线的向量表示AD=12(AB+AC)，设AB、AC的夹角为θ，求出|AD|，再利用AB与AD夹角的余弦值求出csθ的值即可．
(3)求出△ABC的面积，设AE=x，AF=y，利用S△ABC=4S△AEF求出S△AEF，得出xy=1，再设AG=λAD，利用E，G，F三点共线设AG=μAE+(1−μ)AF，由向量相等得出μ=y4+y，再计算AG⋅EF的值，化简求它的取值范围即可．
本题考查了平面向量的数量积及解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与方程转化思想，是难题．